Двойственность

Если $Y$ — подпространство векторного пространства $X$, покажите, что существует подпространство $Z$, такое что $Y \cap Z=\left\{ 0\right\}$ и $Y \oplus Z=X$. (Это означает, что каждый $x \in X$ можно единственным образом записать как $x=y+z$, где $y \in Y$ и $z \in Z$.

Пусть $0<p<1$. Докажите, что (12.1) задаёт метрику на $L^{p}\left(0,1\right)$.

Докажите, что продолжение $T$ на $X$ в доказательстве предложения 12.1.10 является линейным функционалом.

Предложение 12.1.10: Пусть $Y$ — линейное подпространство линейного пространства $X$. Тогда каждый линейный функционал на $Y$ имеет продолжение до линейного функционала на $X$. (В частности, для каждого $x \in X \setminus \left\{ 0\right\}$ существует линейный функционал $T$, такой что $Tx \neq 0$.) В доказательстве: пусть $Z$ — подпространство $X$, такое что $X = Y \oplus Z$, пусть $T$ — линейный функционал на $Y$, и продолжим $T$ на $X$, определив $Tx = Ty$, где $x=y+z$ — разложение с $y \in Y, z \in Z$.

Найдите норму линейного функционала на $\mathbb {R}^{2}$, определённого как $T(x, y)=x-7 y$, если $\mathbb {R}^{2}$ снабжено нормой $\ell^{p}$, $1 \leq p \leq \infty$.

Пусть $\delta$ — функционал Дирака на $C[0,1]$, определённый как $\delta (f)=f(0)$.

При каких значениях константы $\alpha$

задаёт ограниченный линейный функционал на $C[0,1]$? Для таких $\alpha$ определите норму $T$.

При каких значениях константы $\alpha$

задаёт ограниченный линейный функционал на $L^{p}\left(0,1\right)$? Для таких $\alpha$ определите норму $T$.

Пусть $X=C[0,1]$ с нормой $\left\| \cdot \right\|_{\max }$, пусть $g \in C[0,1]$, и определим $T f= \int_{0}^{1} f(t) g(t) d t$. Докажите, что $T$ — ограниченный линейный функционал на $C[0,1]$, и найдите его норму.

Пусть $X=C^{1}[0,1]$ с нормой $\left\| f\right\|_{(1)}:=\left\| f\right\|_{\infty }+\left\| f^{\prime }\right\|_{\infty }$, и определим $T f=\int_{0}^{1} t f(t) d t$. Докажите, что $T$ — ограниченный линейный функционал на $C^{1}[0,1]$, и найдите его норму.

Пусть $X=C[0,1]$ с нормой $\left\| \cdot \right\|_{\max }$, пусть $n \in \mathbb {N}$, пусть $\left\{ \alpha_{k}\right\}_{k=1}^{n}$ — вещественные числа, пусть $\left\{ x_{k}\right\}_{k=1}^{n} \subset [0,1]$, и определим

Докажите, что $T$ — ограниченный линейный функционал на $C[0,1]$, и найдите его норму. Что если последовательность $\left\{ \alpha_{k}\right\}$ бесконечна?

Если $n \in \mathbb {N}$, пусть

Докажите, что $\left\| T_{n}\right\| =2$ для всех $n \in \mathbb {N}$.

Для непрерывной функции $f$ на $[0,2 \pi ]$ пусть $s_{n, x}(f)=s_{n}(f)(x)$ — $n$-я частичная сумма её ряда Фурье, вычисленная в точке $x \in [0,2 \pi ]$. Докажите, что $s_{n, x}$ — ограниченный линейный функционал на $C[0,2 \pi ]$, и определите его норму.

Пусть $X=C[0,1]$ с нормой $\left\| \cdot \right\|_{\max }$, пусть $g \in L^{1}[0,1]$, и определим $T f=\int_{0}^{1} f(t) g(t) d t$. Докажите, что $T$ — ограниченный линейный функционал на $C[0,1]$, и найдите его норму.

Пусть $X$ — пространство $\ell^{1}$ с нормой $\ell^{\infty }$, и пусть $T$ — линейный функционал на $X$, определённый как $T x=\sum_{k} x_{k}$. Докажите или опровергните: $T$ непрерывен на $X$.

Для $f \in C[0,1]$ пусть

Для $x:=\left\{ x_{n}\right\} \in c_{0}$ пусть

Для $x:=\left\{ x_{n}\right\} \in c$ пусть

Для $x:=\left\{ x_{n}\right\} \in \ell^{1}$ пусть

Пусть $T$ и $T^{\prime }$ — два функционала на векторном пространстве $X$, такие что ядро $T$ содержится в ядре $T^{\prime }$. Докажите, что $T^{\prime }=c T$ для некоторого вещественного числа $c$.

Пусть $X$ — линейное пространство, пусть $n \in \mathbb {N}$, и пусть $T_{1}, \ldots , T_{n}$ и $T$ — линейные функционалы на $X$, такие что $\cap_{k=1}^{n} \operatorname {ker} T_{k} \subset \operatorname {ker} T$. Докажите, что $T$ является линейной комбинацией $T_{1}, \ldots , T_{n}$.

Докажите, что линейный функционал на нормированном пространстве ограничен тогда и только тогда, когда он отображает ограниченные множества в ограниченные множества.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство и $x_{0} \in X$. Докажите, что линейный функционал на нормированном пространстве непрерывен тогда и только тогда, когда он непрерывен в $x_{0}$.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство и $T: X \rightarrow \mathbb {R}$ — непрерывное аддитивное отображение, т.е. $T(x+y)=T x+T y$ для всех $x, y \in X$. Докажите, что $T$ однородно, т.е. $T(\alpha x)=\alpha T x$ для всех $\alpha \in \mathbb {R}$ и всех $x \in X$.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство, и пусть $T$ — ограниченный линейный функционал на $X$, и пусть $S$ — множество, плотное в $X$. Докажите, что если $T x=0$ для всех $x \in S$, то $T=0$ на всём $X$.

Докажите (12.6).

Пусть $X$ — нормированное пространство, и пусть $T$ — ненулевой ограниченный линейный функционал на $X$. Докажите, что для всех $x \in X$,

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство и $T$ — ненулевой линейный функционал на $X$. Докажите, что существует $y \in X$, такой что каждый вектор $x \in X$ можно единственным образом записать в виде $x=\lambda y+z$, где $\lambda \in \mathbb {R}$ и $z \in \operatorname {ker} T$.

Пусть $Y$ — подпространство векторного пространства $X$, и пусть $T$ — функционал на $X$, такой что $T(Y)$ — собственное подмножество $\mathbb {R}$. Покажите, что $T x=0$ для всех $x \in Y$.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство и $T$ — ненулевой линейный функционал на $X$. Докажите, что $T$ непрерывен тогда и только тогда, когда $\operatorname {ker} T^{C}$ имеет непустую внутренность.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство и $T$ — линейный функционал на $X$. Докажите, что $T$ непрерывен тогда и только тогда, когда существует открытое множество $G \subset X$ и вещественное число $\alpha$, такие что $\alpha \notin T(G)$.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство и $T$ — линейный функционал на $X$. Докажите, что $T$ непрерывен тогда и только тогда, когда его ядро $\left\{ x \in X: T(x)=0\right\}$ является замкнутым множеством.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство, не являющееся конечномерным. Докажите, что на $X$ существует неограниченный линейный функционал.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство и $T$ — линейный функционал на $X$. Докажите, что норма $T$ обратна расстоянию в $X$ от 0 до множества $\left\{ x \in X: T x=1\right\}$.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство, а $T$ — ограниченный линейный функционал на $X$. Предположим, что существует единичный вектор $x_{0} \in X$ такой, что $\left\| x_{0}-y\right\| \geq 1$ для каждого $y$ из нуль-пространства $T$.

Пусть $\mathcal{M}=\left\{ (x, y) \in \mathbb {R}^{2}: 2 x-y=0\right\}$ и пусть $T: \mathcal{M} \rightarrow \mathbb {R}$ определён формулой $f(x, y)=x$. Покажите, что $T^{\prime }: \mathbb {R}^{2} \rightarrow \mathbb {R}$, определённый формулой $T^{\prime }(x, y)=x / 5+2 y / 5$, является единственным продолжением $T$ по Хану--Банаху.

Пусть $\mathcal{M}=\left\{ \left\{ x_{n}\right\} : x_{1}=x_{3}=x_{5}=\cdots =0\right\} \subset \ell^{1}$. Покажите, что каждый ненулевой функционал $T: \mathcal{M} \rightarrow \mathbb {R}$ имеет бесконечно много продолжений по Хану--Банаху на $\ell^{1}$.

Пусть $Y$ — подпространство $C[a, b]$, состоящее из всех постоянных функций, и пусть $T \in Y^{*}$ определён формулой $T f=f(a)$ для всех $f \in Y$. Определим

Докажите, что $T^{\prime }$ является продолжением $T$ по Хану--Банаху.

Докажите, что функция $T_{0}$, определённая в доказательстве теоремы Хана--Банаха, является корректно определённым линейным функционалом на множестве $Z$, удовлетворяющим $\left\| T_{0}\right\|_{Z^{*}} \leq \left\| T\right\|_{Y^{*}}$.

В упражнениях 12.2.5--12.2.8 $\mathcal{P}$ — векторное пространство многочленов, определённых на $[0,1]$, и $p(x)=\sum_{k=0}^{\operatorname {deg} p} a_{k} x^{k}$. Определите, какие из следующих линейных функционалов на $\mathcal{P}$ можно продолжить до ограниченного линейного функционала на $C[0,1]$:

$T p=a_{0}$.

$T p=\sum_{k=0}^{\operatorname {deg} p} a_{k}$.

$T p=\sum_{k=0}^{\operatorname {deg} p}(-1)^{k} a_{k}$.

$T p=\sum_{k=0}^{N} c_{k} a_{k}$, где $N$ — фиксированное положительное целое число, а $\left\{ c_{k}\right\}_{k=1}^{N}$ — фиксированные вещественные числа.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство, и пусть $Y \subset X$ — конечномерное линейное подпространство. Докажите, что существует замкнутое подпространство $Z \subset X$ такое, что $X=Y+Z$ и $Y \cap Z=\left\{ 0\right\}$.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство, и пусть $Y \subset X$ — конечномерное линейное подпространство. Докажите, что существует вектор $x_{0} \in X$ такой, что $d\left(x_{0}, Y\right)=1$.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство и $x, y$ — две различные точки в $X$. Докажите, что существует $T \in X^{*}$, для которого $T x \neq T y$.

Пусть $V$ — подпространство $L^{\infty }\left(0,1\right)$, определённое как

Докажите, что существует $\varphi \in \left(L^{\infty }\left(0,1\right)\right)^{*}$ такой, что $\varphi (f)=\lim_{n} n \int_{[0,1 / n]} f(x) d x$ для каждой $f \in V$.

Докажите, что существует ограниченный линейный функционал LIM на $\ell^{\infty }$, обладающий следующими свойствами:

Пусть $X \neq 0$ и $Y$ — нормированные пространства, для которых $\mathcal{L}(X, Y)$ является банаховым пространством. Докажите, что $Y$ также является банаховым пространством.

Пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства, и $T: X \rightarrow Y$ — линейный оператор такой, что $\varphi \circ T \in X^{*}$ для каждого $\varphi \in Y^{*}$. Докажите, что $T$ ограничен.

Пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства, и $T: X \rightarrow Y$ — изометрический изоморфизм. Докажите, что существует изометрический изоморфизм $S: X^{*} \rightarrow Y^{*}$.

Докажите следствие 12.2.8.

Следствие 12.2.8: Подпространство $Y$ банахова пространства $X$ плотно в $X$ тогда и только тогда, когда каждый ограниченный линейный функционал, обращающийся в нуль на $Y$, должен обращаться в нуль на $X$.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство, пусть $Y \subset X$ — замкнутое линейное подпространство, пусть $z \in X \backslash Y$, и пусть $V=\left\{ y+\lambda z: y \in Y, \lambda \in \mathbb {R}\right\}$. Докажите, что $V$ — замкнутое подпространство $X$.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство, пусть $Y \subset X$ — линейное подпространство, и пусть $x_{0} \in X \backslash Y$. Докажите, что

Пусть $X, Y$ — нормированные пространства, пусть $X_{0}$ — замкнутое подпространство $X$, пусть $a \in X \backslash X_{0}$, и пусть $b \in Y$. Докажите, что существует $T \in \mathcal{L}(X, Y)$, обращающийся в нуль на $X_{0}$ и такой, что $T a=b$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — конечное измеримое пространство, пусть $Y$ — банахово пространство, и пусть $A: X \rightarrow Y$ таково, что $T \circ A$ интегрируема для каждого $T \in Y^{*}$. Определим $L: Y^{*} \rightarrow \mathbb {R}$ формулой $L(T)=\int_{X} T \circ A d \mu$. Докажите, что $L \in Y^{* *}$.

Пусть $S$ — подмножество нормированного линейного пространства $X$. Докажите, что $S$ ограничено тогда и только тогда, когда $T(S)$ ограничено для каждого $T \in X^{*}$.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство и $x_{0} \in X$. Докажите, что

Докажите, что каждое конечномерное нормированное линейное пространство рефлексивно.

Докажите, что банахово пространство $X$ рефлексивно тогда и только тогда, когда $X^{*}$ рефлексивно.

Пусть $X$ — рефлексивное нормированное пространство. Докажите, что если $Y$ — замкнутое подпространство $X$, то $Y$ рефлексивно.

Пусть $X$ — рефлексивное нормированное пространство, и пусть $Y$ — банахово пространство такое, что $Y^{*}$ изометрически изоморфно $X^{*}$. Докажите, что $Y$ изометрически изоморфно $X$.

Пусть $X$ — рефлексивное нормированное пространство. Докажите, что каждый функционал $T \in X^{*}$ достигает своей нормы на $X$.

Пусть $X$ — банахово пространство. Если $\mathcal{M} \subset X$ и $\mathcal{N} \subset X^{*}$ — замкнутые подпространства, пусть $\mathcal{M}^{0}=\left\{ T \in X^{*}: T \mid \mathcal{M}=0\right\}$ и $\mathcal{N}^{\perp }=\left\{ x \in X: T x=0 , \text{ для всех } T \in \mathcal{N}\right\}$. Докажите, что:

Пусть $X$ — нормированное пространство и $T, T_{1}, \ldots , T_{n} \in X^{*}$. Пусть $Y=\left\{ x \in X: T_{1}(x)=\cdots =T_{n}(x)=0\right\}$ и $S: Y \rightarrow \mathbb {R}$ определён формулой $S(x)=T(x)$ на $Y$. Если $\varphi$ — ограниченный линейный функционал на $X$, продолжающий $S$, докажите, что существуют $\alpha_{1}, \ldots , \alpha_{n} \in \mathbb {R}$ такие, что $\varphi =T+\alpha_{1} T_{1}+\cdots +\alpha_{n} T_{n}$.

Пусть $\mathcal{A}=\left\{ T \in \mathcal{L}\left(\ell^{2}\right): \left\langle T e_{1}, e_{1} \right\rangle -2 \left\langle T e_{1}, e_{2} \right\rangle =0\right\}$, и пусть $\varphi$ — ограниченный линейный функционал на $\mathcal{A}$, определённый формулой $\varphi (T)= \left\langle T e_{1}, e_{1} \right\rangle$. Докажите, что $\tilde{\varphi }: \mathcal{L}\left(\ell^{2}\right) \rightarrow \mathbb {R}$, определённый формулой

является единственным продолжением $\varphi$ по Хану--Банаху.

В предложении 12.3.2 докажите случай $p>1$ и $\mu$ $\sigma$-конечной.

Предложение 12.3.2: Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — $\sigma$-конечное измеримое пространство, пусть $1 \leq p < \infty$, $1/p+1/q=1$, и пусть $f$ — интегрируемая функция на $X$. Определим функционал $T_{f}$ на $L^{\infty }\left(X, \mu \right)$ формулой $T_{f}(g) = \int_{X} fg \, d\mu$. Если $T_{f}$ продолжается до ограниченного линейного функционала на $L^{p}\left(X, \mu \right)$, то $f \in L^{q}\left(X, \mu \right)$ и $\left\| f\right\|_{q} \leq \left\| T_{f}\right\|$. (Случай $p=1$ доказан в тексте; остаётся только случай $p>1$ при $\sigma$-конечной $\mu$.)

Используя теорему Хана--Банаха, докажите, что сопряжённое пространство к $L^{\infty }\left(0,1\right)$ нельзя отождествить с $L^{1}\left(0,1\right)$.

Приведите пример измеримого пространства ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ), для которого теорема Рисса о представлении всё же распространяется на случай $p=\infty$.

Цель этого упражнения — установить следующий результат: теорема 12.3.5 не обязана выполняться при $p=1$, если измеримое пространство не $\sigma$-конечно. Пусть $X=(0,1)$, и пусть $\mathfrak {M}$ — $\sigma$-алгебра, состоящая из множеств, которые либо конечны или счётны, либо их дополнения таковы. Наконец, пусть $\mu$ — считающая мера на $\mathfrak {M}$.

Докажите или опровергните каждое из следующих утверждений: существует $T \in \left(L^{q}\left(0,1\right)\right)^{*}$, $1 \leq q<\infty$, такой, что $T f=f^{\prime }(0)$ для всех

Пусть $1 \leq p<\infty$ и пусть $D \subset L^{p}\left(\mathbb {R}\right)$ состоит из всех функций $f \in L^{p}\left(\mathbb {R}\right)$ с компактным носителем. Докажите, что $D$ плотно в $L^{p}\left(\mathbb {R}\right)$. Докажите, что это неверно при $p=\infty$.

Пусть $p>1$. Приведите пример подпространства $X$, плотного в $L^{r}\left(\mathbb {R}\right)$ для всех $1<r<p$, но не плотного в $L^{p}\left(\mathbb {R}\right)$.

Пусть $p>1$. Приведите пример подпространства $X$, плотного в $L^{p}\left(\mathbb {R}\right)$, но не плотного ни в каком $L^{r}\left(\mathbb {R}\right)$ при $1<r<p$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — $\sigma$-конечное измеримое пространство, и $1<p<\infty$. Докажите, что $L^{p}\left(X, \mu \right)$ рефлексивно.

Пусть $Y$ — подпространство $X$. Докажите, что:

Докажите, что в случае $1<p<\infty$ теорема Рисса распространяется на меры, не являющиеся $\sigma$-конечными.

Пусть $X=\left\{ a, b\right\}$, и определим $\mu (\left\{ a\right\} )=1$, $\mu (\left\{ b\right\} )=\mu (X)=\infty$, и $\mu (\varnothing )=0$. Каково сопряжённое пространство к $L^{p}\left(X, \mu \right)$ при $1 \leq p<\infty$? А при $p=\infty$?

В упражнениях 12.3.13--12.3.16 докажите, что $T$ — ограниченный линейный функционал на $L^{p}\left(X, \mu \right)$, и найдите функцию $f \in L^{q}\left(X, \mu \right)$, для которой $T=T_{f}$:

$X=[0,1]$, $\mu =m \mid [0,1]$, $T g=\int_{0}^{1 / 2} x^{2} g(x) d x$.

$X=[0,1]$, $\mu =m \mid [0,1]$, $T g=\int_{0}^{1} x^{2} g(\sqrt{x}) d x$.

$X=\mathbb {N}$, $\mu$ — считающая мера, $T g=\sum_{n=1}^{\infty } g_{n+1} / n^{2}$.

$X=\mathbb {N}$, $\mu$ — считающая мера, $T g=\sum_{n=1}^{\infty } g_{2 n} / n^{3 / 2}$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — $\sigma$-конечное измеримое пространство, пусть $1<p<\infty$, и пусть $T$ — ограниченный линейный функционал на $L^{p}\left(X, \mu \right)$. Докажите, что $T$ достигает своей нормы.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — измеримое пространство, пусть $1<p<\infty$, и пусть $A$ — ограниченный линейный оператор на $L^{p}\left(X, \mu \right)$. Предположим, что

Докажите, что $A$ единственным образом продолжается до ограниченного оператора на $L^{q}\left(X, \mu \right)$.

Пусть $1<p<\infty$. Докажите, что $E=\left\{ f \in L^{p}\left(\mathbb {R}\right): \int_{\mathbb {R}} f=0\right\}$ — плотное подпространство $L^{p}\left(\mathbb {R}\right)$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — измеримое пространство, пусть $1 \leq p<\infty$, пусть $x_{0} \in X$, и пусть $T$ определён формулой $T f=f\left(x_{0}\right)$. Предположим, что $\left\{ x_{0}\right\} \in \mathfrak {M}$. Докажите, что $T$ является ограниченным линейным функционалом на $L^{p}\left(X, \mu \right)$ тогда и только тогда, когда $\mu \left(\left\{ x_{0}\right\} \right)>0$.

Приведите пример измеримого пространства ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) и измеримой функции $f: X \rightarrow \mathbb {R}$, которая не принадлежит $L^{p}\left(X, \mu \right)$ ни при каком $1 \leq p<\infty$, но тем не менее обладает свойством, что $f g \in L^{1}\left(X, \mu \right)$ для любой $g \in L^{q}\left(X, \mu \right)$, где $1 \leq q<\infty$.

Приведите пример измеримого пространства ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ), для которого отображение $f \mapsto T_{f}$ из $L^{\infty }\left(X, \mu \right)$ в $\left(L^{1}\left(X, \mu \right)\right)^{*}$ не является изометрией.