Линейные функционалы

Если $Y$ — подпространство векторного пространства $X$, покажите, что существует подпространство $Z$, такое что $Y \cap Z=\left\{ 0\right\}$ и $Y \oplus Z=X$. (Это означает, что каждый $x \in X$ можно единственным образом записать как $x=y+z$, где $y \in Y$ и $z \in Z$.

Пусть $0<p<1$. Докажите, что (12.1) задаёт метрику на $L^{p}\left(0,1\right)$.

Докажите, что продолжение $T$ на $X$ в доказательстве предложения 12.1.10 является линейным функционалом.

Предложение 12.1.10: Пусть $Y$ — линейное подпространство линейного пространства $X$. Тогда каждый линейный функционал на $Y$ имеет продолжение до линейного функционала на $X$. (В частности, для каждого $x \in X \setminus \left\{ 0\right\}$ существует линейный функционал $T$, такой что $Tx \neq 0$.) В доказательстве: пусть $Z$ — подпространство $X$, такое что $X = Y \oplus Z$, пусть $T$ — линейный функционал на $Y$, и продолжим $T$ на $X$, определив $Tx = Ty$, где $x=y+z$ — разложение с $y \in Y, z \in Z$.

Найдите норму линейного функционала на $\mathbb {R}^{2}$, определённого как $T(x, y)=x-7 y$, если $\mathbb {R}^{2}$ снабжено нормой $\ell^{p}$, $1 \leq p \leq \infty$.

Пусть $\delta$ — функционал Дирака на $C[0,1]$, определённый как $\delta (f)=f(0)$.

При каких значениях константы $\alpha$

задаёт ограниченный линейный функционал на $C[0,1]$? Для таких $\alpha$ определите норму $T$.

При каких значениях константы $\alpha$

задаёт ограниченный линейный функционал на $L^{p}\left(0,1\right)$? Для таких $\alpha$ определите норму $T$.

Пусть $X=C[0,1]$ с нормой $\left\| \cdot \right\|_{\max }$, пусть $g \in C[0,1]$, и определим $T f= \int_{0}^{1} f(t) g(t) d t$. Докажите, что $T$ — ограниченный линейный функционал на $C[0,1]$, и найдите его норму.

Пусть $X=C^{1}[0,1]$ с нормой $\left\| f\right\|_{(1)}:=\left\| f\right\|_{\infty }+\left\| f^{\prime }\right\|_{\infty }$, и определим $T f=\int_{0}^{1} t f(t) d t$. Докажите, что $T$ — ограниченный линейный функционал на $C^{1}[0,1]$, и найдите его норму.

Пусть $X=C[0,1]$ с нормой $\left\| \cdot \right\|_{\max }$, пусть $n \in \mathbb {N}$, пусть $\left\{ \alpha_{k}\right\}_{k=1}^{n}$ — вещественные числа, пусть $\left\{ x_{k}\right\}_{k=1}^{n} \subset [0,1]$, и определим

Докажите, что $T$ — ограниченный линейный функционал на $C[0,1]$, и найдите его норму. Что если последовательность $\left\{ \alpha_{k}\right\}$ бесконечна?

Если $n \in \mathbb {N}$, пусть

Докажите, что $\left\| T_{n}\right\| =2$ для всех $n \in \mathbb {N}$.

Для непрерывной функции $f$ на $[0,2 \pi ]$ пусть $s_{n, x}(f)=s_{n}(f)(x)$ — $n$-я частичная сумма её ряда Фурье, вычисленная в точке $x \in [0,2 \pi ]$. Докажите, что $s_{n, x}$ — ограниченный линейный функционал на $C[0,2 \pi ]$, и определите его норму.

Пусть $X=C[0,1]$ с нормой $\left\| \cdot \right\|_{\max }$, пусть $g \in L^{1}[0,1]$, и определим $T f=\int_{0}^{1} f(t) g(t) d t$. Докажите, что $T$ — ограниченный линейный функционал на $C[0,1]$, и найдите его норму.

Пусть $X$ — пространство $\ell^{1}$ с нормой $\ell^{\infty }$, и пусть $T$ — линейный функционал на $X$, определённый как $T x=\sum_{k} x_{k}$. Докажите или опровергните: $T$ непрерывен на $X$.

Для $f \in C[0,1]$ пусть

Для $x:=\left\{ x_{n}\right\} \in c_{0}$ пусть

Для $x:=\left\{ x_{n}\right\} \in c$ пусть

Для $x:=\left\{ x_{n}\right\} \in \ell^{1}$ пусть

Пусть $T$ и $T^{\prime }$ — два функционала на векторном пространстве $X$, такие что ядро $T$ содержится в ядре $T^{\prime }$. Докажите, что $T^{\prime }=c T$ для некоторого вещественного числа $c$.

Пусть $X$ — линейное пространство, пусть $n \in \mathbb {N}$, и пусть $T_{1}, \ldots , T_{n}$ и $T$ — линейные функционалы на $X$, такие что $\cap_{k=1}^{n} \operatorname {ker} T_{k} \subset \operatorname {ker} T$. Докажите, что $T$ является линейной комбинацией $T_{1}, \ldots , T_{n}$.

Докажите, что линейный функционал на нормированном пространстве ограничен тогда и только тогда, когда он отображает ограниченные множества в ограниченные множества.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство и $x_{0} \in X$. Докажите, что линейный функционал на нормированном пространстве непрерывен тогда и только тогда, когда он непрерывен в $x_{0}$.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство и $T: X \rightarrow \mathbb {R}$ — непрерывное аддитивное отображение, т.е. $T(x+y)=T x+T y$ для всех $x, y \in X$. Докажите, что $T$ однородно, т.е. $T(\alpha x)=\alpha T x$ для всех $\alpha \in \mathbb {R}$ и всех $x \in X$.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство, и пусть $T$ — ограниченный линейный функционал на $X$, и пусть $S$ — множество, плотное в $X$. Докажите, что если $T x=0$ для всех $x \in S$, то $T=0$ на всём $X$.

Докажите (12.6).

Пусть $X$ — нормированное пространство, и пусть $T$ — ненулевой ограниченный линейный функционал на $X$. Докажите, что для всех $x \in X$,

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство и $T$ — ненулевой линейный функционал на $X$. Докажите, что существует $y \in X$, такой что каждый вектор $x \in X$ можно единственным образом записать в виде $x=\lambda y+z$, где $\lambda \in \mathbb {R}$ и $z \in \operatorname {ker} T$.

Пусть $Y$ — подпространство векторного пространства $X$, и пусть $T$ — функционал на $X$, такой что $T(Y)$ — собственное подмножество $\mathbb {R}$. Покажите, что $T x=0$ для всех $x \in Y$.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство и $T$ — ненулевой линейный функционал на $X$. Докажите, что $T$ непрерывен тогда и только тогда, когда $\operatorname {ker} T^{C}$ имеет непустую внутренность.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство и $T$ — линейный функционал на $X$. Докажите, что $T$ непрерывен тогда и только тогда, когда существует открытое множество $G \subset X$ и вещественное число $\alpha$, такие что $\alpha \notin T(G)$.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство и $T$ — линейный функционал на $X$. Докажите, что $T$ непрерывен тогда и только тогда, когда его ядро $\left\{ x \in X: T(x)=0\right\}$ является замкнутым множеством.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство, не являющееся конечномерным. Докажите, что на $X$ существует неограниченный линейный функционал.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство и $T$ — линейный функционал на $X$. Докажите, что норма $T$ обратна расстоянию в $X$ от 0 до множества $\left\{ x \in X: T x=1\right\}$.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство, а $T$ — ограниченный линейный функционал на $X$. Предположим, что существует единичный вектор $x_{0} \in X$ такой, что $\left\| x_{0}-y\right\| \geq 1$ для каждого $y$ из нуль-пространства $T$.