Интеграл как предел суммы прямоугольников

Пусть $a>0$, $r$ — целое число, $r \geqslant 2$. Показать аналогичным способом, что

Пусть $a>0$ и $r$ — положительное целое число. Показать, что $\int_{a}^{b} x^{r} d x=\frac{b^{r+1}-a^{r+1}}{r+1}$, т. е. что число $\frac{b^{r+1}-a^{r+1}}{r+1}$ превосходит все нижние суммы и меньше всех верхних.

Составить нижние и верхние суммы для функции $e^{x}$ в интервале $[a, b]$, располагая точки деления в арифметической прогрессии. К какому пределу стремятся эти суммы при $n \rightarrow \infty$?

Составить нижние и верхние суммы для функции $\frac{1}{x}$ в интервале $[a, b]$ $(a>0)$, когда точки деления образуют геометрическую прогрессию. К какому пределу стремятся эти суммы при $n \rightarrow \infty$?

Доказать тождество

Найти предел при $n \rightarrow \infty$.

Бесконечная последовательность, $n$-й член которой равен $n$-й частичной сумме ряда

взятой для $x=\frac{\pi }{n+1}$, стремится к пределу, отличному от нуля. (Из этого следует, что указанный ряд в окрестности точки $x=0$ сходится неравномерно.)

Пусть функция $f(x)$, о которой идет речь на стр. 56 (см. вводный текст настоящего параграфа), является производной некоторой функции $F(x)$. Тогда для любых нижних и верхних сумм $U$ и $O$ выполняется неравенство

(Этим, однако, еще не сказано, что $F(b)-F(a)$ есть единственное число, удовлетворяющее этому двойному неравенству для всех $U$ и $O$.)

Пусть $0<\xi <1$, функция $f(x)$ в интервале $[0, \xi ]$ монотонно возрастает, в интервале $[\xi , 1]$ монотонно убывает и максимум ее $f(\xi )=M$. Тогда разность

при $n \rightarrow \infty$ стремится к нулю, как $\frac{1}{n}$. Именно

Пусть $f(x)$ — функция с ограниченным изменением в интервале $[0,1]$. Показать, что разность

при $n \rightarrow \infty$ стремится к нулю, как $\frac{1}{n}$. Именно

где $V$ — полное изменение $f(x)$ на интервале $[0,1]$.

Пусть $f(x)$ в интервале $[a, b]$ имеет ограниченную и интегрируемую производную. Положим

Определить $\lim_{n \rightarrow \infty } n \Delta_{n}$.

Если $f(x)$ дважды дифференцируема и $f^{\prime \prime }(x)$ собственно интегрируема в интервале $a \leqslant x \leqslant b$, то разность

при $n \rightarrow \infty$ стремится к нулю, как $\frac{1}{n^{2}}$. Более того, $\lim_{n \rightarrow \infty } n^{2} \Delta_{n}^{\prime }$ существует. Определить этот предел.

(Продолжение.) Разность

стремится к нулю, как $\frac{1}{n^{3}}$. Более того, $\lim_{n \rightarrow \infty } n^{2} \Delta_{n}^{\prime \prime }$ существует. Определить его.

Кроме того, показать, что если $f^{\prime }(a) \geqslant 0$ и $f^{\prime \prime }(x) \geqslant 0$ $(a \leqslant x \leqslant b)$, то $\Delta_{n}^{\prime \prime } \geqslant 0$.

Пусть

Тогда

Выражение

при возрастании $n$ остается ограниченным; $C$ — так называемая эйлерова постоянная [решение 18].

$\lim_{n \rightarrow \infty } e^{\frac{n}{4}} n^{-\frac{n+1}{2}}\left(1^{1} 2^{2} 3^{3} \ldots n^{n}\right)^{\frac{1}{n}}=1$.

Обозначим через $x_{n}$ (единственный) корень уравнения

в интервале $(n, \infty )$. Показать, что

Пусть $x_{n}^{\prime }$ обозначает (единственный) корень уравнения

в интервале $(n, \infty )$. Показать, что

Если $f(x)$ при $x \geqslant 1$ дифференцируема и $f^{\prime }(x)$ монотонно стремится к нулю при $x \rightarrow \infty$, то

существует; при этом, если $f^{\prime }(x)$, скажем, возрастает, имеем:

Рассмотреть, в частности, случаи $f(x)=\frac{1}{x}$, $f(x)=-\ln x$.

Если $f(x)$ при $x \geqslant 1$ дифференцируема и $f^{\prime }(x)$ монотонно и неограниченно возрастает при $x \rightarrow \infty$, то

Более точно:

Соотношение

(задача 18) можно принять за определение постоянной Эйлера $C$. Вывести отсюда, что

Соотношение

(задача 18) можно принять за определение постоянной Эйлера $C$. Вывести отсюда, что

Определение $C$, данное в задаче 19.1, удобно. Однако желательно приближать $C$ рациональными числами, т. е. представить $C$ в виде суммы ряда с рациональными членами. Показать, что этому требованию удовлетворяет следующий ряд:

Члены следует брать в том порядке, в каком читают книгу: слева направо и сверху вниз. Это существенно, так как ряд не является абсолютно сходящимся. Абсолютные величины его членов не возрастают.

Определение $C$, данное в задаче 19.1, удобно. Однако желательно приближать $C$ рациональными числами, т. е. представить $C$ в виде суммы ряда с рациональными членами. Показать, что этому требованию удовлетворяет следующий ряд:

Члены следует брать в том порядке, в каком читают книгу: слева направо и сверху вниз. Это существенно, так как ряд не является абсолютно сходящимся. Абсолютные величины его членов не возрастают.

Пусть $f(x)$ монотонна в интервале $0<x<1$; пусть, далее, у одной из точек $x=0$ и $x=1$ или у обеих функция не ограничена, но так, что несобственный интеграл $\int_{0}^{1} f(x) d x$ существует. Тогда

(Продолжение.) Пусть $\varphi (x)$ собственно интегрируема в интервале $0 \leqslant x \leqslant 1$. Тогда

Показать иным способом, чем в I 71, что при $\alpha >0$

Положим

Показать, что

существует и отличен от нуля. (Если $0<\alpha <1$, $0<\beta <1$, $\alpha +\beta \geqslant 1$, то при $z=-1$ ряд в правой части будет расходящимся, хотя оба ряда в левой части сходятся.)

Утверждение задачи 20, вообще говоря, необратимо: существуют монотонные в интервале $0<x<1$ функции, для которых предел в левой части существует, и тем не менее несобственный интеграл в правой части не существует.

Если $f(x)$ в интервале $0<x<1$ монотонна, имеет конечный предел при $x \rightarrow 0$ или $x \rightarrow 1$ и, кроме того,

существует, то существует также $\int_{0}^{1} f(x) d x$.

Пусть $f(x)$ монотонна в интервале $0<x<1$. Показать, что

в предположении, что несобственный интеграл справа существует.

Для $\alpha >0$

Если $f(x)$ в интервале $[0,1]$ собственно интегрируема, то, очевидно,

Показать, что это равенство остается в силе также тогда, когда $f(x)$ лишь несобственно интегрируема, но зато монотонна.

Если $f(x)$ монотонна при $x>0$, далее, $\varepsilon_{n}>\frac{c}{n}$, где $c>0$, и $\lim_{n \rightarrow \infty } \varepsilon_{n}=0$, то

в предположении, что последний интеграл существует.

Пусть при $x \geqslant 0$ функция $f(x)$ монотонна и несобственный интеграл $\int_{0}^{\infty } f(x) d x$ существует. Тогда

Гамма-функция $\Gamma$ определяется для $\alpha >0$ (более обще для $\mathrm{Re}\left(\alpha \right)>0$) как интеграл

Показать, основываясь на I 89, что

Как известно, эйлерову постоянную $C$ можно представить в виде следующего интеграла:

[см. Cesàro, стр. 782¹]. Показать, что

Показать, что

Показать, что

Показать, что

Вообще при $\alpha >0$

Вычислить

Положим

Показать, что

Исходя из формулы

справедливой для любого комплексного значения $t$, посредством предельного перехода вывести формулу

Вычислить интеграл $\int_{0}^{a} \ln x d x$, деля интервал $(0, a]$ на части при помощи бесконечной геометрической прогрессии $a$, $a q$, $a q^{2}, \ldots$ $(0<q<1)$ и рассматривая получающиеся бесконечные суммы прямоугольников.

Показать, что при фиксированном положительном $k$ и целочисленном $n \rightarrow \infty$

Сравнить с известными результатами при $k=1$, $k=2$.

Будем делить целое положительное число $n$ на $1,2,3, \ldots , v, \ldots , n$. Остаток от деления $n$ на $v$ обозначим через $n_{v}$. Так, например, $17_{3}=2$, $10_{20}=10$. Очевидно, $n \equiv n_{v}(\bmod v)$, $0 \leqslant n_{v}<v$.

Какова вероятность¹ того, что $n_{v} \geqslant \frac{v}{2}$?

(Продолжение.) Вычислить

(Продолжение.) Вычислить

(Продолжение.) Отношение числа тех дробей

которые меньше, чем некоторое фиксированное число $\alpha$ $(0 \leqslant \alpha \leqslant 1)$, к общему числу $n$ всех выписанных дробей при $n \rightarrow \infty$ стремится к

[VIII 4].

Пусть $\sigma_{\alpha }(n)$ — сумма $\alpha$-х степеней всех делителей числа $n$ (VIII, гл. 1, § 5) и

Тогда для $\alpha >0$

где $\zeta (s)$ есть $\zeta$-функция Римана $\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n^{s}}$ (см. VIII, гл. 1, § 5). Для $\alpha >1$, более того, имеет место неравенство

Обозначим через $\tau (n)=\sigma_{0}(n)$ число делителей числа $n$. Тогда

где $C$ — эйлерова постоянная.

Обозначим через $U_{n}$ число нечетных, через $G_{n}$ — число четных делителей числа $n$. Так, например, $U_{20}=2$, $G_{20}=4$. Доказать, что

Пусть $f(x)$ собственно интегрируема в интервале $[a, b]$. Введем обозначение

Показать, что

Эти три предела называют соответственно арифметическим, геометрическим и гармоническим средними функции $f(x)$. В двух последних случаях предполагается, что нижняя грань функции $f(x)$ положительна.

Способом, иным, чем в I 69, показать, что

существует и равен геометрическому среднему от $x$ в интервале $[0,1]$, т. е. равен $\frac{1}{e}$.

Пусть $a$ и $d$ — положительные числа, а $A_{n}$ и $G_{n}$ — арифметическое и геометрическое средние чисел $a, a+d, a+2 d, \ldots , a+(n-1) d$. Тогда

Обозначим через $A_{n}$ и $G_{n}$ арифметическое и геометрическое средние биномиальных коэффициентов

Показать, что

Показать, что

Пусть $r$ положительно и меньше единицы, $x$ пробегает интервал $[0,2 \pi ]$ и $\xi$ обозначает ближайшее к $x$ число, для которого

тогда

Если функция $f(x)$ собственно интегрируема в интервале $[a, b]$, то, в обозначениях задачи 48,

Вычислить

Доказать тождество

Отсюда вытекает, что если $\alpha \neq 0,1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots$, то стоящее в левой части произведение при $n \rightarrow \infty$ стремится к $2^{\frac{1}{\alpha }}$.

Пусть

где $\alpha , \beta , \delta$ фиксированы и $\delta >0$. Показать, что

Пусть $n$ и $v$ — целые числа, $0<v<n$. Если при $n \rightarrow \infty$ также $v \rightarrow \infty$ и притом так, что

то

Пусть $z=2 n e^{\frac{i t}{\sqrt{n}}}$, где $t$ — фиксированное вещественное число. Показать, что

Пусть функция $f(x, y)$ представляет собой в прямоугольнике $R$

вторую «смешанную» производную некоторой функции $F(x, y)$: