Банк задач по математике

Задача 2.60

Пусть функция $f(x, y)$ представляет собой в прямоугольнике $R$

a \leqslant x \leqslant b, \quad c \leqslant y \leqslant d

вторую «смешанную» производную некоторой функции $F(x, y)$ :

\frac{\partial ^{2} F(x, y)}{\partial x \partial y}=f(x, y) .

Проведем через точки

\begin{aligned} & a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{m-1}<x_{m}=b, \\ & c=y_{0}<y_{1}<y_{2}<\ldots <y_{n-1}<y_{n}=d \end{aligned}

прямые, параллельные осям координат. Этими прямыми прямоугольник $R$ разделится на прямоугольные части $R_{\mu v}$ :

x_{\mu -1} \leqslant x \leqslant x_{\mu }, \quad y_{v-1} \leqslant y \leqslant y_{v} \quad (\mu =1,2, \ldots , m ; \quad v=1,2, \ldots , n) .

Обозначим нижнюю и верхнюю грани $f(x, y)$ в $R_{\mu v}$ соответственно через $m_{\mu v}$ , $M_{\mu v}$ и образуем верхнюю сумму

O=\sum _{\mu =1}^{m} \sum _{v=1}^{n} M_{\mu v}\left(x_{\mu }-x_{\mu -1}\right)\left(y_{v}-y_{v-1}\right)

и нижнюю сумму

U=\sum _{\mu =1}^{m} \sum _{v=1}^{n} m_{\mu v}\left(x_{\mu }-x_{\mu -1}\right)\left(y_{v}-y_{v-1}\right) .

Показать, что всегда

U \leqslant F(b, d)-F(b, c)-F(a, d)+F(a, c) \leqslant O .

?

Задача 2.61

Показать, что

\iint _{0 \leqslant x \leqslant y \leqslant \pi } \ln \left|\sin (x-y)\right| d x d y=-\frac{\pi ^{2}}{2} \ln 2 .

?

Задача 2.62

Пусть $f(x, y)$ собственно интегрируема в квадрате $0 \leqslant x \leqslant 1$ , $0 \leqslant y \leqslant 1$ . Показать, что

\lim _{n \rightarrow \infty } \prod _{\mu =1}^{n} \prod _{v=1}^{n}\left[1+\frac{1}{n^{2}} f\left(\frac{\mu }{n}, \frac{v}{n}\right)\right]=e^{\int _{0}^{1} \int _{0}^{1} f(x, y) d x d y} .

?

Задача 2.63

В том же предположении относительно $f(x, y)$ вычислить

\lim _{n \rightarrow \infty } \prod _{v=1}^{n}\left\{ 1+\frac{1}{n^{2}}\left[f\left(\frac{1}{n}, \frac{v}{n}\right)+f\left(\frac{2}{n}, \frac{v}{n}\right)+\ldots +f\left(\frac{n}{n}, \frac{v}{n}\right)\right]\right\} .

?

Задача 2.64

Показать, основываясь на I 30, что объем $\iiint_{\mathfrak {B}} d x d y d z$ трехмерной области $\mathfrak {B}$ , определенной неравенствами

-1 \leqslant x, y, z \leqslant 1, \quad -\sigma \leqslant x+y+z \leqslant \sigma ,

равен

\frac{2^{3}}{\pi } \int _{-\infty }^{\infty }\left(\frac{\sin t}{t}\right)^{3} \frac{\sin \sigma t}{t} d t .

?

Задача 2.65

Пусть $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots , \alpha_{p}$ — произвольные положительные числа. Образуем функции

f_{v}(z)=1^{\alpha _{v}-1} z+2^{\alpha _{v}-1} z^{2}+\ldots +n^{\alpha _{v}-1} z^{n}+\ldots \quad (v=1,2, \ldots , p)

и произведение их

f_{1}(z) f_{2}(z) \ldots f_{p}(z)=\sum _{n=1}^{\infty } a_{n} z^{n} .

Показать, что

\begin{aligned} & \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{a_{n}}{n^{\alpha _{1}+\alpha _{2}+\ldots +\alpha _{p}-1}}= \\ & \quad =\iint \ldots \int x_{1}^{\alpha _{1}-1} \ldots x_{p-1}^{\alpha _{p-1}-1}\left(1-x_{1}-\ldots -x_{p-1}\right)^{\alpha _{p}-1} d x_{1} \ldots d x_{p-1}, \end{aligned}

где интеграл распространен на $(p-1)$ -мерный симплекс, определяемый $p$ неравенствами

x_{1} \geqslant 0, x_{2} \geqslant 0, \ldots , x_{p-1} \geqslant 0, \quad x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{p-1} \leqslant 1 .

?

Задача 2.66

(Продолжение.) Показать, что

\begin{aligned} \iint \ldots \int x_{1}^{\alpha _{1}-1} \ldots x_{p-1}^{\alpha _{p-1}-1}\left(1-x_{1}-\ldots -x_{p-1}\right)^{\alpha _{p}-1} & d x_{1} \ldots d x_{p-1}= \\ & =\frac{\Gamma \left(\alpha _{1}\right) \Gamma \left(\alpha _{2}\right) \ldots \Gamma \left(\alpha _{p}\right)}{\Gamma \left(\alpha _{1}+\alpha _{2}+\ldots +\alpha _{p}\right)} . \end{aligned}

?

Задача 2.67

Развернуть выражение, стоящее под знаком предела в 54 и представляющее собой полином $n$ -й степени относительно $\delta_{n}$ , по степеням $\delta_{n}$ . Показать, что коэффициент при $p$ -й степени $\delta_{n}$ при $p$ фиксированном и $n \rightarrow \infty$ стремится к пределу

\begin{aligned} \idotsint _{a \leqslant x_{1} \leqslant x_{2} \leqslant \ldots \leqslant x_{p} \leqslant b} f\left(x_{1}\right) f\left(x_{2}\right) \ldots f\left(x_{p}\right) d x_{1} d x_{2} \ldots d x_{p} & = \\ & =\frac{1}{p!}\left(\int _{a}^{b} f(x) d x\right)^{p} . \end{aligned}

?

Задача 2.68

Пусть $2 m$ функций

\begin{array}{llll} f_{1}(x), & f_{2}(x), & \ldots , & f_{m}(x), \\ \varphi _{1}(x), & \varphi _{2}(x), & \ldots , & \varphi _{m}(x) \end{array}

собственно интегрируемы в интервале $a \leqslant x \leqslant b$ . Тогда

\begin{aligned} & \begin{vmatrix} \int _{a}^{b} f_{1}(x) \varphi _{1}(x) d x & \int _{a}^{b} f_{1}(x) \varphi _{2}(x) d x & \ldots & \int _{a}^{b} f_{1}(x) \varphi _{m}(x) d x \\ \int _{a}^{b} f_{2}(x) \varphi _{1}(x) d x & \int _{a}^{b} f_{2}(x) \varphi _{2}(x) d x & \ldots & \int _{a}^{b} f_{2}(x) \varphi _{m}(x) d x \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \int _{a}^{b} f_{m}(x) \varphi _{1}(x) d x & \int _{a}^{b} f_{m}(x) \varphi _{2}(x) d x & \ldots & \int _{a}^{b} f_{m}(x) \varphi _{m}(x) d x \end{vmatrix}= \\ & =\frac{1}{m!} \int _{a}^{b} \ldots \int _{a}^{b} \begin{vmatrix} f_{1}\left(x_{1}\right) & f_{1}\left(x_{2}\right) & \ldots & f_{1}\left(x_{m}\right) \\ f_{2}\left(x_{1}\right) & f_{2}\left(x_{2}\right) & \ldots & f_{2}\left(x_{m}\right) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ f_{m}\left(x_{1}\right) & f_{m}\left(x_{2}\right) & \ldots & f_{m}\left(x_{m}\right) \end{vmatrix} \times \\ & \times \begin{vmatrix} \varphi _{1}\left(x_{1}\right) & \varphi _{1}\left(x_{2}\right) & \ldots & \varphi _{1}\left(x_{m}\right) \\ \varphi _{2}\left(x_{1}\right) & \varphi _{2}\left(x_{2}\right) & \ldots & \varphi _{2}\left(x_{m}\right) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \varphi _{m}\left(x_{1}\right) & \varphi _{m}\left(x_{2}\right) & \ldots & \varphi _{m}\left(x_{m}\right) \end{vmatrix} d x_{1} d x_{2} \ldots d x_{m} . \end{aligned}

?

Кратные интегралы