Банк задач по математике

Задача 2.5.1

Пусть даны две компактные связные поверхности $M, N$ с краем; выберем вложение $f$ множества $\left\{ \pm 1\right\} \times D^{1}$ , переводящее $\left\{ -1\right\} \times D^{1}$ в дугу в $\partial M$ и переводящее $\left\{ 1\right\} \times D^{1}$ в дугу в $\partial N$ . Граничной связной суммой $M$ и $N$ , обозначаемой $M \mathbin {\overline{\cup }} N$ , называется поверхность $M \cup_{f} D^{1} \times D^{1} \cup_{f} N$ , полученная приклеиванием $1$ -ручки $D^1 \times D^1$ , соединяющей $M$ и $N$ вдоль этих дуг.

Если выбрать другие вложения $i_{M}, i_{N}$ (в аналогичной конструкции для связной суммы $M \# N$ , где из каждой поверхности $M, N$ удаляется диск и по двум полученным граничным окружностям вклеивается цилиндр $D^{1} \times S^{1}$ ), дающие $i_{M}', i_{N}'$ , то существуют сохраняющие ориентацию гомеоморфизмы $h_{M}: M \to M$ , $h_{N}: N \to N$ с $h_{M} i_{M} = i_{M}'$ , $h_{N} i_{N} = i_{N}'$ , порождённые изотопиями, соединяющими $i_{M}, i_{M}'$ и $i_{N}, i_{N}'$ . Они порождают гомеоморфизм между двумя способами образования связной суммы, переводя $M \setminus \left\{ i_{M}(0)\right\}$ в $M \setminus \left\{ i_{M}'(0)\right\}$ посредством $h_{M}$ и $N \setminus \left\{ i_{N}(0)\right\}$ в $N \setminus \left\{ i_{N}'(0)\right\}$ посредством $h_{N}$ .

Проверьте, что это покусочное описание гомеоморфизма действительно согласуется и даёт гомеоморфизм между двумя способами образования связной суммы с $i_{M}, i_{N}$ и $i_{M}', i_{N}'$ ; то есть проверьте, что оно согласовано с отождествлениями, задающими связные суммы.

?

Задача 2.5.2

Постройте гомеоморфизм из $[-1,1] \times [-1,1]$ на $[-1,1] \times [-1,0]$ , поточечно неподвижный на множестве $\left\{ -1\right\} \times [-1,0] \cup [-1,1] \times \left\{ -1\right\} \cup \left\{ 1\right\} \times [-1,0]$ .

?

Задача 2.5.3

Покажите, что $M \mathbin {\overline{\cup }} N \simeq N \mathbin {\overline{\cup }} M$ , где $\mathbin {\overline{\cup }}$ обозначает граничную связную сумму поверхностей с краем (Упражнение 2.5.1).

?

Задача 2.5.4

Покажите, что $(M \mathbin {\overline{\cup }} N) \mathbin {\overline{\cup }} Q \simeq M \mathbin {\overline{\cup }} (N \mathbin {\overline{\cup }} Q)$ , где $\mathbin {\overline{\cup }}$ обозначает граничную связную сумму поверхностей с краем (Упражнение 2.5.1).

?

Задача 2.5.5

Покажите, что $M \# N \simeq N \# M$ , где $\#$ обозначает связную сумму поверхностей (возможно, без края).

?

Задача 2.5.6

Покажите, что $(M \# N) \# Q \simeq M \# (N \# Q)$ .

?

Задача 2.5.7

Покажите, что $M \mathbin {\overline{\cup }} D^{2} \simeq M$ , где $\mathbin {\overline{\cup }}$ обозначает граничную связную сумму (Упражнение 2.5.1), а $D^{2}$ — замкнутый диск.

?

Примечание.

?

Запишите $M \mathbin {\overline{\cup }} D^{2}$ в виде $M \cup R_{1} \cup R_{2}$ , где $R_{1}, R_{2}$ — прямоугольники, соединённые вдоль отрезка на их границах, и используйте идею Упражнения 2.5.2.

Задача 2.5.8

Если $N$ — поверхность без края, а $N_{(p)}$ обозначает $N$ с $p$ непересекающимися дисками, удалёнными из её внутренности, покажите, что $N_{(p)} \mathbin {\overline{\cup }} S_{(q)} \simeq N_{(p+q-1)}$ , где $S$ — $2$ -сфера, а $\mathbin {\overline{\cup }}$ обозначает граничную связную сумму (Упражнение 2.5.1).

?

Примечание.

?

Рассмотрите сначала случай $q = 1$ .

Задача 2.5.9

Покажите, что $M \# S^{2} \simeq M$ , где $S^{2}$ — $2$ -сфера.

?

Примечание.

?

Подумайте, что удаляется и что заполняется, когда мы образуем связную сумму с $S^{2}$ . Либо используйте Упражнение 2.5.7 вместе с тем фактом, что $M \# N \simeq (M_{(1)} \mathbin {\overline{\cup }} N_{(1)}) \cup h^{2}$ , где $M_{(1)}, N_{(1)}$ обозначают $M, N$ с удалённым одним диском, $\mathbin {\overline{\cup }}$ — граничная связная сумма, а последняя $2$ -ручка заполняет единственную оставшуюся граничную окружность.

Задача 2.5.10

Если $K$ — бутылка Клейна, используя $K \simeq P \# P$ (где $P$ — проективная плоскость), покажите, что $K_{(1)} \simeq P_{(1)} \mathbin {\overline{\cup }} P_{(1)}$ , где индекс $(1)$ обозначает удаление одного диска, а $\mathbin {\overline{\cup }}$ — граничная связная сумма (Упражнение 2.5.1).

?

Задача 2.5.11

(a)(b)

?

(a)

Покажите, что $A \# B \# C \simeq (A_{(1)} \mathbin {\overline{\cup }} B_{(1)} \mathbin {\overline{\cup }} C_{(1)}) \cup h^{2}$ , где $\mathbin {\overline{\cup }}$ — граничная связная сумма, а индекс $(1)$ обозначает удаление одного диска. Используйте это, чтобы показать, что граничная связная сумма $k$ копий $A_{(1)}$ гомеоморфна связной сумме $k$ копий $A$ с удалённым одним диском; то есть, обозначая связную сумму $k$ копий $A$ через $A^{(k)}$ , покажите, что $A^{(k)}_{(1)} \simeq A_{(1)} \mathbin {\overline{\cup }} \cdots \mathbin {\overline{\cup }} A_{(1)}$ ( $k$ копий).

(b)

Затем покажите, что $A^{(k)} \mathbin {\overline{\cup }} S_{(p)} \simeq A_{(1)} \mathbin {\overline{\cup }} \cdots \mathbin {\overline{\cup }} A_{(1)} \mathbin {\overline{\cup }} S_{(p)}$ ( $k$ копий $A_{(1)}$ ), где $S$ — $2$ -сфера. (Это пространство обозначается $A^{(k)}_{(p)}$ .)

Связные суммы