Слабая сходимость

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство и предположим, что $x_{n} \rightharpoonup x_{0} \in X$. Докажите, что $\left\| x_{0}\right\| \leq \liminf \left\| x_{n}\right\|$.

Последовательность $\left\{ x_{n}\right\}$ в нормированном линейном пространстве $X$ называется слабо фундаментальной, если $\Lambda \left(x_{n}\right)$ — фундаментальная последовательность для любого $\Lambda \in X^{*}$. Пространство $X$ слабо полно, если каждая слабо фундаментальная последовательность в $X$ слабо сходится. Докажите, что каждое рефлексивное банахово пространство слабо полно.

Докажите, что подпространство нормированного линейного пространства замкнуто тогда и только тогда, когда оно слабо замкнуто.

Пусть $X, Y$ — банаховы пространства и пусть $T: X \rightarrow Y$ — линейный оператор. Докажите, что $T$ ограничен тогда и только тогда, когда всякий раз, когда $\left\{ x_{n}\right\} \subset X$ слабо сходится к $x$, $\left\{ T x_{n}\right\}$ слабо сходится к $T x$.

Докажите, что слабо сходящаяся последовательность может иметь только один предел.

Пусть $X, Y$ — банаховы пространства и пусть $\left\{ T_{n}\right\}$ — ограниченная последовательность в $\mathcal{L}(X, Y)$. Пусть $\mathcal{M}$ — множество всех $x \in X$, для которых каждая подпоследовательность $\left\{ T_{n} x\right\}$ имеет сходящуюся подпоследовательность. Докажите, что $\mathcal{M}$ — замкнутое подпространство $X$.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство. Докажите, что каждое слабо компактное подмножество $X$ ограничено по норме.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство. Докажите, что слабая топология порождается множествами вида $U_{a, r, T_{1}, \ldots , T_{n}}:=\left\{ x \in X:\left|T_{k}(x)-T_{k}(a)\right|<r, 1 \leq k \leq n, T_{k} \in X^{*}\right\}$.

Пусть $X$ — бесконечномерное нормированное линейное пространство. Докажите, что каждое слабо открытое подмножество $X$ неограничено.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство и $T$ — линейный функционал на $X$. Докажите, что $T$ непрерывен в слабой топологии тогда и только тогда, когда он непрерывен в топологии нормы.

Пусть $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство и $T, T_{1}, T_{2}, \ldots$ — ограниченные линейные операторы на $\mathcal{H}$ такие, что $\lim_{n} \left\langle T_{n} x, y \right\rangle = \left\langle T x, y \right\rangle$ для всех $x, y \in \mathcal{H}$. Докажите, что существует $C>0$ такое, что $\left\| T_{n}\right\| \leq C$ для всех $n \in \mathbb {N}$.

Докажите, что в конечномерном нормированном линейном пространстве каждая слабо сходящаяся последовательность сходится по норме.

Докажите теорему 12.6.5.

Теорема 12.6.5: Замкнутое и ограниченное множество в $L^{p}\left([0,1]\right)$ слабо секвенциально компактно, если $1 < p < \infty$.

Докажите утверждения, сделанные в примере 12.6.7.

Пример 12.6.7 (последовательность в $L^{p}$, сходящаяся по мере, но не слабо): Пусть $f_{n} = n\chi_{[0,1/n]}$, для $n \in \mathbb {N}$. Тогда $\left\{ f_{n}\right\}$ сходится по мере на $[0,1]$, но не сходится слабо в $L^{p}\left([0,1]\right)$.

Докажите утверждения, сделанные в примере 12.6.8.

Пример 12.6.8 (последовательность в $L^{p}$, сходящаяся равномерно, но не слабо): Пусть $f_{n} = \frac{1}{n}\chi_{[1,e^{n}]}$, для $n \in \mathbb {N}$. Тогда $\left\{ f_{n}\right\}$ сходится равномерно на $\mathbb {R}$, но не сходится слабо в $L^{p}\left(\mathbb {R}\right)$ ни для какого $p \in [1, +\infty )$.

Приведите пример пространства с мерой и последовательности функций в $L^{p}\left(X, \mu \right)$, которая сходится слабо, но не по мере.

Докажите теорему 12.6.11.

Теорема 12.6.11: Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с мерой. Последовательность $\left\{ f_{n}\right\}$ в $L^{p}\left(X, \mu \right)$, $1 \leq p < \infty$, слабо сходится к $f_{0}$ тогда и только тогда, когда выполнены оба условия: (a) существует $M > 0$ такое, что $\left\| f_{n}\right\|_{p} \leq M$, для всех $n \in \mathbb {N}$. (b) $\lim_{n} \int_{E} f_{n} \, d\mu = \int_{E} f_{0} \, d\mu$, для каждого $E \in \mathfrak {M}$, имеющего конечную меру.

Цель этого упражнения — установить, что условия (a)-(b) теоремы 12.6.13 влекут сильную сходимость $\left\{ f_{n}\right\}$ к $f_{0}$. Мы будем следовать исходному доказательству Рисса.

Докажите или опровергните: если последовательность $\left\{ f_{n}\right\}$ слабо сходится в $L^{p}\left({[0,1]}\right)$, то она имеет подпоследовательность, сходящуюся п.в. на $[0,1]$.

Пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность в $L^{2}[0,2 \pi ]$, определённая как $f_{n}(x)=\sin n x$. Докажите, что $\left\{ f_{n}\right\}$ сходится слабо, но не сильно.

Пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность в $L^{2}[0,1]$, сходящаяся по мере, и предположим, что существует $M>0$ такое, что $\left\| f_{n}\right\| \leq M$, для всех $n \in \mathbb {N}$. Докажите, что $\left\{ f_{n}\right\}$ слабо сходится. Верен ли результат для $L^{p}[0,1]$ при $1<p<\infty$?

Пусть $\left\{ f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ — последовательность неотрицательных функций в $L^{2}\left(0,1\right)$, и предположим, что $\left\{ f_{n}\right\}$ сходится к функции $f$ по норме $L^{2}\left(0,1\right)$. Докажите, что $f \geq 0$. Остаётся ли утверждение верным, если $\left\{ f_{n}\right\}$ сходится слабо к $f$?

Приведите пример пространства с мерой ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) и ограниченной последовательности $\left\{ f_{n}\right\}$ в $L^{1}\left(X, \mu \right)$ такой, что $\left\{ f_{n}\right\}$ сходится к $f$ п.в., но не сходится слабо к $f$ в $L^{1}\left(X, \mu \right)$.

Пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность в $L^{p}[0,1], 1<p<\infty$. Докажите, что $\left\{ f_{n}\right\}$ слабо сходится к $f_{0}$ тогда и только тогда, когда выполнены оба условия:

Докажите, что замкнутый единичный шар $L^{1}[0,1]$ не является слабо секвенциально компактным.

Приведите пример пространства с мерой ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ), для которого единичный шар $L^{1}\left(X, \mu \right)$ слабо компактен. Можно ли взять $X \subset \mathbb {R}, \mathfrak {M}=\mathcal{M} \mid X$, и $\mu =m \mid X$?

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой, пусть $1 \leq p<\infty$, пусть $1 / p+1 / q=1$, и предположим, что $\left\{ f_{n}\right\}$ слабо сходится к $f$ в $L^{p}\left(X, \mu \right)$, а $\left\{ g_{n}\right\}$ сходится к $g$ по норме $L^{q}\left(X, \mu \right)$. Докажите, что

Пусть $h \in C(\mathbb {R})$ — периодическая функция с периодом $T$, пусть $\int_{0}^{T} h=0$, пусть $1 \leq p<\infty$, и пусть $f_{n}:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ определена как $f_{n}(x)=h(n x)$ для $n \in \mathbb {N}$. Докажите, что $\left\{ f_{n}\right\}$ слабо сходится к 0 в $L^{p}\left({[a, b]}\right)$.

Пусть $1<p<\infty$, пусть $h \in L^{p}\left(\mathbb {R}\right)$, и пусть $f_{n}: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ определена как $f_{n}(x)=h(x-n)$ для $n \in \mathbb {N}$. Докажите, что $\left\{ f_{n}\right\}$ слабо сходится к 0 в $L^{p}\left(\mathbb {R}\right)$. Верно ли это при $p=1$?

Пусть $1 \leq p<r<\infty$, пусть $\left\{ f_{n}\right\} , f \in L^{r}[0,1]$. Докажите или опровергните:

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой, пусть $1<p<\infty$, пусть $\left\{ f_{n}\right\} , f \in L^{p}\left(X, \mu \right)$, и предположим, что последовательность $\left\{ f_{n}\right\}$ ограничена в $L^{p}\left(X, \mu \right)$. Рассмотрим следующие четыре свойства:

1. $\lim_{n} f_{n}=f$ п.в.

2. $\left\{ f_{n}\right\}$ слабо сходится к $f$ в $L^{p}\left(X, \mu \right)$.

3. $\lim_{n}\left\| f_{n}\right\|_{p}=\left\| f\right\|_{p}$.

4. $\left\{ f_{n}\right\}$ сходится к $f$ по норме $L^{p}\left(X, \mu \right)$.

Если $\left\{ f_{n}\right\}$ обладает двумя из этих свойств, существует ли подпоследовательность, обладающая всеми четырьмя свойствами?

Приведите пример, показывающий, что теорема 12.6.13 неверна в $L^{1}[0,1]$.

Теорема 12.6.13 (свойство Радона-Рисса): Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с мерой. Последовательность $\left\{ f_{n}\right\}$ в $L^{p}\left(X, \mu \right)$, $p>1$, сходится сильно (т. е. по норме) к $f_{0}$ тогда и только тогда, когда выполнены оба условия: (a) $f_{n} \rightharpoonup f_{0}$ (слабая сходимость). (b) $\lim_{n} \left\| f_{n}\right\| = \left\| f_{0}\right\|$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой, пусть $1<p<\infty$, пусть $\left\{ f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ — ограниченная последовательность в $L^{p}\left(X, \mu \right)$, и предположим, что $\left\{ f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ сходится к $f$ п.в. Докажите, что $\left\{ f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ слабо сходится к $f$ в $L^{p}\left(X, \mu \right)$.

Докажите, что каждая ортонормированная последовательность в гильбертовом пространстве слабо сходится к 0.

Пусть $X$ — пространство со скалярным произведением. Докажите, что $X$ полно тогда и только тогда, когда каждая ограниченная последовательность имеет слабо сходящуюся подпоследовательность.

Пусть $\alpha \in \mathbb {R}, \alpha \neq 1$, и пусть $\left\{ x_{n}\right\}$ — последовательность в гильбертовом пространстве такая, что

Докажите, что $\left\{ x_{n}\right\}$ слабо сходится.

Пусть $\left\{ x_{n}\right\}$ — ортогональная последовательность в гильбертовом пространстве. Докажите, что следующие утверждения эквивалентны:

Найдите слабое замыкание единичной сферы в гильбертовом пространстве.

Пусть $\left\{ e_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ — ортонормированный базис гильбертова пространства. Докажите, что $x_{n}$ слабо сходится к $x$ тогда и только тогда, когда $\left\{ x_{n}\right\}$ ограничена и для каждого $k$ $\left\{ \left\langle x_{n}, e_{k} \right\rangle \right\}$ сходится к $\left\{ \left\langle x, e_{k} \right\rangle \right\}$. Приведите пример, показывающий, что условие ограниченности $\left\{ x_{n}\right\}$ нельзя опустить.

Докажите теорему 12.6.14.

Теорема 12.6.14: Пусть $\left\{ x_{n}\right\}$ слабо сходится к $x$ в гильбертовом пространстве $H$. Тогда $\left\{ x_{n}\right\}$ сходится к $x$ по норме тогда и только тогда, когда $\lim \left\| x_{n}\right\| = \left\| x\right\|$.

Приведите пример (сильно) замкнутого множества, которое не является слабо замкнутым

Пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность в $C(X)$. Докажите, что $\left\{ f_{n}\right\}$ слабо сходится к некоторой функции $f$ тогда и только тогда, когда $\left\{ f_{n}\right\}$ ограничена по норме и сходится поточечно на $X$.

Докажите, что замкнутый единичный шар $\ell^{p}, 1<p<\infty$, слабо секвенциально компактен.

Цель этого упражнения — установить, что каждая слабо сходящаяся последовательность в $\ell^{1}$ сходится сильно.

Пусть $\left\{ e_{n}\right\}$ — последовательность в $c_{0}$ такая, что для каждого $n \in \mathbb {N}$ $e_{n}$ имеет 1 на $n$-м месте и 0 в остальных: $e_{n}=(0,0, \ldots , 0,1,0,0, \ldots )$. Докажите, что последовательность $\left\{ e_{n}\right\}$ слабо сходится к 0 в $c_{0}$ и в $\ell^{p}$, при $1<p<\infty$, но не в $\ell_{1}$.

Докажите, что замкнутый единичный шар $\ell^{1}$ не является слабо секвенциально компактным.

Докажите, что не существует банахова пространства, сопряжённое к которому изоморфно $c_{0}$.

Пусть $\left\{ a_{k}\right\}$ — последовательность ненулевых чисел и