Двойственное пространство к $L^{\infty}$

Пусть $f \in L^{1}\left(0,1\right)$, и предположим, что $\int_{0}^{1} f g=0$ для всех $g \in C[0,1]$. Докажите, что $f=0$ почти всюду.

Докажите, что отображение, определённое формулой $T f=f(0)$, является ограниченным линейным функционалом на $C[0,1]$. Покажите, что его продолжение на $L^{\infty }\left(0,1\right)$ не имеет вида $\int_{0}^{1} g d m$ ни для какой $g \in L^{1}\left(0,1\right)$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}$ ) -- измеримое пространство и $\nu : \mathfrak {M} \rightarrow \mathbb {R}$ -- аддитивная знакопеременная мера. Для $A \in \mathfrak {M}$ определим $\nu^{+}(A)=\sup \left\{ \nu (E): E \subset A, E \in \mathfrak {M}\right\}$ и $\nu^{-}(A)=\sup \left\{ -\nu (E): E \subset A, E \in \mathfrak {M}\right\}$. Докажите, что:

Пусть ( $X, \mathfrak {M}$ ) -- измеримое пространство, пусть $\nu : \mathfrak {M} \rightarrow \mathbb {R}$ -- ограниченная аддитивная знакопеременная мера, и пусть $f$ -- измеримая функция на $X$. Докажите, что $f$ интегрируема относительно $\left|\nu \right|$ тогда и только тогда, когда она интегрируема как относительно $\nu^{+}$, так и относительно $\nu^{-}$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}$ ) -- измеримое пространство, пусть $\mu : \mathfrak {M} \rightarrow \mathbb {R}$ -- ограниченная неотрицательная аддитивная мера. Докажите, что предложение 7.2.11 остаётся верным.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}$ ) -- измеримое пространство, пусть $\mu : \mathfrak {M} \rightarrow \mathbb {R}$ -- ограниченная неотрицательная аддитивная мера, пусть $A, B \in \mathfrak {M}$ не пересекаются, и пусть $f$ -- неотрицательная измеримая функция на $X$. Докажите, что $f$ интегрируема на $A \cup B$ тогда и только тогда, когда она интегрируема как на $A$, так и на $B$, и в этом случае

Пусть ( $X, \mathfrak {M}$ ) -- измеримое пространство, пусть $\mu : \mathfrak {M} \rightarrow \mathbb {R}$ -- ограниченная неотрицательная аддитивная знакопеременная мера. Докажите, что теорема 7.2.14 остаётся верной.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}$ ) -- измеримое пространство, пусть $\nu : \mathfrak {M} \rightarrow \mathbb {R}$ -- ограниченная аддитивная знакопеременная мера, и пусть $f$ -- измеримая функция на $X$. Докажите, что

Докажите, что полная вариация $\left\| \nu \right\| :=\left|\nu \right|(X)$ обладает всеми свойствами нормы на $b a(X, \mathfrak {M}, \mu )$, превращающей его в банахово пространство.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}$ ) -- измеримое пространство и $\nu : \mathfrak {M} \rightarrow \mathbb {R}$ -- аддитивная знакопеременная мера. Докажите, что для любой неотрицательной функции $f$ на $X$ $\int_{X} f d \nu^{+}+ \int_{X} f d \nu^{-}=\int_{X} f d\left|\nu \right|$.

Пусть $(X, \mathfrak {M})$ -- измеримое пространство, пусть $\mu$ -- ограниченная аддитивная мера на $X$, и пусть $f \in L^{1}\left(X, \mu \right)$. Докажите, что выражение

определяет меру в $b a(X, \mathfrak {M}, \mu )$.

Пусть $(X, \mathfrak {M})$ -- измеримое пространство и пусть $\nu : \mathfrak {M} \rightarrow \mathbb {R}$ -- ограниченная аддитивная знакопеременная мера на $X$. Докажите, что:

Пусть ( $X, \mathfrak {M}$ ) -- измеримое пространство, пусть $\nu : \mathfrak {M} \rightarrow \mathbb {R}$ -- ограниченная аддитивная знакопеременная мера, и пусть $\mu_{1}, \mu_{2}$ -- счётно-аддитивные ограниченные меры такие, что $\mu_{1} \leq \nu \leq \mu_{2}$. Докажите, что $\nu$ счётно-аддитивна.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}$ ) -- измеримое пространство, пусть $\mu$ и $\nu$ -- ограниченные аддитивные знакопеременные меры, и определим

Докажите, что $\mu \wedge \nu$ и $\mu \vee \nu$ -- ограниченные аддитивные знакопеременные меры на $\mathfrak {M}$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}$ ) -- измеримое пространство, и пусть $\nu$ -- ограниченная аддитивная неотрицательная мера. Докажите, что $\nu$ $\sigma$-аддитивна тогда и только тогда, когда верна теорема о монотонной сходимости.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}$ ) -- измеримое пространство, и пусть $\nu$ -- ограниченная аддитивная неотрицательная мера. Докажите, что $\nu$ $\sigma$-аддитивна тогда и только тогда, когда верна теорема о мажорированной сходимости.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) -- пространство с мерой и $\Lambda$ -- ограниченный линейный функционал на $L^{\infty }\left(X, \mu \right)$. Докажите, что (12.31) определяет ограниченную аддитивную знакопеременную меру, абсолютно непрерывную относительно $\mu$.

Приведите пример пространства с мерой ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) и $\nu \in b a(X, \mathfrak {M} \mu )$ такого, что $T_{\nu }$ не является ненулевым ограниченным линейным функционалом на $L^{p}\left(X, \mu \right), 1 \leq p< \infty$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) -- пространство с мерой, пусть $\nu \in b a(X, \mathfrak {M}, \mu )$, и пусть $f$ -- неотрицательная функция из $L^{\infty }\left(X, \mu \right)$. Докажите, что существует последовательность $\left\{ s_{n}\right\}$ простых функций на $X$ такая, что $0 \leq s_{n} \leq f$, $\left\{ s_{n}\right\}$ сходится к $f$ по норме $L^{\infty }\left(X, \mu \right)$, и $\lim_{n} \int_{X} s_{n} d \nu =\int_{X} f d \nu$.

Приведите пример, показывающий, что сопряжённое пространство к $\ell^{\infty }$ не может быть отождествлено с $\ell^{1}$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) -- пространство с мерой, пусть $\left\{ \nu_{i}\right\}_{i \in I} \subset b a(X, \mathfrak {M}, \mu )$, и предположим, что существует $\omega \in b a(X, \mathfrak {M}, \mu )$, являющаяся верхней гранью, т.е. $\nu_{i} \leq \omega$ для всех $i \in I$. (Это означает, что $\nu_{i}(E) \leq \omega (E)$ для каждого $E \in \mathfrak {M}$.) Докажите, что существует точная верхняя грань.

Цель этого упражнения -- установить теорему Витали--Ганн--Сакса. Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) -- пространство с конечной мерой, пусть $\left\{ \nu_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ -- последовательность знакопеременных мер из $b a(X, \mathfrak {M}, \mu )$, и предположим, что предел $\nu (E):= \lim_{n} \nu_{n}(E)$ существует (как конечное число) для каждого $E \in \mathfrak {M}$. Докажите, что:

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) -- пространство с мерой и $f \in L^{1}\left(X, \mu \right)$. Докажите, что

Пусть ( $X, \mathfrak {M}$ ) -- измеримое пространство, и пусть $\mu : \mathfrak {M} \rightarrow \mathbb {R}$ -- аддитивная мера на $X$. Докажите, что $\mu$ $\sigma$-аддитивна тогда и только тогда, когда она $\sigma$-полуаддитивна, т.е. если $E \subset \cup_{k=1}^{\infty } E_{k}$, то $\mu (E) \leq \sum_{k=1}^{\infty } \mu \left(E_{k}\right)$.

Пусть $X$ -- подпространство $L^{\infty }\left(\mathbb {R}\right)$, состоящее из непрерывных функций, имеющих конечный предел при $x \rightarrow +\infty$. Для $f \in X$ пусть $T f:=\lim_{x \rightarrow +\infty } f(x)$. Докажите, что:

Пусть $V$ -- подпространство $L^{\infty }\left(0,1\right)$, определённое как

Пусть $\varphi \in \left(L^{\infty }\left(0,1\right)\right)^{*}$ определён как $\varphi (f)=\lim_{n} n \int_{[0,1 / n]} f(x) d x$. (См. упражнение 12.2.12.) Докажите, что не существует такой $g \in L^{1}\left(0,1\right)$, что $\varphi (f)=\int f g$ для всех $f \in L^{\infty }\left(0,1\right)$.

Пусть $\varphi$ -- положительный линейный функционал на $\ell^{\infty }$, что означает, что $\varphi (x) \geq 0$, если $x=\left\{ x_{k}\right\} \in \ell^{\infty }$ удовлетворяет $x_{k} \geq 0$ для всех $k \in \mathbb {N}$. Докажите, что $\varphi$ ограничен и что $\left\| \varphi \right\| =\varphi (e)$, где $e$ -- постоянная последовательность $(1,1,1, \ldots )$.

В упражнениях 12.4.28--12.4.30, для каждого $n \in \mathbb {N}$, пусть $e_{n}$ обозначает последовательность $(0,0, \ldots , 0,1,0,0, \ldots )$ с 1 на $n$-м месте. Существует ли ненулевой ограниченный линейный функционал $\varphi$ на $\ell^{\infty }$ такой, что:

$\varphi \left(e_{n}\right)=0$ для всех $n \in \mathbb {N}$?

$\varphi (x)=\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n}$ для всех $x=\left\{ x_{n}\right\} \in c$?

$\varphi (x)=\sum_{n=1}^{\infty } x_{n}$ для всех $x=\left\{ x_{n}\right\} \in \ell^{1}$?

Когда $\left\{ f_{n}\right\}$ -- последовательность измеримых функций и $\nu_{n}(E)=\int_{E} f_{n} d \mu$, импликация в пункте (e) упражнения 12.4.22 известна как равномерная интегрируемость $\left\{ f_{n}\right\}$. Витали доказал в 1907 году [122], что если последовательность функций $\left\{ f_{n}\right\}$ сходится к $f$ почти всюду на $[0,1]$, то $\lim_{n} \int_{0}^{1} f_{n}=\int_{0}^{1} f$ тогда и только тогда, когда функции $\left\{ f_{n}\right\}$ равномерно интегрируемы. Ганн доказал в 1922 году [48], что если $\left\{ f_{n}\right\}$ -- последовательность измеримых функций, для которой $\lim_{n} \int_{E} f_{n}$ существует для любого измеримого множества $E \subset [0,1]$, то $\left\{ f_{n}\right\}$ равномерно интегрируема, и $\lim_{n} \int_{E} f_{n}$ абсолютно непрерывен относительно меры Лебега. Сакс доказал приведённый выше результат в 1933 году [102]. До его публикации Никодим доказал в том же году пункт (f) упражнения 12.4.22 [81] в предположении, что каждая $\nu_{n}$ счётно-аддитивна.