Определения и построение моделей

Пусть $H^{n} = \left\{ (x_{1}, \ldots , x_{n}) \in \mathbb {R}^{n} : x_{n} \geq 0\right\}$ и $\partial H^{n} = \left\{ (x_{1}, \ldots , x_{n}) \in \mathbb {R}^{n} : x_{n} = 0\right\}$. $n$-многообразием с краем называется такое топологическое пространство $M$, что:

1. существует вложение $M$ в $\mathbb {R}^{N}$ для некоторого $N$;

2. для любого $x \in M$ существует окрестность $U$ точки $x$ и гомеоморфизм $h$ множества $U$ на открытое множество в $H^{n}$.

Покажите, что если $h: U \to H^{n}$ — гомеоморфизм на открытое множество в $H^{n}$ и $h(x) \in \partial H^{n}$, то существует меньшее открытое множество $V$, содержащее $x$, и гомеоморфизм $h': V \to H^{n}$.

В многообразии с краем точка $x$, для которой $h(x) \in \mathbb {R}^{n} \setminus \partial H^{n}$ (т.е.$h(x)$ лежит во внутренности $H^{n}$), называется внутренней точкой, а точка, для которой $h(x) \in \partial H^{n}$, называется граничной точкой. Примем следующие два результата (которые будут доказаны в главе 6 с помощью теории гомологий): во-первых, открытое множество в $\mathbb {R}^{n}$ не гомеоморфно открытому множеству в $\mathbb {R}^{m}$ при $m \neq n$; во-вторых, если $x \in \partial H^{n}$ и $U$ — открытое множество в $H^{n}$, содержащее $x$, то $U$ не гомеоморфно никакому открытому множеству в $\mathbb {R}^{n}$ (и даже в любом $\mathbb {R}^{m}$).

Используя эти два результата, покажите, что размерность многообразия определена корректно и что внутренняя точка не может одновременно быть граничной, так что понятия внутренней и граничной точки определены корректно.

Пусть $U$ — открытое множество, содержащее $0 \in [0,\infty ) = H^{1}$, а $V$ — открытое множество в $\mathbb {R}$. Покажите, что $U$ не гомеоморфно $V$.

Покажите, что край $n$-многообразия либо пуст, либо является $(n-1)$-многообразием.

Пусть $M, N$ — $n$-многообразия с краем. Покажите, что если $h: M \to N$ — гомеоморфизм, то $h|_{\partial M}$ является гомеоморфизмом из $\partial M$ на $\partial N$.

Теорема (инвариантность области): Пусть $U$ — открытое подмножество $\mathbb {R}^{n}$, а $f: U \to \mathbb {R}^{n}$ — взаимно однозначное и непрерывное отображение. Тогда $f$ является открытым отображением, то есть переводит открытые множества в открытые.

Примените эту теорему для доказательства следующего варианта для $n$-многообразий: если $M^{n}, N^{n}$ — $n$-многообразия и $f: M^{n} \to N^{n}$ — взаимно однозначное и непрерывное отображение, то $f$ является открытым отображением. Покажите, что если, кроме того, предположить, что $M^{n}$ компактно и связно, а $N^{n}$ связно, то $f$ обязано быть гомеоморфизмом.

Выведите корректность определения размерности $n$-многообразия из инвариантности области.

Докажите, что инвариантность области выполняется при $n = 1$.

Покажите непосредственно, что $H^{2}_{+} = \left\{ (x_{1}, x_{2}) : x_{1} \geq 0, x_{2} \geq 0\right\}$ гомеоморфно $H^{2}$.

Покажите, что произведение $m$-многообразия $M$ и $n$-многообразия $N$ является $(m+n)$-многообразием $M \times N$. Сделайте вывод, что $T = S^{1} \times S^{1}$ (тор) — компактная связная поверхность.

Постройте гомеоморфизм между факторпространством $D_{1}^{1} \cup_{\mathrm{id}} D_{2}^{1}$ и окружностью $S^{1}$, где $D_{i}^{1}$ обозначает копию отрезка $[-1,1]$, а отождествление склеивает соответствующие концы двух копий с помощью тождественного отображения.