3

Несобственные интегралы с конечными пределами

[10/70%]
Показать
LaTeX
Задача 2.20

Пусть f(x)f(x) монотонна в интервале 0<x<10<x<1; пусть, далее, у одной из точек x=0x=0 и x=1x=1 или у обеих функция не ограничена, но так, что несобственный интеграл ∫01f(x)dx\int_{0}^{1} f(x) d x существует. Тогда

lim⁡n→∞f(1n)+f(2n)+…+f(n−1n)n=∫01f(x)dx. \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{f\left(\frac{1}{n}\right)+f\left(\frac{2}{n}\right)+\ldots +f\left(\frac{n-1}{n}\right)}{n}=\int _{0}^{1} f(x) d x .
?
Задача 2.21

(Продолжение.) Пусть φ(x)\varphi (x) собственно интегрируема в интервале 0⩽x⩽10 \leqslant x \leqslant 1. Тогда

lim⁡n→∞φ(1n)f(1n)+φ(2n)f(2n)+…+φ(n−1n)f(n−1n)n=∫01φ(x)f(x)dx. \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{\varphi \left(\frac{1}{n}\right) f\left(\frac{1}{n}\right)+\varphi \left(\frac{2}{n}\right) f\left(\frac{2}{n}\right)+\ldots +\varphi \left(\frac{n-1}{n}\right) f\left(\frac{n-1}{n}\right)}{n}=\int _{0}^{1} \varphi (x) f(x) d x .
?
Задача 2.22

Показать иным способом, чем в I 71, что при α>0\alpha >0

lim⁡n→∞1α−1+2α−1+…+nα−1nα=1α. \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{1^{\alpha -1}+2^{\alpha -1}+\ldots +n^{\alpha -1}}{n^{\alpha }}=\frac{1}{\alpha } .
?
Задача 2.23

Положим

∑k=1∞kα−1zk∑l=1∞lβ−1zl=∑n=1∞anzn(α,β>0). \sum _{k=1}^{\infty } k^{\alpha -1} z^{k} \sum _{l=1}^{\infty } l^{\beta -1} z^{l}=\sum _{n=1}^{\infty } a_{n} z^{n} \quad (\alpha , \beta >0) .

Показать, что

lim⁡n→∞n1−α−βan \lim _{n \rightarrow \infty } n^{1-\alpha -\beta } a_{n}

существует и отличен от нуля. (Если 0<α<10<\alpha <1, 0<β<10<\beta <1, α+β⩾1\alpha +\beta \geqslant 1, то при z=−1z=-1 ряд в правой части будет расходящимся, хотя оба ряда в левой части сходятся.)

?
Задача 2.24

Утверждение задачи 20, вообще говоря, необратимо: существуют монотонные в интервале 0<x<10<x<1 функции, для которых предел в левой части существует, и тем не менее несобственный интеграл в правой части не существует.

?
Задача 2.25

Если f(x)f(x) в интервале 0<x<10<x<1 монотонна, имеет конечный предел при x→0x \rightarrow 0 или x→1x \rightarrow 1 и, кроме того,

lim⁡n→∞f(1n)+f(2n)+…+f(n−1n)n \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{f\left(\frac{1}{n}\right)+f\left(\frac{2}{n}\right)+\ldots +f\left(\frac{n-1}{n}\right)}{n}

существует, то существует также ∫01f(x)dx\int_{0}^{1} f(x) d x.

?
Задача 2.26

Пусть f(x)f(x) монотонна в интервале 0<x<10<x<1. Показать, что

lim⁡n→∞1n∑v=1nf(2v−12n)=∫01f(x)dx, \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{1}{n} \sum _{v=1}^{n} f\left(\frac{2 v-1}{2 n}\right)=\int _{0}^{1} f(x) d x,

в предположении, что несобственный интеграл справа существует.

?
Задача 2.27

Для α>0\alpha >0

lim⁡n→∞1α−1−2α−1+3α−1−4α−1+…+(−1)n−1nα−1nα=0. \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{1^{\alpha -1}-2^{\alpha -1}+3^{\alpha -1}-4^{\alpha -1}+\ldots +(-1)^{n-1} n^{\alpha -1}}{n^{\alpha }}=0 .
?
Задача 2.28

Если f(x)f(x) в интервале [0,1][0,1] собственно интегрируема, то, очевидно,

lim⁡n→∞f(1n)−f(2n)+f(3n)−…+(−1)nf(n−1n)n=0. \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{f\left(\frac{1}{n}\right)-f\left(\frac{2}{n}\right)+f\left(\frac{3}{n}\right)-\ldots +(-1)^{n} f\left(\frac{n-1}{n}\right)}{n}=0 .

Показать, что это равенство остается в силе также тогда, когда f(x)f(x) лишь несобственно интегрируема, но зато монотонна.

?
Задача 2.29

Если f(x)f(x) монотонна при x>0x>0, далее, εn>cn\varepsilon_{n}>\frac{c}{n}, где c>0c>0, и lim⁡n→∞εn=0\lim_{n \rightarrow \infty } \varepsilon_{n}=0, то

lim⁡n→∞f(εn)+f(εn+1n)+f(εn+2n)+…+f(εn+n−1n)n=∫01f(x)dx, \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{f\left(\varepsilon _{n}\right)+f\left(\varepsilon _{n}+\frac{1}{n}\right)+f\left(\varepsilon _{n}+\frac{2}{n}\right)+\ldots +f\left(\varepsilon _{n}+\frac{n-1}{n}\right)}{n}=\int _{0}^{1} f(x) d x,

в предположении, что последний интеграл существует.

?