Классификация поверхностей

Пусть $H^{n} = \left\{ (x_{1}, \ldots , x_{n}) \in \mathbb {R}^{n} : x_{n} \geq 0\right\}$ и $\partial H^{n} = \left\{ (x_{1}, \ldots , x_{n}) \in \mathbb {R}^{n} : x_{n} = 0\right\}$. $n$-многообразием с краем называется такое топологическое пространство $M$, что:

1. существует вложение $M$ в $\mathbb {R}^{N}$ для некоторого $N$;

2. для любого $x \in M$ существует окрестность $U$ точки $x$ и гомеоморфизм $h$ множества $U$ на открытое множество в $H^{n}$.

Покажите, что если $h: U \to H^{n}$ — гомеоморфизм на открытое множество в $H^{n}$ и $h(x) \in \partial H^{n}$, то существует меньшее открытое множество $V$, содержащее $x$, и гомеоморфизм $h': V \to H^{n}$.

В многообразии с краем точка $x$, для которой $h(x) \in \mathbb {R}^{n} \setminus \partial H^{n}$ (т.е.$h(x)$ лежит во внутренности $H^{n}$), называется внутренней точкой, а точка, для которой $h(x) \in \partial H^{n}$, называется граничной точкой. Примем следующие два результата (которые будут доказаны в главе 6 с помощью теории гомологий): во-первых, открытое множество в $\mathbb {R}^{n}$ не гомеоморфно открытому множеству в $\mathbb {R}^{m}$ при $m \neq n$; во-вторых, если $x \in \partial H^{n}$ и $U$ — открытое множество в $H^{n}$, содержащее $x$, то $U$ не гомеоморфно никакому открытому множеству в $\mathbb {R}^{n}$ (и даже в любом $\mathbb {R}^{m}$).

Используя эти два результата, покажите, что размерность многообразия определена корректно и что внутренняя точка не может одновременно быть граничной, так что понятия внутренней и граничной точки определены корректно.

Пусть $U$ — открытое множество, содержащее $0 \in [0,\infty ) = H^{1}$, а $V$ — открытое множество в $\mathbb {R}$. Покажите, что $U$ не гомеоморфно $V$.

Покажите, что край $n$-многообразия либо пуст, либо является $(n-1)$-многообразием.

Пусть $M, N$ — $n$-многообразия с краем. Покажите, что если $h: M \to N$ — гомеоморфизм, то $h|_{\partial M}$ является гомеоморфизмом из $\partial M$ на $\partial N$.

Теорема (инвариантность области): Пусть $U$ — открытое подмножество $\mathbb {R}^{n}$, а $f: U \to \mathbb {R}^{n}$ — взаимно однозначное и непрерывное отображение. Тогда $f$ является открытым отображением, то есть переводит открытые множества в открытые.

Примените эту теорему для доказательства следующего варианта для $n$-многообразий: если $M^{n}, N^{n}$ — $n$-многообразия и $f: M^{n} \to N^{n}$ — взаимно однозначное и непрерывное отображение, то $f$ является открытым отображением. Покажите, что если, кроме того, предположить, что $M^{n}$ компактно и связно, а $N^{n}$ связно, то $f$ обязано быть гомеоморфизмом.

Выведите корректность определения размерности $n$-многообразия из инвариантности области.

Докажите, что инвариантность области выполняется при $n = 1$.

Покажите непосредственно, что $H^{2}_{+} = \left\{ (x_{1}, x_{2}) : x_{1} \geq 0, x_{2} \geq 0\right\}$ гомеоморфно $H^{2}$.

Покажите, что произведение $m$-многообразия $M$ и $n$-многообразия $N$ является $(m+n)$-многообразием $M \times N$. Сделайте вывод, что $T = S^{1} \times S^{1}$ (тор) — компактная связная поверхность.

Постройте гомеоморфизм между факторпространством $D_{1}^{1} \cup_{\mathrm{id}} D_{2}^{1}$ и окружностью $S^{1}$, где $D_{i}^{1}$ обозначает копию отрезка $[-1,1]$, а отождествление склеивает соответствующие концы двух копий с помощью тождественного отображения.

Постройте гомеоморфизм между нижней половиной диска и верхней половиной диска, переводящий край так, как показано на рисунке 2.11.

Два гомеоморфных полудиска.

Опишите бутылку Клейна $K$ как фактор-пространство $\mathbb {R}^{2}$, аналогично описанию тора $T$ как фактор-пространства $\mathbb {R}^{2}$, данному в главе 1. Используя это описание, покажите, что $K$ — поверхность.

Покажите, что бутылка Клейна $K$ компактна и связна.

Докажите по индукции, что если $D_{1}, \ldots , D_{k}$ — $k$ непересекающихся дисков во внутренности связной поверхности $M$, а $D_{1}', \ldots , D_{k}'$ — другой набор из $k$ непересекающихся дисков во внутренности $M$, то существует гомеоморфизм $h: M \to M$, являющийся тождественным на $\partial M$ и переводящий $D_{i}$ в $D_{i}'$.

Напомним, что гомеоморфизм $f: \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ называется периодическим периода $1$, если либо $f(x+1) = f(x) + 1$ (для $f$, сохраняющего порядок), либо $f(x+1) = f(x) - 1$ (для $f$, обращающего порядок). Пусть дан сохраняющий порядок гомеоморфизм $f': [a, a+1] \to [b, b+1]$; определим $f: \mathbb {R} \to \mathbb {R}$, записывая $x \in \mathbb {R}$ единственным образом в виде $x = t + n$ с $n \in \mathbb {Z}$, $t \in [a, a+1)$, и полагая $f(x) = f'(t) + n$. Покажите, что определённое таким образом отображение $f$ является периодическим гомеоморфизмом.

Даны две непересекающиеся дуги $I, I'$ на окружности $S^{1}$; выберем интервалы $J, J' \subset \mathbb {R}$ так, что $p(J) = I$, $p(J') = I'$, где $p: \mathbb {R} \to S^{1}$, $p(t) = (\cos 2\pi t, \sin 2\pi t)$. Единственный сохраняющий порядок аффинный линейный гомеоморфизм из $J$ в $J'$ индуцирует (посредством $p$) «стандартный» гомеоморфизм из $I$ в $I'$. Покажите, что этот «стандартный» гомеоморфизм не зависит от выбора $J, J'$.

Используя гомеоморфизм $h: D^{1} \to I$, $h(s) = \frac{1}{2}(s+1)$, и тот факт, что любой сохраняющий порядок гомеоморфизм $f: I \to I$ изотопен тождественному отображению, а любой обращающий порядок — изотопен отображению $r'(t) = -t$ (где $I = [-1,1]$), докажите аналогичное утверждение для $D^{1}$:

Назовём вложение $D^{1}$ в $S^{1}$ сохраняющим ориентацию (соотв.обращающим), если оно является композицией сохраняющего порядок (обращающего) вложения $D^{1}$ в $\mathbb {R}$ и отображения $p: \mathbb {R} \to S^{1}$, $p(t) = (\cos 2\pi t, \sin 2\pi t)$. Гомеоморфизм из $S^{1}$ в $S^{1}$ сохраняет ориентацию, если он происходит из периодического гомеоморфизма $\mathbb {R}$, сохраняющего порядок.

Когда $1$-ручка приклеивается к одной граничной окружности ручечного тела, существует два стандартных способа её приклеивания с точностью до гомеоморфизма, изображённых на рисунке 2.17: слева новая граница состоит из двух компонент вместо одной; справа новая граница по-прежнему состоит из одной граничной окружности, и в поверхности вложена лента Мёбиуса, использующая часть воротника и ручку $h^{1}$.

Приклеивание 1-ручки к одной граничной окружности.

Найдите ленту Мёбиуса, упомянутую выше, на правой поверхности рисунка 2.17.

Покажите, что результат приклеивания 1-ручки к одной и той же граничной окружности никогда не гомеоморфен тому, что получается, когда она приклеивается к двум различным граничным окружностям.

Теорема: пусть $H$ — тело ручек, имеющее разложение на ручки с $0$-ручками и $1$-ручками. Тогда: (а) $\partial H$ гомеоморфно дизъюнктному объединению конечного числа окружностей; (б) существует окрестность $N(\partial H)$ границы $\partial H$, гомеоморфная $\partial H \times I$, причём $\partial H \times \left\{ 0\right\} \subset \partial H \times I$ переходит в $\partial H \subset H$ посредством стандартного отождествления $(x,0) \mapsto x$.

Набросок доказательства проводится индукцией по числу $1$-ручек: случай только $0$-ручек очевиден, а на индуктивном шаге записывают $H = H_{1} \cup h^{1}$, предполагают, что (а) и (б) выполнены для $H_{1}$, и используют существование воротника в месте приклеивания $1$-ручки, чтобы определить новую границу и её окрестность, рассматривая отдельно случай, когда обе присоединяемые дуги ручки $h^1$ лежат на одной граничной окружности $H_1$, и случай, когда они лежат на двух разных граничных окружностях $H_1$.

Восполните детали этого доказательства.

Покажите, что дополнение центральной окружности в листе Мёбиуса связно, а дополнение центральной окружности в кольце разделено (несвязно).

Используя предыдущее упражнение, покажите, что лист Мёбиуса не может быть вложен в плоскость.

Ориентация ручки — это ориентация её граничной окружности, то есть согласованный порядок для любой дуги (гомеоморфного образа интервала на окружности): если две дуги пересекаются по дуге, то оба порядка согласуются на дуге пересечения. В разложении листа Мёбиуса на ручки с одной $0$-ручкой и одной $1$-ручкой покажите, что независимо от того, как ориентировать каждую из двух ручек, $1$-ручка приклеена к $0$-ручке так, что ориентация согласуется на одной из двух присоединяемых дуг и не согласуется на другой.

Используя определение ориентируемости тела ручек (выбор ориентации для каждой ручки так, чтобы ориентации не согласовывались при всех отождествлениях присоединяемых дуг), определите, являются ли тела ручек на рисунке 2.25 ориентируемыми.

Некоторые тела ручек.

Покажите индукцией по числу ручек, что в связном теле ручек любые две ручки $h_{a}, h_{b}$ можно соединить цепочкой $h_{a} = h_{1}, h_{2}, \ldots , h_{k} = h_{b}$, где $h_{i}$ инцидентна $h_{i+1}$ (при этом две ручки называются инцидентными, если у них есть отождествлённые граничные дуги).

Приведите пример ориентированного тела ручек $H_{1}$ и ручки $h^{1}$, приклеенной к $H_{1}$, так что $h^{1}$ нельзя ориентировать согласованно с выбранными ориентациями ручек в $H_{1}$, но при этом $H_{1} \cup h^{1}$ ориентируемо.

Пусть даны две компактные связные поверхности $M, N$ с краем; выберем вложение $f$ множества $\left\{ \pm 1\right\} \times D^{1}$, переводящее $\left\{ -1\right\} \times D^{1}$ в дугу в $\partial M$ и переводящее $\left\{ 1\right\} \times D^{1}$ в дугу в $\partial N$. Граничной связной суммой $M$ и $N$, обозначаемой $M \mathbin {\overline{\cup }} N$, называется поверхность $M \cup_{f} D^{1} \times D^{1} \cup_{f} N$, полученная приклеиванием $1$-ручки $D^1 \times D^1$, соединяющей $M$ и $N$ вдоль этих дуг.

Если выбрать другие вложения $i_{M}, i_{N}$ (в аналогичной конструкции для связной суммы $M \# N$, где из каждой поверхности $M, N$ удаляется диск и по двум полученным граничным окружностям вклеивается цилиндр $D^{1} \times S^{1}$), дающие $i_{M}', i_{N}'$, то существуют сохраняющие ориентацию гомеоморфизмы $h_{M}: M \to M$, $h_{N}: N \to N$ с $h_{M} i_{M} = i_{M}'$, $h_{N} i_{N} = i_{N}'$, порождённые изотопиями, соединяющими $i_{M}, i_{M}'$ и $i_{N}, i_{N}'$. Они порождают гомеоморфизм между двумя способами образования связной суммы, переводя $M \setminus \left\{ i_{M}(0)\right\}$ в $M \setminus \left\{ i_{M}'(0)\right\}$ посредством $h_{M}$ и $N \setminus \left\{ i_{N}(0)\right\}$ в $N \setminus \left\{ i_{N}'(0)\right\}$ посредством $h_{N}$.

Проверьте, что это покусочное описание гомеоморфизма действительно согласуется и даёт гомеоморфизм между двумя способами образования связной суммы с $i_{M}, i_{N}$ и $i_{M}', i_{N}'$; то есть проверьте, что оно согласовано с отождествлениями, задающими связные суммы.

Постройте гомеоморфизм из $[-1,1] \times [-1,1]$ на $[-1,1] \times [-1,0]$, поточечно неподвижный на множестве $\left\{ -1\right\} \times [-1,0] \cup [-1,1] \times \left\{ -1\right\} \cup \left\{ 1\right\} \times [-1,0]$.

Покажите, что $M \mathbin {\overline{\cup }} N \simeq N \mathbin {\overline{\cup }} M$, где $\mathbin {\overline{\cup }}$ обозначает граничную связную сумму поверхностей с краем (Упражнение 2.5.1).

Покажите, что $(M \mathbin {\overline{\cup }} N) \mathbin {\overline{\cup }} Q \simeq M \mathbin {\overline{\cup }} (N \mathbin {\overline{\cup }} Q)$, где $\mathbin {\overline{\cup }}$ обозначает граничную связную сумму поверхностей с краем (Упражнение 2.5.1).

Покажите, что $M \# N \simeq N \# M$, где $\#$ обозначает связную сумму поверхностей (возможно, без края).

Покажите, что $(M \# N) \# Q \simeq M \# (N \# Q)$.

Покажите, что $M \mathbin {\overline{\cup }} D^{2} \simeq M$, где $\mathbin {\overline{\cup }}$ обозначает граничную связную сумму (Упражнение 2.5.1), а $D^{2}$ — замкнутый диск.

Если $N$ — поверхность без края, а $N_{(p)}$ обозначает $N$ с $p$ непересекающимися дисками, удалёнными из её внутренности, покажите, что $N_{(p)} \mathbin {\overline{\cup }} S_{(q)} \simeq N_{(p+q-1)}$, где $S$ — $2$-сфера, а $\mathbin {\overline{\cup }}$ обозначает граничную связную сумму (Упражнение 2.5.1).

Покажите, что $M \# S^{2} \simeq M$, где $S^{2}$ — $2$-сфера.

Если $K$ — бутылка Клейна, используя $K \simeq P \# P$ (где $P$ — проективная плоскость), покажите, что $K_{(1)} \simeq P_{(1)} \mathbin {\overline{\cup }} P_{(1)}$, где индекс $(1)$ обозначает удаление одного диска, а $\mathbin {\overline{\cup }}$ — граничная связная сумма (Упражнение 2.5.1).

Пусть $B$ — лист Мёбиуса. Постройте модель $B \# T$ (связной суммы $B$ с тором $T$) и покажите, что она гомеоморфна $B \# K$ (связной сумме $B$ с бутылкой Клейна $K$).

Здесь $P^{(k)}_{(1)}$ обозначает граничную связную сумму $k$ копий проективной плоскости $P$ с одним удалённым диском, и аналогично $T^{(k)}_{(1)}$ для $k$ копий тора $T$. Покажите, что $P^{(k)}_{(1)} \mathbin {\overline{\cup }} T_{(1)} \simeq P^{(2k+1)}_{(1)}$. Выведите отсюда, что $P^{(l)}_{(1)} \mathbin {\overline{\cup }} T^{(k)}_{(1)} \simeq P^{(2k+l)}_{(1)}$.

Для каждой из ориентируемых поверхностей (заданных разложениями на ручки с единственной $0$-ручкой и непересекающимися $1$-ручками, приклеенными к её границе) на рисунке 2.46 с помощью скольжения ручек приведите её к стандартному виду и определите поверхность. Проверьте свой ответ, используя теорему классификации (теорема 2.6.2: связное ориентируемое тело с ручками с $0$- и $1$-ручками, эйлеровой характеристикой $\chi$ и $p$ граничными окружностями гомеоморфно стандартной модели для $S_{(p)}$ или $T^{(g)}_{(p)}$, где $\chi = 2 - 2g - p$).

Поверхности к упражнению 2.6.3.

Для каждой из неориентируемых поверхностей на рисунке 2.47 с помощью скольжения ручек приведите её к стандартному виду и определите поверхность. Проверьте свой ответ, используя теорему классификации (теорема 2.6.2: связное неориентируемое тело с ручками с $0$- и $1$-ручками, эйлеровой характеристикой $\chi$ и $p$ граничными окружностями гомеоморфно стандартной модели для $P^{(h)}_{(p)}$, где $\chi = 2 - h - p$).

Поверхности к упражнению 2.6.4.

Рассмотрим шаг в доказательстве теоремы классификации (теорема 2.6.2) для ориентируемого случая, на котором новая торическая пара (пара зацепленных $1$-ручек) создаётся добавлением новой $1$-ручки к телу-с-ручками $H_{1}$, уже находящемуся в стандартной форме $T^{(g)}_{(p)}$, давая $H = H_{1} \cup h^{1}$. Покажите, что если рассматривать $0$-ручку вместе с этой новой торической парой как задающую тор-с-одной-дыркой $T_{(1)}$, то можно удалить этот кусок из поверхности и заменить его согласованно ориентированным диском с той же границей, к которому присоединены остальные ручки (те ручки $H_{1}$, кроме её $0$-ручки). Рассматривая этот диск как новую $0$-ручку, а остальные $1$-ручки — как присоединённые к его границе, образуя тело-с-ручками $H_{1}'$, покажите, что $H \simeq H_{1}' \# T$. Затем с помощью индукции покажите, что $H \simeq T^{(g+1)}_{(p)}$, когда $H_{1}' \simeq T^{(g)}_{(p)}$.

Рассмотрим шаг в доказательстве теоремы классификации (теорема 2.6.2) для ориентируемого случая, на котором новая $1$-ручка присоединяется к одной граничной окружности тела-с-ручками $H_{1}$ (уже находящегося в стандартной форме), образуя $H = H_{1} \cup h^{1}$. Покажите, что если $H_{1}$ гомеоморфно $T^{(g)}_{(p)}$, то к $H$ можно добавить $2$-ручку так, что $H \cup h^{2} \simeq H_{1}$. Таким образом, удаление этой $2$-ручки показывает, что $H \simeq T^{(g)}_{(p+1)}$.

Рассмотрим шаг в доказательстве теоремы классификации (теорема 2.6.2) для неориентируемого случая, на котором мы присоединяем новую $1$-ручку $h^{1}$, чтобы образовать $H$ из тела-с-ручками $H_{1}$, которое по индукции можно считать либо $T^{(g)}_{(p)}$, либо $P^{(h)}_{(p)}$ и уже находящимся в стандартной форме. Покажите, что в любом из этих случаев можно считать, что $h^1$ присоединена вдали от торических пар или скрученных ручек $H_1$, так что её можно рассматривать как присоединённую к $S_{(p)}$ (диску с $p-1$ тривиальными ручками). В случае, когда $H_{1}$ ориентируемо, $h^{1}$ обязательно будет присоединена к $S_{(p)}$ так, что $S_{(p)} \cup h^{1}$ неориентируемо. Покажите, что это не обязательно так, когда $H_{1}$ неориентируемо.

Покажите, что если $1$-ручка $h^{1}$ присоединена к одной граничной окружности $H_{1} \simeq S_{(p)}$ как скрученная ручка, образуя $H$, то объединение $0$-ручки и $h^{1}$ образует лист Мёбиуса $P_{(1)}$. Образуем новое тело-с-ручками $H_{2}$, заменив $h^{0} \cup h^{1}$ диском с той же границей и затем присоединив остальные $1$-ручки (те ручки $H_1$, кроме её $0$-ручки) к нему. Покажите, что $H_{2} \simeq S_{(p)}$ и $H \simeq P \# H_{2} \simeq P_{(p)}$.

Покажите, что если $1$-ручка $h^{1}_{1}$ присоединена к двум граничным окружностям $S_{(p)}$ скрученным образом, образуя $H$, и мы выберем другую $1$-ручку $h^{1}_{2}$ так, что $h^{0} \cup h^{1}_{2}$ образует кольцо, граница которого состоит из этих двух окружностей, то $H_{1} = h^{0} \cup h^{1}_{2} \cup h^{1}_{1}$ есть бутылка Клейна с удалённым диском, $K_{(1)}$. Образуем новое тело-с-ручками $H_{2}$, удалив $h^{0} \cup h^{1}_{2} \cup h^{1}_{1}$ и заменив его диском (новой $0$-ручкой), а затем добавив все остальные ручки исходного стандартного ручечного разложения $S_{(p)}$. Покажите, что $H_{2} \simeq S_{(p-1)}$ и $H \simeq K \# S_{(p-1)}$.

Выведите общий индукционный шаг для неориентируемого случая теоремы классификации (теорема 2.6.2) из построений трёх предыдущих упражнений (2.6.7--2.6.9), рассмотрев отдельно:

Теорема классификации поверхностей: компактная связная поверхность (возможно, с границей) гомеоморфна либо сфере с удалёнными $p$ дисками, $S_{(p)}$, либо связной сумме $g$ торов с удалёнными $p$ дисками, $T^{(g)}_{(p)}$, либо связной сумме $h$ проективных плоскостей с удалёнными $p$ дисками, $P^{(h)}_{(p)}$. Ориентируемость, число $p$ граничных компонент и эйлерова характеристика $\chi$ образуют полный набор инвариантов. Если поверхность $M$ ориентируема, имеет $p$ граничных компонент и эйлерову характеристику $\chi$, то $M \simeq T^{(g)}_{(p)}$ с $g = (2 - \chi - p)/2$ (здесь $S_{(p)} = T^{(0)}_{(p)}$); если $M$ неориентируема, имеет $p$ граничных компонент и эйлерову характеристику $\chi$, то $M \simeq P^{(h)}_{(p)}$ с $h = 2 - \chi - p$.

Проверьте приведённые выше формулы для $g, h$ через $\chi , p$.

Рассмотрим поверхность $S = h^{0} \cup h^{1}_{1} \cup h^{1}_{2} \cup h^{1}_{3} \cup h^{1}_{4}$, образованную как лист Мёбиуса с присоединённой $1$-ручкой (изображена как правая поверхность на Рисунке 2.49: прямоугольник $h^0$ с вдавленной внутрь выпуклостью, дающий лист Мёбиуса, вместе с дополнительной ручкой, которую можно использовать для получения ещё одного листа Мёбиуса). Покажите напрямую, что эта поверхность есть $P^{(2)}_{(1)} \simeq P_{(1)} \mathbin {\overline{\cup }} P_{(1)}$, найдя два листа Мёбиуса, соединённых между собой $1$-ручкой.

Рисунок 2.50 показывает заштрихованную поверхность с одной граничной компонентой — узел, вложенный в $\mathbb {R}^{3}$ (изображённый посредством плоской проекции с проходами сверху/снизу). Она разбивается на три $0$-ручки $h^{0}_{1}, h^{0}_{2}, h^{0}_{3}$ (диски, отсечённые отрезками, соединяющими части узла) и четыре $1$-ручки $h^{1}_{1}, h^{1}_{2}, h^{1}_{3}, h^{1}_{4}$ (перекрученные прямоугольные полоски в $\mathbb {R}^{3}$, соединяющие эти диски), дающие эйлерову характеристику $\chi = 3 - 4 = -1$; ориентируя $h^{0}_{1}$ против часовой стрелки, а $h^{0}_{2}, h^{0}_{3}$ по часовой стрелке, ручки $h^{1}_{1}, h^{1}_{2}, h^{1}_{3}$ можно ориентировать согласованно с ними, но $h^{1}_{4}$ нельзя ориентировать согласованно с остальными, так что поверхность неориентируема; она гомеоморфна $P^{(2)}_{(1)}$ (листу Мёбиуса, соединённому граничной связной суммой с ещё одним листом Мёбиуса, что получается из наблюдения, что $h^{0}_{1} \cup h^{0}_{2} \cup h^{0}_{3} \cup h^{1}_{1} \cup h^{1}_{3}$ — это пять прямоугольников, выстроенных встык, эквивалентных одному прямоугольнику; добавление $h^{1}_{4}$ даёт лист Мёбиуса, а добавление $h^{1}_{2}$ даёт бутылку Клейна с одной дыркой).

Рисунок 2.51 показывает другую поверхность с тем же узлом в качестве границы, построенную по алгоритму, принадлежащему Зейферту, снова из трёх $0$-ручек $h^{0}_{1}, h^{0}_{2}, h^{0}_{3}$ (где $h^{0}_{1}$ лежит над плоскостью, содержащей большую часть узла, подобно верхней полусфере сферы) и четырёх $1$-ручек $h^{1}_{1}, h^{1}_{2}, h^{1}_{3}, h^{1}_{4}$, соединённых посредством $h^{1}_{1}$ и $h^{1}_{3}$ так, что, как и прежде, эти пять ручек складываются в один прямоугольник.

Поверхность, ограниченная узлом.

Другая поверхность, ограниченная тем же узлом, построенная по алгоритму Зейферта.

Рассматривая Рисунок 2.51 как этот прямоугольник с присоединёнными двумя оставшимися $1$-ручками $h^{1}_{2}, h^{1}_{4}$, повторите рассуждение для Рисунка 2.50, приведённое выше, чтобы показать напрямую, что поверхность на Рисунке 2.51 есть $T_{(1)}$ (у неё одна граничная окружность — узел, и эйлерова характеристика $-1$, так что ручки $h^{1}_{2}, h^{1}_{4}$ действительно можно ориентировать согласованно с остальными).

Определите, каким из стандартных модельных поверхностей гомеоморфны две поверхности на Рисунке 2.52.

Поверхности для распознавания в упражнении 2.7.5.

Для (б) внешняя область изображает диск, лежащий над плоскостью, который можно взять как $0$-ручку. Узел, который они ограничивают, называется трилистником. Используйте теорему классификации, а затем приведите более простые разложения на ручки, чтобы яснее показать эти области, по аналогии с разобранным примером на Рисунках 2.50/2.51 (заштрихованная поверхность, ограниченная узлом, разложенная на $0$-ручки, заданные дисками, отсечёнными отрезками, соединяющими части узла, и $1$-ручки, заданные перекрученными прямоугольными полосками, соединяющими эти диски). Для каждой поверхности приведите разложение на ручки с минимальным числом ручек.

Определите следующие поверхности (в терминах стандартных моделей $S_{(p)}$, $T^{(g)}_{(p)}$, $P^{(h)}_{(p)}$):

Определите поверхности, изображённые на рисунке 2.56.

Поверхности к упражнению 2.7.7: (а) сфера с двумя отверстиями и приклеенной 1-ручкой; (б) диск с двумя отверстиями и приклеенной 1-ручкой.

Определите поверхность, изображённую на рисунке 2.57.

Поверхность к упражнению 2.7.8.

Определите поверхности на рисунке 2.58, где рёбра восьмиугольника отождествлены попарно, как указано соответствующими буквами и направлениями стрелок.

Поверхности к упражнению 2.7.9.

Упражнения 2.9.1--2.9.8 вместе намечают доказательство того, что любое компактное связное $1$-многообразие гомеоморфно $S^{1}$.

Убедитесь, что окружность $S^{1}$ является компактным связным $1$-многообразием. Покажите, что $S^{1}$ можно покрыть двумя открытыми множествами $U, V$, каждое из которых гомеоморфно $\mathbb {R}$, так что $U \cap V$ гомеоморфно объединению двух непересекающихся открытых лучей.

Покажите, что компактное $1$-многообразие не гомеоморфно открытому множеству в $\mathbb {R}$.

Покажите, что собственное открытое множество в $\mathbb {R}$ может быть (единственным образом) разложено в объединение непересекающегося (счётного) семейства интервалов и лучей.

Пусть $U_{i}, U_{j}$ — два открытых множества в $1$-многообразии $M$ с гомеоморфизмами $h_{i}: U_{i} \to \mathbb {R}$, $h_{j}: U_{j} \to \mathbb {R}$, и пусть $h_{ji} = h_{j} h_{i}^{-1}: h_{i}(U_{i} \cap U_{j}) \to h_{j}(U_{i} \cap U_{j})$ — гомеоморфизм между двумя образами $U_{i} \cap U_{j}$. Покажите, что если конечный интервал $(a,b)$ входит в разложение из упражнения 2.9.3 для $h_{i}(U_{i} \cap U_{j})$, то $h_{ji}(a,b) = \mathbb {R}$.

При тех же $U_{i}, U_{j}, h_{i}, h_{j}$, что и в упражнении 2.9.4, покажите, что должен выполняться один из следующих трёх случаев:

Покажите, что в случаях (а) и (б) упражнения 2.9.5 множество $U_{i} \cup U_{j}$ гомеоморфно $\mathbb {R}$.

Покажите, что в случае (в) упражнения 2.9.5 множество $U_{i} \cup U_{j}$ гомеоморфно $S^{1}$.