Изотопия и приклеивание ручек

Напомним, что гомеоморфизм $f: \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ называется периодическим периода $1$, если либо $f(x+1) = f(x) + 1$ (для $f$, сохраняющего порядок), либо $f(x+1) = f(x) - 1$ (для $f$, обращающего порядок). Пусть дан сохраняющий порядок гомеоморфизм $f': [a, a+1] \to [b, b+1]$; определим $f: \mathbb {R} \to \mathbb {R}$, записывая $x \in \mathbb {R}$ единственным образом в виде $x = t + n$ с $n \in \mathbb {Z}$, $t \in [a, a+1)$, и полагая $f(x) = f'(t) + n$. Покажите, что определённое таким образом отображение $f$ является периодическим гомеоморфизмом.

Даны две непересекающиеся дуги $I, I'$ на окружности $S^{1}$; выберем интервалы $J, J' \subset \mathbb {R}$ так, что $p(J) = I$, $p(J') = I'$, где $p: \mathbb {R} \to S^{1}$, $p(t) = (\cos 2\pi t, \sin 2\pi t)$. Единственный сохраняющий порядок аффинный линейный гомеоморфизм из $J$ в $J'$ индуцирует (посредством $p$) «стандартный» гомеоморфизм из $I$ в $I'$. Покажите, что этот «стандартный» гомеоморфизм не зависит от выбора $J, J'$.

Используя гомеоморфизм $h: D^{1} \to I$, $h(s) = \frac{1}{2}(s+1)$, и тот факт, что любой сохраняющий порядок гомеоморфизм $f: I \to I$ изотопен тождественному отображению, а любой обращающий порядок — изотопен отображению $r'(t) = -t$ (где $I = [-1,1]$), докажите аналогичное утверждение для $D^{1}$:

Назовём вложение $D^{1}$ в $S^{1}$ сохраняющим ориентацию (соотв.обращающим), если оно является композицией сохраняющего порядок (обращающего) вложения $D^{1}$ в $\mathbb {R}$ и отображения $p: \mathbb {R} \to S^{1}$, $p(t) = (\cos 2\pi t, \sin 2\pi t)$. Гомеоморфизм из $S^{1}$ в $S^{1}$ сохраняет ориентацию, если он происходит из периодического гомеоморфизма $\mathbb {R}$, сохраняющего порядок.

Когда $1$-ручка приклеивается к одной граничной окружности ручечного тела, существует два стандартных способа её приклеивания с точностью до гомеоморфизма, изображённых на рисунке 2.17: слева новая граница состоит из двух компонент вместо одной; справа новая граница по-прежнему состоит из одной граничной окружности, и в поверхности вложена лента Мёбиуса, использующая часть воротника и ручку $h^{1}$.

Приклеивание 1-ручки к одной граничной окружности.

Найдите ленту Мёбиуса, упомянутую выше, на правой поверхности рисунка 2.17.

Покажите, что результат приклеивания 1-ручки к одной и той же граничной окружности никогда не гомеоморфен тому, что получается, когда она приклеивается к двум различным граничным окружностям.

Теорема: пусть $H$ — тело ручек, имеющее разложение на ручки с $0$-ручками и $1$-ручками. Тогда: (а) $\partial H$ гомеоморфно дизъюнктному объединению конечного числа окружностей; (б) существует окрестность $N(\partial H)$ границы $\partial H$, гомеоморфная $\partial H \times I$, причём $\partial H \times \left\{ 0\right\} \subset \partial H \times I$ переходит в $\partial H \subset H$ посредством стандартного отождествления $(x,0) \mapsto x$.

Набросок доказательства проводится индукцией по числу $1$-ручек: случай только $0$-ручек очевиден, а на индуктивном шаге записывают $H = H_{1} \cup h^{1}$, предполагают, что (а) и (б) выполнены для $H_{1}$, и используют существование воротника в месте приклеивания $1$-ручки, чтобы определить новую границу и её окрестность, рассматривая отдельно случай, когда обе присоединяемые дуги ручки $h^1$ лежат на одной граничной окружности $H_1$, и случай, когда они лежат на двух разных граничных окружностях $H_1$.

Восполните детали этого доказательства.