5

Приложения к теории чисел

[7/100%]
Показать
LaTeX
Задача 2.41

Будем делить целое положительное число nn на 1,2,3,…,v,…,n1,2,3, \ldots , v, \ldots , n. Остаток от деления nn на vv обозначим через nvn_{v}. Так, например, 173=217_{3}=2, 1020=1010_{20}=10. Очевидно, n≡nv( mod v)n \equiv n_{v}(\bmod v), 0⩽nv<v0 \leqslant n_{v}<v.

Какова вероятность1 того, что nv⩾v2n_{v} \geqslant \frac{v}{2}?

Footnotes

  1. *) Взять в качестве делителя то или иное число vv (1⩽v⩽n)(1 \leqslant v \leqslant n) считается равновозможным. ↩

?
Задача 2.42

(Продолжение.) Вычислить

lim⁡n→∞1n(n11+n22+n33+…+nnn). \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{1}{n}\left(\frac{n_{1}}{1}+\frac{n_{2}}{2}+\frac{n_{3}}{3}+\ldots +\frac{n_{n}}{n}\right) .
?
Задача 2.43

(Продолжение.) Вычислить

lim⁡n→∞n1+n2+n3+…+nnn2. \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{n_{1}+n_{2}+n_{3}+\ldots +n_{n}}{n^{2}} .
?
Задача 2.44

(Продолжение.) Отношение числа тех дробей

n11,n22,n33,…,nnn, \frac{n_{1}}{1}, \frac{n_{2}}{2}, \frac{n_{3}}{3}, \ldots , \frac{n_{n}}{n},

которые меньше, чем некоторое фиксированное число α\alpha (0⩽α⩽1)(0 \leqslant \alpha \leqslant 1), к общему числу nn всех выписанных дробей при n→∞n \rightarrow \infty стремится к

∫011−xα1−xdx \int _{0}^{1} \frac{1-x^{\alpha }}{1-x} d x

[VIII 4].

?
Задача 2.45

Пусть σα(n)\sigma_{\alpha }(n) — сумма α\alpha-х степеней всех делителей числа nn (VIII, гл. 1, § 5) и

Σα(n)=σα(1)+σα(2)+σα(3)+…+σα(n)=∑v=1n[nv]vα[VIII 81]. \Sigma _{\alpha }(n)=\sigma _{\alpha }(1)+\sigma _{\alpha }(2)+\sigma _{\alpha }(3)+\ldots +\sigma _{\alpha }(n)=\sum _{v=1}^{n}\left[\frac{n}{v}\right] v^{\alpha } \quad [\text{VIII } 81] .

Тогда для α>0\alpha >0

lim⁡n→∞Σα(n)nα+1=ζ(α+1)α+1, \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{\Sigma _{\alpha }(n)}{n^{\alpha +1}}=\frac{\zeta (\alpha +1)}{\alpha +1},

где ζ(s)\zeta (s) есть ζ\zeta-функция Римана ∑n=1∞1ns\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n^{s}} (см. VIII, гл. 1, § 5). Для α>1\alpha >1, более того, имеет место неравенство

∣Σα(n)nα+1−ζ(α+1)α+1∣⩽2ζ(α)−1n(n=1,2,3,…). \left|\frac{\Sigma _{\alpha }(n)}{n^{\alpha +1}}-\frac{\zeta (\alpha +1)}{\alpha +1}\right| \leqslant \frac{2 \zeta (\alpha )-1}{n} \quad (n=1,2,3, \ldots ) .
?
Задача 2.46

Обозначим через τ(n)=σ0(n)\tau (n)=\sigma_{0}(n) число делителей числа nn. Тогда

τ(1)+τ(2)+τ(3)+…+τ(n)=∑v=1n[nv]==n(ln⁡n+2C−1)+O(n)[VIII 79], \begin{aligned} & \tau (1)+\tau (2)+\tau (3)+\ldots +\tau (n)=\sum _{v=1}^{n}\left[\frac{n}{v}\right]= \\ & \quad =n(\ln n+2 C-1)+O(\sqrt{n}) \quad [\text{VIII } 79], \end{aligned}

где CC — эйлерова постоянная.

?
Задача 2.47

Обозначим через UnU_{n} число нечетных, через GnG_{n} — число четных делителей числа nn. Так, например, U20=2U_{20}=2, G20=4G_{20}=4. Доказать, что

lim⁡n→∞U1−G1+U2−G2+…+Un−Gnn=ln⁡2. \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{U_{1}-G_{1}+U_{2}-G_{2}+\ldots +U_{n}-G_{n}}{n}=\ln 2 .
?