Эйлерова характеристика и распознавание поверхностей

Теорема классификации поверхностей: компактная связная поверхность (возможно, с границей) гомеоморфна либо сфере с удалёнными $p$ дисками, $S_{(p)}$, либо связной сумме $g$ торов с удалёнными $p$ дисками, $T^{(g)}_{(p)}$, либо связной сумме $h$ проективных плоскостей с удалёнными $p$ дисками, $P^{(h)}_{(p)}$. Ориентируемость, число $p$ граничных компонент и эйлерова характеристика $\chi$ образуют полный набор инвариантов. Если поверхность $M$ ориентируема, имеет $p$ граничных компонент и эйлерову характеристику $\chi$, то $M \simeq T^{(g)}_{(p)}$ с $g = (2 - \chi - p)/2$ (здесь $S_{(p)} = T^{(0)}_{(p)}$); если $M$ неориентируема, имеет $p$ граничных компонент и эйлерову характеристику $\chi$, то $M \simeq P^{(h)}_{(p)}$ с $h = 2 - \chi - p$.

Проверьте приведённые выше формулы для $g, h$ через $\chi , p$.

Рассмотрим поверхность $S = h^{0} \cup h^{1}_{1} \cup h^{1}_{2} \cup h^{1}_{3} \cup h^{1}_{4}$, образованную как лист Мёбиуса с присоединённой $1$-ручкой (изображена как правая поверхность на Рисунке 2.49: прямоугольник $h^0$ с вдавленной внутрь выпуклостью, дающий лист Мёбиуса, вместе с дополнительной ручкой, которую можно использовать для получения ещё одного листа Мёбиуса). Покажите напрямую, что эта поверхность есть $P^{(2)}_{(1)} \simeq P_{(1)} \mathbin {\overline{\cup }} P_{(1)}$, найдя два листа Мёбиуса, соединённых между собой $1$-ручкой.

Рисунок 2.50 показывает заштрихованную поверхность с одной граничной компонентой — узел, вложенный в $\mathbb {R}^{3}$ (изображённый посредством плоской проекции с проходами сверху/снизу). Она разбивается на три $0$-ручки $h^{0}_{1}, h^{0}_{2}, h^{0}_{3}$ (диски, отсечённые отрезками, соединяющими части узла) и четыре $1$-ручки $h^{1}_{1}, h^{1}_{2}, h^{1}_{3}, h^{1}_{4}$ (перекрученные прямоугольные полоски в $\mathbb {R}^{3}$, соединяющие эти диски), дающие эйлерову характеристику $\chi = 3 - 4 = -1$; ориентируя $h^{0}_{1}$ против часовой стрелки, а $h^{0}_{2}, h^{0}_{3}$ по часовой стрелке, ручки $h^{1}_{1}, h^{1}_{2}, h^{1}_{3}$ можно ориентировать согласованно с ними, но $h^{1}_{4}$ нельзя ориентировать согласованно с остальными, так что поверхность неориентируема; она гомеоморфна $P^{(2)}_{(1)}$ (листу Мёбиуса, соединённому граничной связной суммой с ещё одним листом Мёбиуса, что получается из наблюдения, что $h^{0}_{1} \cup h^{0}_{2} \cup h^{0}_{3} \cup h^{1}_{1} \cup h^{1}_{3}$ — это пять прямоугольников, выстроенных встык, эквивалентных одному прямоугольнику; добавление $h^{1}_{4}$ даёт лист Мёбиуса, а добавление $h^{1}_{2}$ даёт бутылку Клейна с одной дыркой).

Рисунок 2.51 показывает другую поверхность с тем же узлом в качестве границы, построенную по алгоритму, принадлежащему Зейферту, снова из трёх $0$-ручек $h^{0}_{1}, h^{0}_{2}, h^{0}_{3}$ (где $h^{0}_{1}$ лежит над плоскостью, содержащей большую часть узла, подобно верхней полусфере сферы) и четырёх $1$-ручек $h^{1}_{1}, h^{1}_{2}, h^{1}_{3}, h^{1}_{4}$, соединённых посредством $h^{1}_{1}$ и $h^{1}_{3}$ так, что, как и прежде, эти пять ручек складываются в один прямоугольник.

Поверхность, ограниченная узлом.

Другая поверхность, ограниченная тем же узлом, построенная по алгоритму Зейферта.

Рассматривая Рисунок 2.51 как этот прямоугольник с присоединёнными двумя оставшимися $1$-ручками $h^{1}_{2}, h^{1}_{4}$, повторите рассуждение для Рисунка 2.50, приведённое выше, чтобы показать напрямую, что поверхность на Рисунке 2.51 есть $T_{(1)}$ (у неё одна граничная окружность — узел, и эйлерова характеристика $-1$, так что ручки $h^{1}_{2}, h^{1}_{4}$ действительно можно ориентировать согласованно с остальными).

Определите, каким из стандартных модельных поверхностей гомеоморфны две поверхности на Рисунке 2.52.

Поверхности для распознавания в упражнении 2.7.5.

Для (б) внешняя область изображает диск, лежащий над плоскостью, который можно взять как $0$-ручку. Узел, который они ограничивают, называется трилистником. Используйте теорему классификации, а затем приведите более простые разложения на ручки, чтобы яснее показать эти области, по аналогии с разобранным примером на Рисунках 2.50/2.51 (заштрихованная поверхность, ограниченная узлом, разложенная на $0$-ручки, заданные дисками, отсечёнными отрезками, соединяющими части узла, и $1$-ручки, заданные перекрученными прямоугольными полосками, соединяющими эти диски). Для каждой поверхности приведите разложение на ручки с минимальным числом ручек.

Определите следующие поверхности (в терминах стандартных моделей $S_{(p)}$, $T^{(g)}_{(p)}$, $P^{(h)}_{(p)}$):

Определите поверхности, изображённые на рисунке 2.56.

Поверхности к упражнению 2.7.7: (а) сфера с двумя отверстиями и приклеенной 1-ручкой; (б) диск с двумя отверстиями и приклеенной 1-ручкой.

Определите поверхность, изображённую на рисунке 2.57.

Поверхность к упражнению 2.7.8.

Определите поверхности на рисунке 2.58, где рёбра восьмиугольника отождествлены попарно, как указано соответствующими буквами и направлениями стрелок.

Поверхности к упражнению 2.7.9.