Теорема Хана–Банаха

Пусть $\mathcal{M}=\left\{ (x, y) \in \mathbb {R}^{2}: 2 x-y=0\right\}$ и пусть $T: \mathcal{M} \rightarrow \mathbb {R}$ определён формулой $f(x, y)=x$. Покажите, что $T^{\prime }: \mathbb {R}^{2} \rightarrow \mathbb {R}$, определённый формулой $T^{\prime }(x, y)=x / 5+2 y / 5$, является единственным продолжением $T$ по Хану--Банаху.

Пусть $\mathcal{M}=\left\{ \left\{ x_{n}\right\} : x_{1}=x_{3}=x_{5}=\cdots =0\right\} \subset \ell^{1}$. Покажите, что каждый ненулевой функционал $T: \mathcal{M} \rightarrow \mathbb {R}$ имеет бесконечно много продолжений по Хану--Банаху на $\ell^{1}$.

Пусть $Y$ — подпространство $C[a, b]$, состоящее из всех постоянных функций, и пусть $T \in Y^{*}$ определён формулой $T f=f(a)$ для всех $f \in Y$. Определим

Докажите, что $T^{\prime }$ является продолжением $T$ по Хану--Банаху.

Докажите, что функция $T_{0}$, определённая в доказательстве теоремы Хана--Банаха, является корректно определённым линейным функционалом на множестве $Z$, удовлетворяющим $\left\| T_{0}\right\|_{Z^{*}} \leq \left\| T\right\|_{Y^{*}}$.

В упражнениях 12.2.5--12.2.8 $\mathcal{P}$ — векторное пространство многочленов, определённых на $[0,1]$, и $p(x)=\sum_{k=0}^{\operatorname {deg} p} a_{k} x^{k}$. Определите, какие из следующих линейных функционалов на $\mathcal{P}$ можно продолжить до ограниченного линейного функционала на $C[0,1]$:

$T p=a_{0}$.

$T p=\sum_{k=0}^{\operatorname {deg} p} a_{k}$.

$T p=\sum_{k=0}^{\operatorname {deg} p}(-1)^{k} a_{k}$.

$T p=\sum_{k=0}^{N} c_{k} a_{k}$, где $N$ — фиксированное положительное целое число, а $\left\{ c_{k}\right\}_{k=1}^{N}$ — фиксированные вещественные числа.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство, и пусть $Y \subset X$ — конечномерное линейное подпространство. Докажите, что существует замкнутое подпространство $Z \subset X$ такое, что $X=Y+Z$ и $Y \cap Z=\left\{ 0\right\}$.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство, и пусть $Y \subset X$ — конечномерное линейное подпространство. Докажите, что существует вектор $x_{0} \in X$ такой, что $d\left(x_{0}, Y\right)=1$.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство и $x, y$ — две различные точки в $X$. Докажите, что существует $T \in X^{*}$, для которого $T x \neq T y$.

Пусть $V$ — подпространство $L^{\infty }\left(0,1\right)$, определённое как

Докажите, что существует $\varphi \in \left(L^{\infty }\left(0,1\right)\right)^{*}$ такой, что $\varphi (f)=\lim_{n} n \int_{[0,1 / n]} f(x) d x$ для каждой $f \in V$.

Докажите, что существует ограниченный линейный функционал LIM на $\ell^{\infty }$, обладающий следующими свойствами:

Пусть $X \neq 0$ и $Y$ — нормированные пространства, для которых $\mathcal{L}(X, Y)$ является банаховым пространством. Докажите, что $Y$ также является банаховым пространством.

Пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства, и $T: X \rightarrow Y$ — линейный оператор такой, что $\varphi \circ T \in X^{*}$ для каждого $\varphi \in Y^{*}$. Докажите, что $T$ ограничен.

Пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства, и $T: X \rightarrow Y$ — изометрический изоморфизм. Докажите, что существует изометрический изоморфизм $S: X^{*} \rightarrow Y^{*}$.

Докажите следствие 12.2.8.

Следствие 12.2.8: Подпространство $Y$ банахова пространства $X$ плотно в $X$ тогда и только тогда, когда каждый ограниченный линейный функционал, обращающийся в нуль на $Y$, должен обращаться в нуль на $X$.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство, пусть $Y \subset X$ — замкнутое линейное подпространство, пусть $z \in X \backslash Y$, и пусть $V=\left\{ y+\lambda z: y \in Y, \lambda \in \mathbb {R}\right\}$. Докажите, что $V$ — замкнутое подпространство $X$.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство, пусть $Y \subset X$ — линейное подпространство, и пусть $x_{0} \in X \backslash Y$. Докажите, что

Пусть $X, Y$ — нормированные пространства, пусть $X_{0}$ — замкнутое подпространство $X$, пусть $a \in X \backslash X_{0}$, и пусть $b \in Y$. Докажите, что существует $T \in \mathcal{L}(X, Y)$, обращающийся в нуль на $X_{0}$ и такой, что $T a=b$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — конечное измеримое пространство, пусть $Y$ — банахово пространство, и пусть $A: X \rightarrow Y$ таково, что $T \circ A$ интегрируема для каждого $T \in Y^{*}$. Определим $L: Y^{*} \rightarrow \mathbb {R}$ формулой $L(T)=\int_{X} T \circ A d \mu$. Докажите, что $L \in Y^{* *}$.

Пусть $S$ — подмножество нормированного линейного пространства $X$. Докажите, что $S$ ограничено тогда и только тогда, когда $T(S)$ ограничено для каждого $T \in X^{*}$.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство и $x_{0} \in X$. Докажите, что

Докажите, что каждое конечномерное нормированное линейное пространство рефлексивно.

Докажите, что банахово пространство $X$ рефлексивно тогда и только тогда, когда $X^{*}$ рефлексивно.

Пусть $X$ — рефлексивное нормированное пространство. Докажите, что если $Y$ — замкнутое подпространство $X$, то $Y$ рефлексивно.

Пусть $X$ — рефлексивное нормированное пространство, и пусть $Y$ — банахово пространство такое, что $Y^{*}$ изометрически изоморфно $X^{*}$. Докажите, что $Y$ изометрически изоморфно $X$.

Пусть $X$ — рефлексивное нормированное пространство. Докажите, что каждый функционал $T \in X^{*}$ достигает своей нормы на $X$.

Пусть $X$ — банахово пространство. Если $\mathcal{M} \subset X$ и $\mathcal{N} \subset X^{*}$ — замкнутые подпространства, пусть $\mathcal{M}^{0}=\left\{ T \in X^{*}: T \mid \mathcal{M}=0\right\}$ и $\mathcal{N}^{\perp }=\left\{ x \in X: T x=0 , \text{ для всех } T \in \mathcal{N}\right\}$. Докажите, что:

Пусть $X$ — нормированное пространство и $T, T_{1}, \ldots , T_{n} \in X^{*}$. Пусть $Y=\left\{ x \in X: T_{1}(x)=\cdots =T_{n}(x)=0\right\}$ и $S: Y \rightarrow \mathbb {R}$ определён формулой $S(x)=T(x)$ на $Y$. Если $\varphi$ — ограниченный линейный функционал на $X$, продолжающий $S$, докажите, что существуют $\alpha_{1}, \ldots , \alpha_{n} \in \mathbb {R}$ такие, что $\varphi =T+\alpha_{1} T_{1}+\cdots +\alpha_{n} T_{n}$.

Пусть $\mathcal{A}=\left\{ T \in \mathcal{L}\left(\ell^{2}\right): \left\langle T e_{1}, e_{1} \right\rangle -2 \left\langle T e_{1}, e_{2} \right\rangle =0\right\}$, и пусть $\varphi$ — ограниченный линейный функционал на $\mathcal{A}$, определённый формулой $\varphi (T)= \left\langle T e_{1}, e_{1} \right\rangle$. Докажите, что $\tilde{\varphi }: \mathcal{L}\left(\ell^{2}\right) \rightarrow \mathbb {R}$, определённый формулой

является единственным продолжением $\varphi$ по Хану--Банаху.