Банк задач по математике

Задача 2.30

Пусть при $x \geqslant 0$ функция $f(x)$ монотонна и несобственный интеграл $\int_{0}^{\infty } f(x) d x$ существует. Тогда

\lim _{h \rightarrow +0} h[f(h)+f(2 h)+f(3 h)+\ldots ]=\lim _{h \rightarrow +0} h \sum _{n=1}^{\infty } f(n h)=\int _{0}^{\infty } f(x) d x .

?

Задача 2.31

Гамма-функция $\Gamma$ определяется для $\alpha >0$ (более обще для $\mathrm{Re}\left(\alpha \right)>0$ ) как интеграл

\Gamma (\alpha )=\int _{0}^{\infty } e^{-x} x^{\alpha -1} d x .

Показать, основываясь на I 89, что

\Gamma (\alpha )=\lim _{n \rightarrow \infty } \frac{n^{\alpha -1} n!}{\alpha (\alpha +1) \ldots (\alpha +n-1)} \quad (\alpha >0) .

?

Задача 2.32

Как известно, эйлерову постоянную $C$ можно представить в виде следующего интеграла:

C=\int _{0}^{\infty } e^{-x}\left(\frac{1}{1-e^{-x}}-\frac{1}{x}\right) d x

[см. Cesàro, стр. 782¹]. Показать, что

\begin{aligned} C=\lim _{t \rightarrow 1-0}\left[(1-t)\left(\frac{t}{1-t}+\frac{t^{2}}{1-t^{2}}+\frac{t^{3}}{1-t^{3}}+\ldots +\frac{t^{n}}{1-t^{n}}+\ldots \right)\right] & - \\ & \left.-\ln \frac{1}{1-t}\right] . \end{aligned}

*) В русском издании книги Чезаро эта формула опущена; ее можно найти, например, в книге Уиттекер и Ватсон, «Курс современного анализа», Физматгиз, 1963, ч. 2, стр. 30. ↩

?

Задача 2.33

Показать, что

\lim _{t \rightarrow 1-0}(1-t)\left(\frac{t}{1+t}+\frac{t^{2}}{1+t^{2}}+\frac{t^{3}}{1+t^{3}}+\ldots +\frac{t^{n}}{1+t^{n}}+\ldots \right)=\ln 2 .

?

Задача 2.34

Показать, что

\lim _{t \rightarrow 1-0}(1-t)^{2}\left(\frac{t}{1-t}+2 \frac{t^{2}}{1-t^{2}}+\ldots +n \frac{t^{n}}{1-t^{n}}+\ldots \right)=\frac{\pi ^{2}}{6} .

?

Задача 2.35

Показать, что

\lim _{t \rightarrow 1-0} \sqrt{1-t}\left(1+t+t^{4}+t^{9}+\ldots +t^{n^{2}}+\ldots \right)=\frac{\sqrt{\pi }}{2} .

Вообще при $\alpha >0$

\lim _{t \rightarrow 1-0} \sqrt[\alpha ]{1-t}\left(1+t^{1^{\alpha }}+t^{2^{\alpha }}+t^{3^{\alpha }}+\ldots +t^{n^{\alpha }}+\ldots \right)=\frac{1}{\alpha } \Gamma \left(\frac{1}{\alpha }\right) .

?

Задача 2.36

Вычислить

\lim _{t \rightarrow +\infty }\left(\frac{1}{t}+\frac{2 t}{t^{2}+1^{2}}+\frac{2 t}{t^{2}+2^{2}}+\ldots +\frac{2 t}{t^{2}+n^{2}}+\ldots \right) .

?

Задача 2.37

Положим

g(t)=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+\frac{t}{n^{\alpha }}\right) \quad (\alpha >1) .

Показать, что

\lim _{t \rightarrow +\infty } \frac{\ln g(t)}{\frac{1}{t^{\alpha }}}=\frac{\pi }{\sin \frac{\pi }{\alpha }} .

?

Задача 2.38

Исходя из формулы

\frac{\sin t}{t}=\frac{e^{i t}-e^{-i t}}{2 i t}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-\frac{t^{2}}{n^{2} \pi ^{2}}\right),

справедливой для любого комплексного значения $t$ , посредством предельного перехода вывести формулу

\int _{0}^{\infty } \ln \left(1-2 x^{-2} \cos 2 \varphi +x^{-4}\right) d x=2 \pi \sin \varphi \quad (0 \leqslant \varphi \leqslant \pi ) .

?

Задача 2.39

Вычислить интеграл $\int_{0}^{a} \ln x d x$ , деля интервал $(0, a]$ на части при помощи бесконечной геометрической прогрессии $a$ , $a q$ , $a q^{2}, \ldots$ $(0<q<1)$ и рассматривая получающиеся бесконечные суммы прямоугольников.

?

Задача 2.40

Показать, что при фиксированном положительном $k$ и целочисленном $n \rightarrow \infty$

\sum _{v=0}^{n}\binom {n}{v}^{k} \sim \frac{2^{k n}}{\sqrt{k}}\left(\frac{2}{\pi n}\right)^{\frac{k-1}{2}} . \tag {58}

Сравнить с известными результатами при $k=1$ , $k=2$ .

?

Несобственные интегралы с бесконечными пределами

Footnotes