Двойственное пространство к $L^{p}$

В предложении 12.3.2 докажите случай $p>1$ и $\mu$ $\sigma$-конечной.

Предложение 12.3.2: Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — $\sigma$-конечное измеримое пространство, пусть $1 \leq p < \infty$, $1/p+1/q=1$, и пусть $f$ — интегрируемая функция на $X$. Определим функционал $T_{f}$ на $L^{\infty }\left(X, \mu \right)$ формулой $T_{f}(g) = \int_{X} fg \, d\mu$. Если $T_{f}$ продолжается до ограниченного линейного функционала на $L^{p}\left(X, \mu \right)$, то $f \in L^{q}\left(X, \mu \right)$ и $\left\| f\right\|_{q} \leq \left\| T_{f}\right\|$. (Случай $p=1$ доказан в тексте; остаётся только случай $p>1$ при $\sigma$-конечной $\mu$.)

Используя теорему Хана--Банаха, докажите, что сопряжённое пространство к $L^{\infty }\left(0,1\right)$ нельзя отождествить с $L^{1}\left(0,1\right)$.

Приведите пример измеримого пространства ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ), для которого теорема Рисса о представлении всё же распространяется на случай $p=\infty$.

Цель этого упражнения — установить следующий результат: теорема 12.3.5 не обязана выполняться при $p=1$, если измеримое пространство не $\sigma$-конечно. Пусть $X=(0,1)$, и пусть $\mathfrak {M}$ — $\sigma$-алгебра, состоящая из множеств, которые либо конечны или счётны, либо их дополнения таковы. Наконец, пусть $\mu$ — считающая мера на $\mathfrak {M}$.

Докажите или опровергните каждое из следующих утверждений: существует $T \in \left(L^{q}\left(0,1\right)\right)^{*}$, $1 \leq q<\infty$, такой, что $T f=f^{\prime }(0)$ для всех

Пусть $1 \leq p<\infty$ и пусть $D \subset L^{p}\left(\mathbb {R}\right)$ состоит из всех функций $f \in L^{p}\left(\mathbb {R}\right)$ с компактным носителем. Докажите, что $D$ плотно в $L^{p}\left(\mathbb {R}\right)$. Докажите, что это неверно при $p=\infty$.

Пусть $p>1$. Приведите пример подпространства $X$, плотного в $L^{r}\left(\mathbb {R}\right)$ для всех $1<r<p$, но не плотного в $L^{p}\left(\mathbb {R}\right)$.

Пусть $p>1$. Приведите пример подпространства $X$, плотного в $L^{p}\left(\mathbb {R}\right)$, но не плотного ни в каком $L^{r}\left(\mathbb {R}\right)$ при $1<r<p$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — $\sigma$-конечное измеримое пространство, и $1<p<\infty$. Докажите, что $L^{p}\left(X, \mu \right)$ рефлексивно.

Пусть $Y$ — подпространство $X$. Докажите, что:

Докажите, что в случае $1<p<\infty$ теорема Рисса распространяется на меры, не являющиеся $\sigma$-конечными.

Пусть $X=\left\{ a, b\right\}$, и определим $\mu (\left\{ a\right\} )=1$, $\mu (\left\{ b\right\} )=\mu (X)=\infty$, и $\mu (\varnothing )=0$. Каково сопряжённое пространство к $L^{p}\left(X, \mu \right)$ при $1 \leq p<\infty$? А при $p=\infty$?

В упражнениях 12.3.13--12.3.16 докажите, что $T$ — ограниченный линейный функционал на $L^{p}\left(X, \mu \right)$, и найдите функцию $f \in L^{q}\left(X, \mu \right)$, для которой $T=T_{f}$:

$X=[0,1]$, $\mu =m \mid [0,1]$, $T g=\int_{0}^{1 / 2} x^{2} g(x) d x$.

$X=[0,1]$, $\mu =m \mid [0,1]$, $T g=\int_{0}^{1} x^{2} g(\sqrt{x}) d x$.

$X=\mathbb {N}$, $\mu$ — считающая мера, $T g=\sum_{n=1}^{\infty } g_{n+1} / n^{2}$.

$X=\mathbb {N}$, $\mu$ — считающая мера, $T g=\sum_{n=1}^{\infty } g_{2 n} / n^{3 / 2}$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — $\sigma$-конечное измеримое пространство, пусть $1<p<\infty$, и пусть $T$ — ограниченный линейный функционал на $L^{p}\left(X, \mu \right)$. Докажите, что $T$ достигает своей нормы.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — измеримое пространство, пусть $1<p<\infty$, и пусть $A$ — ограниченный линейный оператор на $L^{p}\left(X, \mu \right)$. Предположим, что

Докажите, что $A$ единственным образом продолжается до ограниченного оператора на $L^{q}\left(X, \mu \right)$.

Пусть $1<p<\infty$. Докажите, что $E=\left\{ f \in L^{p}\left(\mathbb {R}\right): \int_{\mathbb {R}} f=0\right\}$ — плотное подпространство $L^{p}\left(\mathbb {R}\right)$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — измеримое пространство, пусть $1 \leq p<\infty$, пусть $x_{0} \in X$, и пусть $T$ определён формулой $T f=f\left(x_{0}\right)$. Предположим, что $\left\{ x_{0}\right\} \in \mathfrak {M}$. Докажите, что $T$ является ограниченным линейным функционалом на $L^{p}\left(X, \mu \right)$ тогда и только тогда, когда $\mu \left(\left\{ x_{0}\right\} \right)>0$.

Приведите пример измеримого пространства ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) и измеримой функции $f: X \rightarrow \mathbb {R}$, которая не принадлежит $L^{p}\left(X, \mu \right)$ ни при каком $1 \leq p<\infty$, но тем не менее обладает свойством, что $f g \in L^{1}\left(X, \mu \right)$ для любой $g \in L^{q}\left(X, \mu \right)$, где $1 \leq q<\infty$.

Приведите пример измеримого пространства ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ), для которого отображение $f \mapsto T_{f}$ из $L^{\infty }\left(X, \mu \right)$ в $\left(L^{1}\left(X, \mu \right)\right)^{*}$ не является изометрией.

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — измеримое пространство, пусть $1 \leq p<\infty$, пусть $1 / p+1 / q=1$, пусть $g \in L^{1}\left(X, \mu \right)$, и предположим, что существует $M \geq 0$, для которого $\left|\int_{X} g f d \mu \right| \leq M\left\| f\right\|_{p}$ для любой простой функции $f$ из $L^{p}\left(X, \mu \right)$. Докажите, что $g$ принадлежит $L^{q}\left(X, \mu \right)$ и что $\left\| g\right\|_{q} \leq M$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — измеримое пространство, пусть $Y=L^{2}\left(X, \mu \right) \times L^{2}\left(X, \mu \right)$, и определим норму на $Y$ формулой $\left\| (f, g)\right\| =\left(\left\| f\right\|_{2}^{3}+\left\| g\right\|_{2}^{3}\right)^{1 / 3}$. Докажите, что это норма, превращающая $Y$ в банахово пространство, и опишите $Y^{*}$.

Пусть $c$ — нормированное линейное пространство всех сходящихся вещественных последовательностей с нормой $\left\| \left\{ x_{n}\right\} \right\| =\sup_{n}\left|x_{n}\right|$. Докажите, что сопряжённое пространство к $c$ изометрически изоморфно $\ell^{1}$.

Пусть $c_{0}$ — нормированное линейное пространство всех вещественных последовательностей, сходящихся к 0, с нормой $\left\| \left\{ x_{n}\right\} \right\| =\sup_{n}\left|x_{n}\right|$. Докажите, что сопряжённое пространство к $c_{0}$ изометрически изоморфно $\ell^{1}$.

Используя теорему Хана--Банаха, докажите, что сопряжённое пространство к $\ell^{\infty }$ нельзя отождествить с $\ell^{1}$.

Пусть $\left\{ x_{n}\right\}$ — неограниченная последовательность в гильбертовом пространстве $\mathcal{H}$. Докажите, что существует вектор $x \in \mathcal{H}$ такой, что последовательность $\left\{ \left\langle x_{n}, x \right\rangle \right\}$ неограничена.

Рассмотрим скалярное произведение на $C[-1,1]$, заданное формулой

Пусть $T$ — линейный функционал на $C[-1,1]$, определённый формулой $T f=f(0)$. Покажите, что не существует $g \in C[-1,1]$ такой, что $T f= \left\langle f, g \right\rangle$ для каждой $f \in C[-1,1]$.

Пусть $X=\left\{ f \in A C[0,1]: f(0)=0, f^{\prime } \in L^{2}\left(0,1\right)\right\}$.

Пусть $X$ — банахово пространство, пусть $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство, пусть $A: X \rightarrow \mathcal{H}$ — линейный оператор, и пусть $\left\{ e_{k}\right\}$ — ортонормированный базис $\mathcal{H}$. Предположим, что для каждого $k \in \mathbb {N}$ функционал $\Lambda$, определённый формулой $\Lambda x= \left\langle A x, e_{k} \right\rangle$, непрерывен. Докажите, что $A$ непрерывен.

Приведите пример, показывающий, что теорема Рисса--Фреше о представлении может не выполняться, если $\mathcal{H}$ является всего лишь предгильбертовым пространством, не являющимся полным.

Пусть $X$ -- предгильбертово пространство, и предположим, что теорема Рисса--Фреше о представлении выполняется, т.е. всякий непрерывный линейный функционал на $X$ может быть представлен в виде $T x= \left\langle x, h \right\rangle$ для некоторого $h \in X$. Докажите, что $X$ полно.

Пусть $\mathcal{H}$ -- гильбертово пространство с ортонормированным базисом $\left\{ e_{n}\right\}$. Докажите или опровергните: существует ограниченный линейный функционал $T$ на $\mathcal{H}$ такой, что

Пусть $\mathcal{H}$ -- гильбертово пространство, а $T_{1}, T_{2}$ -- ненулевые ограниченные линейные функционалы на $\mathcal{H}$, обладающие следующим свойством: если $x \in \mathcal{H}$ удовлетворяет $\left|T_{1} x\right|=\left\| T_{1}\right\| \left\| x\right\|$, то $T_{2} x=0$. Докажите, что если $x \in \mathcal{H}$ удовлетворяет $\left|T_{2} x\right|=\left\| T_{2}\right\| \left\| x\right\|$, то $T_{1} x=0$.

Пусть $\mathcal{H}$ -- гильбертово пространство с ортонормированным базисом $\left\{ e_{n}\right\}$, и пусть

Докажите, что $\left\{ f_{n}\right\}$ является ортонормированным базисом $\mathcal{H}$.

Пусть $\mathcal{H}$ -- гильбертово пространство и $h \in \mathcal{H}$. Докажите, что $\left\| h\right\| =\sup \left\{ \left\langle h, x \right\rangle : \left\| x\right\| \leq 1\right\}$.

Пусть $\mathcal{H}_{1}, \mathcal{H}_{2}$ -- гильбертовы пространства, и пусть $\mathcal{H}=\mathcal{H}_{1} \oplus \mathcal{H}_{2}$ -- прямая ортогональная сумма $\mathcal{H}_{1}, \mathcal{H}_{2}$, снабжённая скалярным произведением $\left\langle \left(x_{1}, y_{1}\right), \left(x_{2}, y_{2}\right) \right\rangle := \left\langle x_{1}, y_{1} \right\rangle_{H_{1}}+ \left\langle x_{2}, y_{2} \right\rangle_{H_{2}}$. Докажите, что:

Пусть $X$ -- банахово пространство, и предположим, что $X^{*}$ изометрически изоморфно $X$. Следует ли отсюда, что $X$ изометрически изоморфно гильбертову пространству?

Пусть $X$ -- предгильбертово пространство, и предположим, что каждое замкнутое подпространство $Y$ пространства $X$ дополняемо, т.е. для каждого $x \in X$ существуют $y \in Y$ и $z \perp Y$ такие, что $x=y+z$. Докажите, что $X$ полно.

Пусть $X$ -- сепарабельное предгильбертово пространство, обладающее тем свойством, что каждая максимальная ортонормированная последовательность в $X$ является ортонормированным базисом $X$. Докажите, что $X$ полно.

Пусть $\mathcal{K}$ -- замкнутое подпространство гильбертова пространства $\mathcal{H}$, и пусть $P$ обозначает ортогональную проекцию на $\mathcal{K}$, т.е. оператор, сопоставляющий каждому $x \in \mathcal{H}$ его ортогональную проекцию на $\mathcal{K}$. Пусть $g \in \mathcal{H}$, и пусть $T$ обозначает линейный функционал $T x:= \left\langle g, x \right\rangle$. Найдите вектор $h \in \mathcal{H}$, для которого $(T \circ P) x= \left\langle h, x \right\rangle$.

Пусть $\mathcal{H}$ -- сепарабельное гильбертово пространство, пусть $\left\{ e_{k}\right\}$ -- ортонормированный базис $\mathcal{H}$, и пусть $S$ обозначает оператор сдвига, т.е. линейный оператор, сопоставляющий каждому $e_{k}$ элемент $e_{k+1}$. Пусть $g \in \mathcal{H}$, и пусть $T$ обозначает линейный функционал $T x:= \left\langle g, x \right\rangle$. Найдите вектор $h \in \mathcal{H}$, для которого $(T \circ S) x= \left\langle h, x \right\rangle$.

Пусть $T$ -- ограниченный линейный функционал на подпространстве $\mathcal{M}$ гильбертова пространства $\mathcal{H}$. Докажите, что $T$ имеет единственное продолжение, сохраняющее норму, до ограниченного линейного функционала на $\mathcal{H}$, и что это продолжение обращается в нуль на $\mathcal{M}^{\perp }$.

Пусть $T$ -- ограниченный линейный функционал на гильбертовом пространстве $\mathcal{H}$, пусть $\mathcal{M}$ -- замкнутое подпространство $\mathcal{H}$, и пусть $\varphi : \mathcal{M} \rightarrow \mathbb {R}$ определяется как $\varphi (x)=\left\| x\right\|^{2}-T x$. Докажите, что $\varphi$ ограничен снизу и достигает своей нижней грани в единственной точке $\mathcal{M}$.

Пусть $\mathcal{H}$ -- гильбертово пространство, пусть $\left\{ T_{n}\right\} \subset \mathcal{L}(\mathcal{H})$, и предположим, что существует множество $A \subset \mathcal{H}$ второй категории, плотное в $\mathcal{H}$, такое что $\lim_{n} \left\langle T_{n} x, y \right\rangle =0$ для каждого $x \in \mathcal{H}$ и $y \in A$. Докажите, что $\lim_{n} \left\langle T_{n} x, y \right\rangle =0$ для всех $x, y \in \mathcal{H}$.

Пусть $f$ -- функция из $L^{1}\left(\mathbb {R}\right)$, не принадлежащая $L^{2}\left(\mathbb {R}\right)$. Докажите, что существует ортонормированный базис $\left\{ \varphi_{n}\right\}$ пространства $L^{2}\left(\mathbb {R}\right)$, состоящий из непрерывных функций, такой что $\int_{\mathbb {R}} f \varphi_{n}=0$ для всех $n \in \mathbb {N}$.

Пусть $\mathcal{H}$ -- предгильбертово пространство, и предположим, что $\mathcal{M}=\mathcal{M}^{\perp \perp }$ для каждого замкнутого подпространства $\mathcal{M}$ пространства $\mathcal{H}$. Докажите, что $\mathcal{H}$ полно.

Пусть $S$ -- подпространство $C[0,1]$, и предположим, что существует постоянная $K \geq 0$ такая, что $\left\| f\right\|_{\max } \leq K\left\| f\right\|_{2}$ для всех $f \in S$. Докажите, что $S$ конечномерно.

Пусть $T$ -- ограниченный линейный функционал на $\mathbb {R}^{n}$. Докажите, что $T$ имеет единственное продолжение, сохраняющее норму, до $\mathbb {R}^{n+1}$.

Пусть $X$ -- замкнутое подпространство $L^{2}\left(0,1\right)$, содержащееся в $C[0,1]$. Докажите, что: