Двойственное пространство к $C(X)$

Пусть $X$ -- компактное метрическое пространство, и пусть $\mu$ -- конечная мера на борелевской $\sigma$-алгебре. Докажите, что множество $A$ обладает свойством (a) определения 12.5.1 тогда и только тогда, когда $A^{C}$ обладает свойством (b).

Пусть $\mu$ -- конечная мера на $\sigma$-алгебре борелевских подмножеств метрического пространства. Докажите, что $\mu$ регулярна.

Пусть $X$ -- компактное метрическое пространство и $\mu \in \operatorname {rca}(X, \mathcal{B})$. Докажите, что то же верно для $\mu^{+}$и $\mu^{-}$.

Пусть $F$ -- замкнутое подмножество компактного метрического пространства $X$, пусть $\mu \in r c a(X, \mathcal{B})$, и пусть $\nu (A)=\mu (A \cap F)$ для всех борелевских множеств $A$. Докажите, что $\nu \in \operatorname {rca}(F, \mathcal{B} \mid F)$.

Докажите, что $r b a\left(X, \mathcal{B}_{F}\right)$, множество всех борелевских, ограниченных, аддитивных, регулярных, знакопеременных мер на $X$, является векторным пространством.

Пусть $X$ -- компактное метрическое пространство, пусть $f \in C(X)$, и пусть $\varepsilon >0$. Предположим, что $\left\{ F_{k}\right\}_{k=1}^{n}$ -- непересекающиеся замкнутые подмножества $X$. Докажите, что существуют непересекающиеся открытые множества $\left\{ G_{k}\right\}_{k=1}^{n}$ такие, что для всех $1 \leq k \leq n$ $F_{k} \subset G_{k}$ и $\inf \left\{ f(x): x \in G_{k}\right\} \geq \inf \left\{ f(x): x \in F_{k}\right\} -\varepsilon$.

В доказательстве теоремы 12.5.6 докажите, что $\lambda$ аддитивна на $\mathfrak {M}$.

Теорема 12.5.6: Пусть $X$ -- компактное метрическое пространство, и пусть $\nu$ -- конечная аддитивная знакопеременная мера на борелевской алгебре $\mathcal{B}_{F}$ подмножеств $X$. Существует мера $\lambda \in \operatorname {rba}(X, \mathcal{B}_{F})$ (пространство ограниченных, конечно-аддитивных, регулярных знакопеременных мер на $\mathcal{B}_{F}$) такая, что $\int_{X} f \, d\lambda = \int_{X} f \, d\nu$ для всех $f \in C(X)$.

В доказательстве $F$ обозначает замкнутое множество, а $G$ -- открытое множество. Определим $\lambda_{1}(F) := \inf \left\{ \nu (G) : F \subset G\right\}$, $\lambda_{2}(E) := \sup \left\{ \lambda_{1}(F) : F \subset E\right\}$ и $\lambda := \lambda_{2}|_{\mathcal{B}_{F}}$. Пусть $\mathfrak {M} = \left\{ A \subset X : \lambda (E) = \lambda (E \setminus A) + \lambda (E \cap A) \text{ для всех } E \subset X\right\}$ -- совокупность $\lambda$-измеримых множеств. На более ранних этапах доказательства установлено, что $\mathfrak {M}$ содержит все замкнутые множества и является алгеброй, содержащей $\mathcal{B}_{F}$.

В доказательстве теоремы 12.5.6 докажите, что $\lambda (X)=\nu (X)$.

Теорема 12.5.6: Пусть $X$ -- компактное метрическое пространство, и пусть $\nu$ -- конечная аддитивная знакопеременная мера на борелевской алгебре $\mathcal{B}_{F}$ подмножеств $X$. Существует мера $\lambda \in \operatorname {rba}(X, \mathcal{B}_{F})$ (пространство ограниченных, конечно-аддитивных, регулярных знакопеременных мер на $\mathcal{B}_{F}$) такая, что $\int_{X} f \, d\lambda = \int_{X} f \, d\nu$ для всех $f \in C(X)$.

В доказательстве $F$ обозначает замкнутое множество, а $G$ -- открытое множество. Определим $\lambda_{1}(F) := \inf \left\{ \nu (G) : F \subset G\right\}$, $\lambda_{2}(E) := \sup \left\{ \lambda_{1}(F) : F \subset E\right\}$ и $\lambda := \lambda_{2}|_{\mathcal{B}_{F}}$. На более ранних этапах доказательства установлено, что $\lambda_{1} = \lambda_{2} = \lambda$ на $\mathcal{B}_{F}$.

Пусть $\nu \in r c a(X, \mathcal{B})$. Докажите, что $T_{\nu }$, определённый в теореме 12.5.8, является ограниченным линейным функционалом на $C(X)$ и что $\left\| T_{\nu }\right\| \leq \left\| \nu \right\|$.

Пусть $F$ -- замкнутое подмножество компактного метрического пространства $X$, пусть $\mu \in r c a(F, \mathcal{B} \mid F)$, и пусть $T f=\int_{F} f \mid F d \mu$. Докажите, что:

$T f=\int_{0}^{1} f$.

$T f=\int_{-1}^{1} \operatorname {sgn} x f(x) d x$.

$T f=\int_{-1}^{1} f-f(0)$.

$T f=\frac{f(\varepsilon )+f(-\varepsilon )-2 f(0)}{\varepsilon^{2}}$, для фиксированного $\varepsilon \in [-1,1] \backslash \left\{ 0\right\}$.

$T f=\sum_{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^{n}}{n^{2}} f\left(\frac{1}{n}\right)$.

$T f=\int_{-1}^{1} f-\frac{1}{2 n+1} \sum_{k=-n}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right)$, для фиксированного $n \in \mathbb {N}$.

Для $f \in C[0,1]$ пусть $T_{n}(f)=\int_{0}^{1} n f(t) t^{n} d t$. Докажите, что каждый $T_{n}$ является ограниченным линейным функционалом на $C[0,1]$, что последовательность $\left\{ T_{n}\right\}$ сходится в $(C[0,1])^{*}$, и найдите её предел.

Пусть $T$ — ограниченный линейный функционал на $C[0,1]$, определённый как $T f= \int_{0}^{1} t f(t) d t$

Пусть $\left\{ a_{n}\right\} \subset [0,1]$ и, для $f \in C[0,1]$, пусть

Докажите, что не существует $g \in L^{1}\left({[0,1]}\right)$ такой, что $T f=\int_{0}^{1} f g$ для всех $f \in C[0,1]$.

Пусть $\left\{ c_{k}\right\}_{k=1}^{n}$ — вещественные числа, пусть $\left\{ x_{k}\right\}_{k=1}^{n}$ — различные вещественные числа на [ 0,1 ], и пусть $T$ — ограниченный линейный функционал на $C[0,1]$, определённый как $T f= \sum_{k=1}^{n} c_{k} f\left(x_{k}\right)$. Найдите $\left\| T\right\|$. В упражнениях 12.5.21-12.5.26 найдите $\nu ([1 / 3,2 / 3])$, где $\nu \in r c a([0,1])$ таково, что $T f=\int_{0}^{1} f d \nu$.

$T f=f(0)$.

$T f=\int_{0}^{1 / 2} f(x) d x-3 \int_{1 / 2}^{1} f(x) d x$.

$T f=\int_{0}^{1} f(x)\left\lfloor 10 x\right\rfloor d x$.

$T f=\int_{0}^{1} f(x) \varphi (x) d x$, где $\varphi$ — функция Кантора-Лебега.

$T f=\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n} f\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$.

$T f=\int_{0}^{1} f(x) d x \int_{3 x-1}^{1} e^{t^{2}} d t$.

Пусть $x \in [0,2 \pi ]$. Докажите, что множество непрерывных функций, ряд Фурье которых расходится в точке $x$, плотно в $C[0,2 \pi ]$.

Докажите, что $C[a, b]$ не рефлексивно.

Приведите пример компактного метрического пространства $X$, для которого пространство $C(X)$ рефлексивно.

Пусть $X$ — подмножество $\mathbb {R}$. Докажите или опровергните: $C(X)$ рефлексивно тогда и только тогда, когда $X$ — конечное множество.

Пусть $T$ — положительный линейный функционал на $C(X)$, то есть $T f \geq 0$, когда $f$ — неотрицательная функция в $C(X)$. Докажите, что $T$ ограничен и что $\left\| T\right\| =T(1)$, где 1 — постоянная функция 1.

Докажите, что каждый ограниченный линейный функционал на $C(X)$ можно записать как разность двух положительных линейных функционалов (см. упражнение 12.5.31).