Дополнительные упражнения

Упражнения 2.9.1--2.9.8 вместе намечают доказательство того, что любое компактное связное $1$-многообразие гомеоморфно $S^{1}$.

Убедитесь, что окружность $S^{1}$ является компактным связным $1$-многообразием. Покажите, что $S^{1}$ можно покрыть двумя открытыми множествами $U, V$, каждое из которых гомеоморфно $\mathbb {R}$, так что $U \cap V$ гомеоморфно объединению двух непересекающихся открытых лучей.

Покажите, что компактное $1$-многообразие не гомеоморфно открытому множеству в $\mathbb {R}$.

Покажите, что собственное открытое множество в $\mathbb {R}$ может быть (единственным образом) разложено в объединение непересекающегося (счётного) семейства интервалов и лучей.

Пусть $U_{i}, U_{j}$ — два открытых множества в $1$-многообразии $M$ с гомеоморфизмами $h_{i}: U_{i} \to \mathbb {R}$, $h_{j}: U_{j} \to \mathbb {R}$, и пусть $h_{ji} = h_{j} h_{i}^{-1}: h_{i}(U_{i} \cap U_{j}) \to h_{j}(U_{i} \cap U_{j})$ — гомеоморфизм между двумя образами $U_{i} \cap U_{j}$. Покажите, что если конечный интервал $(a,b)$ входит в разложение из упражнения 2.9.3 для $h_{i}(U_{i} \cap U_{j})$, то $h_{ji}(a,b) = \mathbb {R}$.

При тех же $U_{i}, U_{j}, h_{i}, h_{j}$, что и в упражнении 2.9.4, покажите, что должен выполняться один из следующих трёх случаев:

Покажите, что в случаях (а) и (б) упражнения 2.9.5 множество $U_{i} \cup U_{j}$ гомеоморфно $\mathbb {R}$.

Покажите, что в случае (в) упражнения 2.9.5 множество $U_{i} \cup U_{j}$ гомеоморфно $S^{1}$.

Используя индукцию по числу открытых множеств в покрытии $M$ открытыми множествами, гомеоморфными $\mathbb {R}$, вместе с упражнениями 2.9.6 и 2.9.7, заключите, что компактное связное $1$-многообразие гомеоморфно $S^{1}$.

Покажите, что связное $n$-многообразие линейно связно.

Покажите, что компактное $n$-многообразие имеет лишь конечное число компонент линейной связности, каждая из которых является компактным связным $n$-многообразием. Заключите, что компактное $1$-многообразие есть несвязное объединение конечного числа окружностей.

Покажите, что в компактном связном $1$-многообразии с непустым краем, если $h_{i}(U_{i}) = [0,\infty )$ и $h_{j}(V_{j}) = \mathbb {R}$, и при этом $V_{j} \not\subset U_{i}$, и $U_{i} \cap V_{j} \neq \varnothing$, то $h_{i}(U_{i} \cap V_{j})$ и $h_{j}(U_{i} \cap V_{j})$ должны быть лучами, а $U_{i} \cup V_{j}$ гомеоморфно $[0,\infty )$.

Покажите, что в компактном связном $1$-многообразии с непустым краем, если $h_{i}(U_{i}) = [0,\infty )$ и $h_{j}(U_{j}) = [0,\infty )$, причём $h_{i}^{-1}(0) \neq h_{j}^{-1}(0)$, и $U_{i} \cap U_{j} \neq \varnothing$, то $h_{i}(U_{i} \cap U_{j}) = (a,\infty )$, $a > 0$, и $h_{j}(U_{i} \cap U_{j}) = (b,\infty )$, причём $h_{ji}: (a,\infty ) \to (b,\infty )$ — обращающий ориентацию диффеоморфизм, а $U_{1} \cup U_{2}$ гомеоморфно замкнутому интервалу.

Покажите, что компактное связное $1$-многообразие с непустым краем гомеоморфно $[0,1]$.

Покажите, что упражнение 2.9.13 влечёт упражнение 2.9.8.

Покажите, что рисунок 2.64 не представляет $1$-многообразие.

Не 1-многообразие.

Покажите, что отображение $f: S \to P$, $f(x) = [x]$, возникающее при рассмотрении $P$ (проективной плоскости) как факторпространства $S$ (сферы $2$) путём отождествления $x$ с $-x$, обладает следующим свойством: для любого $y \in P$ найдётся окрестность $U$ точки $y$, такая что $f^{-1}(U) = U_{1} \sqcup U_{2}$ (дизъюнктное объединение) и $f|_{U_{i}}$ является гомеоморфизмом $U_{i}$ на $U$.

Постройте непрерывное отображение $p: T \to K$ (из тора в бутылку Клейна) так, чтобы для любого $x \in K$ нашлась окрестность $U$ точки $x$, такая что $p^{-1}(U) = U_{1} \sqcup U_{2}$ (дизъюнктное объединение) и $p|_{U_{i}}$ является гомеоморфизмом $U_{i}$ на $U$.

Постройте гомеоморфизм между дополнением двух точек на сфере $S$ и дополнением одной (подходящим образом выбранной) окружности на торе $T$.

Постройте непрерывное отображение тора $T = S^{1}_{a} \times S^{1}_{b}$ на сферу $S$, которое переводит $S^{1}_{a} \times \left\{ p\right\} \cup \left\{ p\right\} \times S^{1}_{b}$ в южный полюс и является гомеоморфизмом на $T \setminus (S^{1}_{a} \times \left\{ p\right\} \cup \left\{ p\right\} \times S^{1}_{b})$.

Удалите малую окрестность центральной окружности в листе Мёбиуса, которая сама является меньшим листом Мёбиуса. Покажите, что получившееся пространство гомеоморфно цилиндру.

Удаление меньшего листа Мёбиуса.

Покажите, что в $T \setminus D^{2}$ (торе с удалённым открытым диском) существует вложенная окружность, при удалении которой дополнение остаётся связным. Используйте этот факт, чтобы показать, что $T^{(k)}_{(p)}$ (связная сумма $k$ торов с $p$ удалёнными дисками) не может быть вложена в плоскость, где $k \geq 1$, $p \geq 0$.

Покажите, что двумерную сферу $S$ нельзя вложить в плоскость.

Используя задачи 2.9.21, 2.9.22, 2.4.1 и теорему классификации, охарактеризуйте компактные связные поверхности (с краем или без) , которые можно вложить в плоскость.

Постройте вложение листа Мёбиуса в полноторие $S^{1} \times D^{2}$ так, чтобы граничная кривая листа Мёбиуса была вложена в граничный тор $S^{1} \times S^{1}$. Опишите композицию вложения граничной окружности с проекциями $T = S^{1}_{a} \times S^{1}_{b}$ на окружности $S^{1}_{a}$ и $S^{1}_{b}$.

Теорема (сильная форма теоремы Шёнфлиса): пусть $C = f(S^{1})$ — простая замкнутая кривая на плоскости, и $\mathbb {R}^{2} \setminus C = A \cup B$, как в теореме Жордана о кривой, причём $A$ ограничено. Тогда существует объемлющая изотопия $G: \mathbb {R}^{2} \times I \to \mathbb {R}^{2} \times I$ с $G_{0} = \mathrm{id}$, такая что $G_{1}(C) = S^{1}$ и $G_{1}(A) = D^{2}$. Объемлющую изотопию можно выбрать тождественной вне некоторого большого диска.

Лемма: любой вложенный диск $f: D^{2} \to \mathbb {R}^{2}$ объемлюще изотопен $g: D^{2} \to \mathbb {R}^{2}$ с $g(D^{2}) = D^{2}$ и $g(S^{1}) = S^{1}$, где объемлющую изотопию можно выбрать тождественной вне некоторого большого диска.

Используя приведённую выше теорему, докажите лемму.

Если $f: D^{2} \to D^{2}$ — гомеоморфизм, будем говорить, что $f$ сохраняет (обращает) ориентацию, если это верно для $f|_{S^{1}}$. Напомним, что любой сохраняющий ориентацию гомеоморфизм $S^{1}$ изотопен тождественному, а любой обращающий ориентацию изотопен $r(x,y) = (x,-y)$ (это расширяет более ранний результат для окружности).

Докажите вариант для диска:

Предположим, что $f: D^{2} \to D^{2}$ изотопен тождественному отображению, причём ограничение на $S^{1}$ задаётся $F_{t}: S^{1} \to S^{1}$, с $F_{0} = \mathrm{id}$ и $F_{1} = f|_{S^{1}}$. Продолжим $f$ до гомеоморфизма $\tilde{f}: \mathbb {R}^{2} \to \mathbb {R}^{2}$ следующим образом: при $1 \leq r = \left|x\right| \leq 2$ определим $\tilde{f}(x) = rF_{2-r}(x/r)$ (используя изотопию $F_{t}$ на каждой окружности), так что $\tilde{f}(x) = x$ при $\left|x\right| = 2$, и определим $\tilde{f}(x) = x$ при $\left|x\right| \geq 2$.

Постройте изотопию между $\tilde{f}$ и тождественным отображением, которая продолжает изотопию между $f$ и тождественным отображением.

Теорема (усиленная форма леммы о диске на плоскости): пусть $f: D^{2} \to \mathbb {R}^{2}$ — вложенный диск на плоскости. Тогда существует изотопия $G: \mathbb {R}^{2} \times I \to \mathbb {R}^{2} \times I$ с $G_{0} = \mathrm{id}$ и $G_{1}f = i$ или $G_{1}f = ir$, где $i: D^{2} \to \mathbb {R}^{2}$ — вложение единичного диска, а $r$ — отражение $r(x,y) = (x,-y)$. Эта изотопия является тождественной вне некоторого большого диска. Более того, не существует изотопии, связывающей $i$ и $ir$.

Выведите все утверждения этой теоремы, кроме последнего (т.е.всё, кроме того факта, что $i$ и $ir$ не изотопны, что будет показано в главе 6 как применение гомологий), из предыдущих упражнений (лемма 2.9.1 и упражнения 2.9.26--2.9.27).

Для $\epsilon < 1$ определим $c_{\epsilon }: [0,\infty ) \to [0,\infty )$ следующим образом:

1. тождественное отображение на $[2,\infty )$;

2. аффинное линейное отображение, переводящее $[0,1]$ в $[0,\epsilon ]$ умножением на $\epsilon$;

3. единственное аффинное линейное отображение, переводящее $[1,2]$ в $[\epsilon ,2]$. Дайте формулу для $c_{\epsilon }$ и покажите, что $c_{\epsilon }$ изотопно тождественному отображению с помощью изотопии $k_{t}$, являющейся тождественной на $[2,\infty )$.

Используя $c_{\epsilon }$ из предыдущего упражнения, определим $C_{\epsilon }: \mathbb {R}^{2} \to \mathbb {R}^{2}$ формулой $C_{\epsilon }(x) = c_{\epsilon }(\left|x\right|)x/\left|x\right|$ при $x \neq 0$, $C_{\epsilon }(0) = 0$.

Покажите, что для $x, y \in \mathrm{int}\, D^{2}$ существует гомеоморфизм $h: D^{2} \to D^{2}$ с $h(x) = y$ и $h(z) = z$ при $z \in S^{1}$. Покажите, что $h$ изотопен тождественному отображению, причём изотопия $H_{t}|_{\partial D} = \mathrm{id}$.

Предположим, что $M$ — связная поверхность с (возможно, пустым) краем и $x, y \in \mathrm{int}\, M$. Покажите, что существует изотопия $H_{t}$ поверхности $M$, тождественная на $\partial M$, с $H_{0} = \mathrm{id}$ и $H_{1}(x) = y$. Если $C$ — воротник края, и $x, y \in M \setminus C$, покажите, что можно считать $H$ тождественной на $C$.

Используя предыдущие упражнения и усиленную форму леммы о диске на плоскости (теорема 2.4.2, переформулированная в упражнении 2.9.28), покажите, что для любых двух вложенных дисков $f_{1}, f_{2}: D^{2} \to \mathrm{int}\, M$ существует изотопия $H_{t}$ поверхности $M$, тождественная на воротниковой окрестности края, такая, что $H_{0} = \mathrm{id}$ и $H_{1}f_{1} = f_{2}$ или $H_{1}f_{1} = f_{2}r$ (это усиленная форма леммы о диске, теорема 2.4.3).

Пространство $M$ называется однородным, если для любых $x, y \in M$ существует гомеоморфизм $h: M \to M$ с $h(x) = y$. Используя упражнение 2.9.32, покажите, что связное многообразие без края однородно.

Покажите, что если гомеоморфизм $f: \mathbb {R}^{2} \to \mathbb {R}^{2}$ удовлетворяет условию $f|_{\mathbb {R}^{2} \setminus RD^{2}} = \mathrm{id}$ (для некоторого $R$, где $RD^2$ обозначает диск радиуса $R$), то $f$ изотопен тождественному отображению.

Используя лемму 2.9.1 (упражнение 2.9.25), покажите, что для любых двух $2$-дисков $D_{1}, D_{2}$, вложенных в плоскость, существует изотопия $H_{t}: \mathbb {R}^{2} \to \mathbb {R}^{2}$, тождественная вне некоторого большого диска, такая что $H_{0} = \mathrm{id}$ и $H_{1}(D_{1}) = D_{2}$.

Из доказательства теоремы о классификации ручных тел следует, что неориентируемая поверхность обладает вложенной лентой Мёбиуса, которую можно представлять себе возникающей внутри перекрученной ручки и воротника $0$-ручки. Для любой граничной окружности $C$ мы можем взять воротник этой окружности, ленту Мёбиуса и прямоугольник, соединяющий их, чтобы образовать подмножество $W$, гомеоморфное левой диаграмме на рисунке 2.67.

Использование ленты Мёбиуса для обращения ориентации граничной окружности.

Объясните, почему эта область гомеоморфна ленте Мёбиуса с удалённым диском, как изображено на правой стороне рисунка 2.67. Используйте этот гомеоморфизм, чтобы найти гомеоморфизм ручного тела, который является тождественным вне $W$ и обращает ориентацию $C$.

Используя предыдущее упражнение и обсуждение, предшествующее теореме 2.6.5 (согласно которому для связной ориентированной поверхности существует гомеоморфизм, обращающий ориентацию на каждой граничной окружности, а если поверхность неориентируема, существует гомеоморфизм, обращающий ориентацию на одной выбранной граничной окружности и сохраняющий ориентацию на остальных), дайте независимое доказательство следствия 2.4.6 для ручных тел: что для компактной связной поверхности $M$ с краем, подсовокупности $C_{1}, \ldots , C_{k}$ граничных окружностей $M$ и перестановки $\sigma$ множества $\left\{ 1,\ldots ,k\right\}$ существует гомеоморфизм $h: M \to M$, являющийся тождественным на $\partial M \setminus C_{i}$, такой что $h(C_{i}) = C_{\sigma (i)}$, сохраняющий ориентацию на граничных окружностях, если $M$ ориентирована (а если $M$ неориентируема, $h$ можно выбрать так, чтобы он сохранял или обращал ориентацию на каждой $C_{i}$ независимо).

В главе 6 показано, что ручно-ориентированные поверхности (определение 2.4.4) являются дисково-ориентированными (определение 2.4.2). Используйте это, чтобы показать, что три определения ориентируемости для ручных тел (ручная ориентируемость, ориентируемость по Мёбиусу в смысле определения 2.4.1 и дисковая ориентируемость в смысле определения 2.4.2) эквивалентны.

Приведите разложение на ручки для каждой из поверхностей на рисунке 2.68 и ориентируйте ручки согласованно, чтобы показать, что поверхности ориентируемы.

Ориентируемые ручные тела.

Покажите, что поверхности на рисунке 2.69 неориентируемы, найдя вложенную ленту Мёбиуса. Затем найдите разложение на ручки в каждом случае и покажите, что ручки нельзя ориентировать согласованно.

Нахождение ленты Мёбиуса.

Покажите, что ручное тело только с одной $0$-ручкой связно.

Для связных ручечных тел на рисунке 2.70 найдите новое разложение ровно с одной $0$-ручкой.

Разложения с единственной 0-ручкой.

Найдите новое разложение на ручки для рисунка 2.70(в), в котором все $1$-ручки присоединены к границам $0$-ручек.

Каково минимальное число $1$-ручек, необходимое для разложения на ручки поверхности $T \# T$? Постройте разложение на ручки поверхности $T \# T$ с этим минимальным числом $1$-ручек.

Постройте разложение на ручки поверхности $(T \# T)_{(1)}$ с тремя $0$-ручками, семью $1$-ручками и одной $2$-ручкой.

Запишите поверхности на рисунке 2.71 в виде связных сумм или краевых связных сумм других поверхностей, ни одна из которых не является диском или сферой. Укажите на рисунке, что представляют собой эти два куска и какой из стандартных поверхностей (с краем) гомеоморфен каждый из них.

Связные суммы.

В каждой из поверхностей с краем на рисунке 2.72 найдите дугу $A$, соединяющую две точки границы, так чтобы при разрезании поверхности вдоль дуги и раскрытии разреза (эквивалентно, удалении окрестности $A \times (-1,1)$ дуги) мы получили две поверхности, ни одна из которых не гомеоморфна диску. Свяжите это с разложением в краевую связную сумму.

Разделяющие дуги и краевые суммы.

В каждой из поверхностей на рисунке 2.73 найдите вложенную окружность $C$, которая разделяет поверхность так, что при разрезании поверхности вдоль окружности (эквивалентно, удалении окрестности $C \times (-1,1)$ окружности) мы получаем две поверхности, ни одна из которых не гомеоморфна $S_{(p)}$ (сфере с удалёнными несколькими дисками). Свяжите это с разложением в связную сумму.

Разделяющие окружности и связные суммы.

Покажите, что диск с верхней полуокружностью, отождествлённой с нижней полуокружностью, как показано на рисунке 2.74(a), гомеоморфен $S$ (сфере).

Факторпространства диска.

Покажите, что диск с верхней полуокружностью, отождествлённой с нижней полуокружностью, как показано на рисунке 2.74(b), гомеоморфен $P$ (проективной плоскости).

Покажите, что диск с отождествлениями на граничной окружности, как показано на рисунке 2.74(c), гомеоморфен $T$ (тору).

Если граница диска разделена на $2n$ рёбер, и рёбра отождествлены попарно, покажите, что факторпространство представляет собой компактную связную поверхность.

Предположим, что поверхность $S$ получена из диска разбиением его границы на $2n$ рёбер и попарным отождествлением рёбер. Сопоставим $S$ слово, полученное, если начать с некоторой вершины и читать против часовой стрелки вокруг окружности (записывая $a^{-1}$ всякий раз, когда стрелка на ребре $a$ направлена по часовой стрелке). Например, это даёт слова $aa^{-1}$, $aa$ и $aba^{-1}b^{-1}$ для рисунка 2.74(a), (b) и (c) соответственно (см. упражнения 2.9.50--2.9.52).

Покажите, что если $w(X)$ обозначает слово, сопоставленное $X$ таким образом, и аналогично $w(Y)$ (с использованием других букв) сопоставлено $Y$, то сопоставление $w(X)w(Y)$ соответствует $X \# Y$ (например, слово $bbcdc^{-1}d^{-1}$ соответствует $P \# T$).

Связная сумма и слова: удалим два диска и отождествим копии ребра e.

Используя соглашение о сопоставлении слов из упражнения 2.9.54, покажите, что $T^{(k)}$ (связная сумма $k$ торов) может быть представлена как диск с отождествлениями на границе, соответствующими слову $a_{1}b_{1}a_{1}^{-1}b_{1}^{-1} \cdots a_{k}b_{k}a_{k}^{-1}b_{k}^{-1}$. Покажите, что $P^{(k)}$ (связная сумма $k$ проективных плоскостей) может быть представлена как диск с отождествлениями на границе, соответствующими слову $a_{1}a_{1} \cdots a_{k}a_{k}$.

Используя соглашение о сопоставлении слов из упражнения 2.9.54, покажите, что слова $a_{1}a_{1}a_{2}a_{2}a_{3}a_{3}$, $a_{1}a_{1}a_{2}a_{3}a_{2}^{-1}a_{3}$ и $a_{1}a_{1}a_{2}a_{3}a_{2}^{-1}a_{3}^{-1}$ соответствуют гомеоморфным поверхностям.

Предположим, что $T_{1}, \ldots , T_{n}$ — треугольники в $\mathbb {R}^{N}$, такие что:

1. любые два треугольника не пересекаются либо пересекаются по общему ребру или вершине;

2. каждое ребро является ребром ровно двух треугольников;

3. для любой вершины $v$ треугольники, содержащие $v$, можно циклически упорядочить $T_{v,1}, T_{v,2}, \ldots , T_{v,k}, T_{v,1}$ так, что последовательные треугольники пересекаются по ребру, имея общей только вершину $v$, как показано на правой картинке рисунка 2.76.

Ориентирование триангуляции.

Покажите, что $X = \bigcup_{i=1}^{n} T_{i}$ является поверхностью (называемой триангулированной поверхностью).

Найдите гомеоморфные образы $S$ (сферы) и $T$ (тора) в $\mathbb {R}^{3}$, являющиеся триангулированными поверхностями (упражнение 2.9.57).

Триангулированная поверхность (упражнение 2.9.57) называется ориентируемой, если можно ориентировать каждый треугольник (задав его рёбрам направление по часовой стрелке или против часовой стрелки) так, что для любого ребра два треугольника, содержащие это ребро, задают на нём противоположные ориентации (см. рисунок 2.76). Покажите, как ориентировать построенные вами триангуляции $S$ и $T$ из упражнения 2.9.58 указанным образом.

Укажите, как триангулированная поверхность (упражнение 2.9.57), которую нельзя ориентировать (в смысле согласованной ориентации треугольников, как в упражнении 2.9.59), будет содержать ленту Мёбиуса.

В этой и следующих задачах вам нужно определить поверхности, то есть указать, какой из стандартных модельных поверхностей $S_{(p)}$, $T^{(g)}_{(p)}$, $P^{(h)}_{(p)}$ гомеоморфна данная поверхность.

Какой поверхности гомеоморфна поверхность кофейной чашки (с ручкой)?

Определите следующую поверхность. Возьмите пустую коробку (с толщиной стенок) и проделайте небольшое отверстие в каждой из шести граней. Поверхность — это поверхность коробки после проделывания отверстий.

Определите поверхности на рисунке 2.68 (см. упражнение 2.9.40).

Ориентируемые тела с ручками.

Определите поверхности на рисунке 2.69 (см. упражнение 2.9.41).

Отыскание ленты Мёбиуса.

Определите поверхности на рисунке 2.70 (см. упражнение 2.9.43).

Разложения с одной 0-ручкой.

Определите поверхности на рисунке 2.71 (см. упражнение 2.9.47).

Связные суммы.

Определите поверхности на рисунке 2.72 (см. упражнение 2.9.48).

Разделяющие дуги и граничные суммы.

Определите поверхности на рисунке 2.73 (см. упражнение 2.9.49).

Разделяющие окружности и связные суммы.

Определите поверхность, образованную из шестиугольника отождествлением сторон, как показано на рисунке 2.77.

Фактор шестиугольника.

Определите поверхность на рисунке 2.78.

Поверхность к упражнению 2.9.70.

Определите поверхность на рисунке 2.79.

Поверхность к упражнению 2.9.71.

Определите поверхность на рисунке 2.80.

Поверхность к упражнению 2.9.72.

Определите поверхность на рисунке 2.81.

Поверхность к упражнению 2.9.73.

Определите поверхность, получаемую взятием связной суммы двух дисков. Определите поверхность, получаемую взятием граничной связной суммы двух дисков.

Используя модель $T$ в $\mathbb {R}^{3}$, симметричную относительно плоскости $yz$ и отражения в этой плоскости, постройте гомеоморфизм из $T_{(1)}$ в $T_{(1)}$, меняющий ориентацию на граничной окружности.

Используя модель общей ориентируемой поверхности $M = T^{(g)}_{(p)}$ в $\mathbb {R}^{3}$, постройте гомеоморфизм поверхности $M$, меняющий ориентацию на каждой граничной окружности.

Постройте гомеоморфизм между $T \setminus \left\{ p\right\}$ и поверхностью на рисунке 2.82 (без граничной окружности).

T \setminus { p} .

Опишите гомеоморфизм между двумя поверхностями на рисунке 2.83.

Построение гомеоморфизма.

Напомним, что изотопия $F: A \times I \to B \times I$ между вложениями $f_{0}, f_{1}: A \to B$ называется объемлющей (ambient), если существует изотопия $H: B \times I \to B \times I$ с $F_{t} = H_{t}f_{0}$. Покажите, что если $A = I$ и $B = S^{1}$, то всякая изотопия вложений $I$ в $S^{1}$ является объемлющей.

Гомотопия между непрерывными отображениями $f_{0}, f_{1}: A \to B$ — это непрерывное отображение $F: A \times I \to B$, $F(x,t) = F_{t}(x)$, с $F_{0} = f_{0}$, $F_{1} = f_{1}$ (говорят, что $f_{0}$ и $f_{1}$ гомотопны). Если $f_{0}, f_{1}$ — вложения и каждое $F_{t}$ — вложение, то $F(x,t) = (F_{t}(x), t)$ будет изотопией; таким образом, гомотопия является обобщением изотопии.

Покажите, что $f_{0}(x) = x$ и $f_{1}(x) = -x$ — гомотопные вложения из $D^{1}$ в $D^{1}$, но они не изотопны.

Постройте гомеоморфизм между $D^{1} \times D^{1} \cup_{f} h^{1}$ и $D^{1} \times D^{1} \cup_{g} h^{1}$, где $f(-1,x) = (-1,x)$, $f(1,x) = (1,x)$, и $g(-1,x) = (1,x)$, $g(1,x) = (-1,x)$.

Постройте гомеоморфизм $h$ между $D^{1} \times D^{1} \cup_{f} h^{1}$ и $D^{1} \times D^{1} \cup_{g} h^{1}$, где $f(-1,x) = (-1,x)$, $f(1,x) = (1,x)$, $g(-1,x) = (x,1)$, $g(1,x) = (x,-1)$, и, более того, $h$ ограничивается до тождественного отображения на малом диске во внутренности $D^{1} \times D^{1}$, а также на $h^{1}$.

Упражнения 2.9.83--2.9.91 дают набросок другого доказательства теоремы классификации (по образцу доказательства Хирша) для поверхности $M$ без края, заданной с разложением на ручки, методом индукции по числу $1$-ручек. Результат, который требуется доказать: если $M$ — связное ручочное тело без края и ориентируемо, то $M$ гомеоморфно $T^{(g)}$, где $\chi (M) = 2 - 2g$; если $M$ — связное ручочное тело без края и неориентируемо, то $M$ гомеоморфно $P^{(h)}$, где $\chi (M) = 2-h$.

Покажите, что если $M$ не имеет $1$-ручек, то $M \simeq S^{2}$.

Покажите, что если $M$ неориентируемо и существует ровно одна $1$-ручка, то $M$ имеет ровно три ручки и гомеоморфно $P$.

Предположим, что результат упражнения 2.9.83 известен, когда $M$ имеет менее $k$ $1$-ручек, и пусть $M$ имеет разложение на ручки с $k$ $1$-ручками; пусть $h^{1}$ обозначает первую присоединённую $1$-ручку, так что она присоединена либо к одной, либо к двум $0$-ручкам.

Покажите, что если $h^{1}$ присоединена к двум $0$-ручкам $h^{0}_{1} \cup h^{0}_{2}$ посредством $f$, то $h^{0}_{1} \cup h^{0}_{2} \cup_{f} h^{1}$ гомеоморфно диску. Рассматривая этот диск как новую $0$-ручку, заменяющую $h^{0}_{1}, h^{0}_{2}, h^{1}$, покажите, что $M$ имеет разложение на ручки с меньшим числом $1$-ручек, и используйте индукцию для доказательства результата.

Предположим вместо этого, что $h^{1}$ присоединена к единственной $0$-ручке $h^{0}$. Тогда либо $h^{0} \cup h^{1}$ — цилиндр $S^{1} \times I$, либо лист Мёбиуса $B$. Предположим сначала, что исходное разложение на ручки ориентируемо, так что $h^{0} \cup h^{1} = C$ — цилиндр. Удалите внутренность цилиндра и вклейте два диска $D_{1}^{2}, D_{2}^{2}$ в $N' = M \setminus \mathrm{int}\, C$ вдоль граничных окружностей, ориентированные так, чтобы они образовывали новое ориентированное разложение на ручки $N = N' \cup D_{1}^{2} \cup D_{2}^{2}$, где $D_{1}^{2}, D_{2}^{2}$ теперь рассматриваются как $0$-ручки, к которым присоединены оставшиеся ручки $M$, образуя $N$.

Покажите, что если $N'$ связно, то $M \simeq T \# N$, где $N$ — ориентируемая поверхность, и мы образуем ориентированную связную сумму. Заключите отсюда, что $M \simeq T^{(g)}$ с $\chi (M) = 2 - 2g$.

В условиях упражнения 2.9.86 покажите, что если $N'$ несвязно, то оно является объединением двух связных ориентируемых поверхностей $N_{1}, N_{2}$, и $M$ — ориентированная связная сумма $N_{1} \# N_{2}$. Заключите отсюда, что $M \simeq S$ с $\chi (S) = 2$, или $M \simeq T^{(g)}$ с $\chi (M) = 2-2g$.

Далее предположим, что разбиение $M$ на ручки неориентируемо, но $h^{0} \cup h^{1}$ — цилиндр. Как и в упражнении 2.9.86, удалите $\mathrm{int}\, C$ и приклейте два диска, задающих те же ориентации на своих границах, что и $C$, чтобы получить $N$ из $N'$. Предположим сначала, что $N$ связно.

Покажите, что если разбиение $N$ на ручки ориентируемо, то $N \simeq T^{(k)}$ при некотором $k$ и $M \simeq T^{(k)} \# K \simeq P^{(h)}$, причём $\chi (M) = 2-h$.

В условиях упражнения 2.9.88 покажите, что если разбиение $N$ на ручки неориентируемо, то $N \simeq P^{(k)}$ при некотором $k$ и $M \simeq P^{(k)} \# K \simeq P^{(h)}$ с $\chi (M) = 2-h$.

В условиях упражнения 2.9.88 предположим теперь, что $N$ несвязно, и запишем $N = N_{1} \cup N_{2}$, где каждая из компонент связна. Покажите, что одна из $N_{1}, N_{2}$ неориентируема и потому гомеоморфна $P^{(k)}$. Покажите, что другая часть — либо $T^{(p)}$, либо $P^{(l)}$. Покажите, что $M \simeq P^{(h)}$ с $\chi (M) = 2-h$.

Оставшийся случай — когда $h^{0} \cup h^{1} \simeq B$ (лист Мёбиуса). Тогда, заменив его диском с той же границей, получаем $N$, у которой на одну $1$-ручку меньше, и потому по индукции она гомеоморфна либо $T^{(k)}$, либо $P^{(l)}$, в зависимости от того, ориентируемо разбиение на ручки или нет. Покажите, что отсюда следует, что $M$ гомеоморфна $P^{(h)}$ с $\chi (M) = 2-h$.