6

Средние значения и пределы произведений

[12/100%]
Показать
LaTeX
Задача 2.48

Пусть f(x)f(x) собственно интегрируема в интервале [a,b][a, b]. Введем обозначение

fvn=f(a+vδn)(δn=b−an). f_{v n}=f\left(a+v \delta _{n}\right) \quad \left(\delta _{n}=\frac{b-a}{n}\right) .

Показать, что

lim⁡n→∞f1n+f2n+f3n+…+fnnn=1b−a∫abf(x)dx,lim⁡n→∞f1nf2nf3n…fnnn=e1b−a∫abln⁡f(x)dx,lim⁡n→∞n1f1n+1f2n+1f3n+…+1fnn=b−a∫abdxf(x). \begin{aligned} \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{f_{1 n}+f_{2 n}+f_{3 n}+\ldots +f_{n n}}{n} & =\frac{1}{b-a} \int _{a}^{b} f(x) d x, \\ \lim _{n \rightarrow \infty } \sqrt[n]{f_{1 n} f_{2 n} f_{3 n} \ldots f_{n n}} & =e^{\frac{1}{b-a} \int _{a}^{b} \ln f(x) d x}, \\ \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{n}{\frac{1}{f_{1 n}}+\frac{1}{f_{2 n}}+\frac{1}{f_{3 n}}+\ldots +\frac{1}{f_{n n}}} & =\frac{b-a}{\int _{a}^{b} \frac{d x}{f(x)}} . \end{aligned}

Эти три предела называют соответственно арифметическим, геометрическим и гармоническим средними функции f(x)f(x). В двух последних случаях предполагается, что нижняя грань функции f(x)f(x) положительна.

?
Задача 2.49

Способом, иным, чем в I 69, показать, что

lim⁡n→∞n!nn \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{\sqrt[n]{n!}}{n}

существует и равен геометрическому среднему от xx в интервале [0,1][0,1], т. е. равен 1e\frac{1}{e}.

?
Задача 2.50

Пусть aa и dd — положительные числа, а AnA_{n} и GnG_{n} — арифметическое и геометрическое средние чисел a,a+d,a+2d,…,a+(n−1)da, a+d, a+2 d, \ldots , a+(n-1) d. Тогда

lim⁡n→∞GnAn=2e. \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{G_{n}}{A_{n}}=\frac{2}{e} .
?
Задача 2.51

Обозначим через AnA_{n} и GnG_{n} арифметическое и геометрическое средние биномиальных коэффициентов

(n0),(n1),(n2),…,(nv),…,(nn). \binom {n}{0}, \binom {n}{1}, \binom {n}{2}, \quad \ldots , \binom {n}{v}, \quad \ldots , \binom {n}{n} .

Показать, что

lim⁡n→∞Ann=2,lim⁡n→∞Gnn=e. \lim _{n \rightarrow \infty } \sqrt[n]{A_{n}}=2, \quad \lim _{n \rightarrow \infty } \sqrt[n]{G_{n}}=\sqrt{e} .
?
Задача 2.52

Показать, что

12π∫02πln⁡(1−2rcos⁡x+r2)dx={2ln⁡r при r⩾1,0 при 0⩽r⩽1. \frac{1}{2 \pi } \int _{0}^{2 \pi } \ln \left(1-2 r \cos x+r^{2}\right) d x= \begin{cases} 2 \ln r & \text{ при } r \geqslant 1, \\ 0 & \text{ при } 0 \leqslant r \leqslant 1 . \end{cases}
?
Задача 2.53

Пусть rr положительно и меньше единицы, xx пробегает интервал [0,2π][0,2 \pi ] и ξ\xi обозначает ближайшее к xx число, для которого

sin⁡(x−ξ)=rsin⁡x; \sin (x-\xi )=r \sin x ;

тогда

12π∫02πln⁡(1−2rcos⁡ξ+r2)dx=ln⁡(1−r2). \frac{1}{2 \pi } \int _{0}^{2 \pi } \ln \left(1-2 r \cos \xi +r^{2}\right) d x=\ln \left(1-r^{2}\right) .
?
Задача 2.54

Если функция f(x)f(x) собственно интегрируема в интервале [a,b][a, b], то, в обозначениях задачи 48,

lim⁡n→∞(1+f1nδn)(1+f2nδn)…(1+fnnδn)=e∫abf(x)dx. \lim _{n \rightarrow \infty }\left(1+f_{1 n} \delta _{n}\right)\left(1+f_{2 n} \delta _{n}\right) \ldots \left(1+f_{n n} \delta _{n}\right)=e^{\int _{a}^{b} f(x) d x} .
?
Задача 2.55

Вычислить

lim⁡n→∞(n2+1)(n2+2)…(n2+n)(n2−1)(n2−2)…(n2−n). \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{\left(n^{2}+1\right)\left(n^{2}+2\right) \ldots \left(n^{2}+n\right)}{\left(n^{2}-1\right)\left(n^{2}-2\right) \ldots \left(n^{2}-n\right)} .
?
Задача 2.56

Доказать тождество

(1+1α−1)(1−12α−1)(1+13α−1)(1−14α−1)……(1+1(2n−1)α−1)(1−12nα−1)==(n+1)α(n+1)α−1⋅(n+2)α(n+2)α−1⋯(n+n)α(n+n)α−1. \begin{aligned} & \left(1+\frac{1}{\alpha -1}\right)\left(1-\frac{1}{2 \alpha -1}\right)\left(1+\frac{1}{3 \alpha -1}\right)\left(1-\frac{1}{4 \alpha -1}\right) \ldots \\ & \ldots \left(1+\frac{1}{(2 n-1) \alpha -1}\right)\left(1-\frac{1}{2 n \alpha -1}\right)= \\ & =\frac{(n+1) \alpha }{(n+1) \alpha -1} \cdot \frac{(n+2) \alpha }{(n+2) \alpha -1} \cdots \frac{(n+n) \alpha }{(n+n) \alpha -1} . \end{aligned}

Отсюда вытекает, что если α≠0,1,12,13,14,…\alpha \neq 0,1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots, то стоящее в левой части произведение при n→∞n \rightarrow \infty стремится к 21α2^{\frac{1}{\alpha }}.

?
Задача 2.57

Пусть

a=1+αn,b=1+βn,d=δn, a=1+\frac{\alpha }{n}, \quad b=1+\frac{\beta }{n}, \quad d=\frac{\delta }{n},

где α,β,δ\alpha , \beta , \delta фиксированы и δ>0\delta >0. Показать, что

lim⁡n→∞ab⋅a+db+d⋅a+2db+2d⋯a+(n−1)db+(n−1)d=(1+δ)α−βδ. \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{a}{b} \cdot \frac{a+d}{b+d} \cdot \frac{a+2 d}{b+2 d} \cdots \frac{a+(n-1) d}{b+(n-1) d}=(1+\delta )^{\frac{\alpha -\beta }{\delta }} .
?
Задача 2.58

Пусть nn и vv — целые числа, 0<v<n0<v<n. Если при n→∞n \rightarrow \infty также v→∞v \rightarrow \infty и притом так, что

lim⁡n→∞v−n2n=λ, \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{v-\frac{n}{2}}{\sqrt{n}}=\lambda ,

то

lim⁡n→∞n2n(nv)=2πe−2λ2. \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{\sqrt{n}}{2^{n}}\binom {n}{v}=\sqrt{\frac{2}{\pi }} e^{-2 \lambda ^{2}} .
?
Задача 2.59

Пусть z=2neitnz=2 n e^{\frac{i t}{\sqrt{n}}}, где tt — фиксированное вещественное число. Показать, что

lim⁡n→∞∣2n−1z−1⋅2n−2z−2⋅2n−3z−3…2n−nz−n∣=(2e)t2. \lim _{n \rightarrow \infty }\left|\frac{2 n-1}{z-1} \cdot \frac{2 n-2}{z-2} \cdot \frac{2 n-3}{z-3} \ldots \frac{2 n-n}{z-n}\right|=\left(\frac{2}{e}\right)^{t^{2}} .
?