Ориентация

Покажите, что дополнение центральной окружности в листе Мёбиуса связно, а дополнение центральной окружности в кольце разделено (несвязно).

Используя предыдущее упражнение, покажите, что лист Мёбиуса не может быть вложен в плоскость.

Ориентация ручки — это ориентация её граничной окружности, то есть согласованный порядок для любой дуги (гомеоморфного образа интервала на окружности): если две дуги пересекаются по дуге, то оба порядка согласуются на дуге пересечения. В разложении листа Мёбиуса на ручки с одной $0$-ручкой и одной $1$-ручкой покажите, что независимо от того, как ориентировать каждую из двух ручек, $1$-ручка приклеена к $0$-ручке так, что ориентация согласуется на одной из двух присоединяемых дуг и не согласуется на другой.

Используя определение ориентируемости тела ручек (выбор ориентации для каждой ручки так, чтобы ориентации не согласовывались при всех отождествлениях присоединяемых дуг), определите, являются ли тела ручек на рисунке 2.25 ориентируемыми.

Некоторые тела ручек.

Покажите индукцией по числу ручек, что в связном теле ручек любые две ручки $h_{a}, h_{b}$ можно соединить цепочкой $h_{a} = h_{1}, h_{2}, \ldots , h_{k} = h_{b}$, где $h_{i}$ инцидентна $h_{i+1}$ (при этом две ручки называются инцидентными, если у них есть отождествлённые граничные дуги).

Приведите пример ориентированного тела ручек $H_{1}$ и ручки $h^{1}$, приклеенной к $H_{1}$, так что $h^{1}$ нельзя ориентировать согласованно с выбранными ориентациями ручек в $H_{1}$, но при этом $H_{1} \cup h^{1}$ ориентируемо.