Теорема классификации

Пусть $B$ — лист Мёбиуса. Постройте модель $B \# T$ (связной суммы $B$ с тором $T$) и покажите, что она гомеоморфна $B \# K$ (связной сумме $B$ с бутылкой Клейна $K$).

Здесь $P^{(k)}_{(1)}$ обозначает граничную связную сумму $k$ копий проективной плоскости $P$ с одним удалённым диском, и аналогично $T^{(k)}_{(1)}$ для $k$ копий тора $T$. Покажите, что $P^{(k)}_{(1)} \mathbin {\overline{\cup }} T_{(1)} \simeq P^{(2k+1)}_{(1)}$. Выведите отсюда, что $P^{(l)}_{(1)} \mathbin {\overline{\cup }} T^{(k)}_{(1)} \simeq P^{(2k+l)}_{(1)}$.

Для каждой из ориентируемых поверхностей (заданных разложениями на ручки с единственной $0$-ручкой и непересекающимися $1$-ручками, приклеенными к её границе) на рисунке 2.46 с помощью скольжения ручек приведите её к стандартному виду и определите поверхность. Проверьте свой ответ, используя теорему классификации (теорема 2.6.2: связное ориентируемое тело с ручками с $0$- и $1$-ручками, эйлеровой характеристикой $\chi$ и $p$ граничными окружностями гомеоморфно стандартной модели для $S_{(p)}$ или $T^{(g)}_{(p)}$, где $\chi = 2 - 2g - p$).

Поверхности к упражнению 2.6.3.

Для каждой из неориентируемых поверхностей на рисунке 2.47 с помощью скольжения ручек приведите её к стандартному виду и определите поверхность. Проверьте свой ответ, используя теорему классификации (теорема 2.6.2: связное неориентируемое тело с ручками с $0$- и $1$-ручками, эйлеровой характеристикой $\chi$ и $p$ граничными окружностями гомеоморфно стандартной модели для $P^{(h)}_{(p)}$, где $\chi = 2 - h - p$).

Поверхности к упражнению 2.6.4.

Рассмотрим шаг в доказательстве теоремы классификации (теорема 2.6.2) для ориентируемого случая, на котором новая торическая пара (пара зацепленных $1$-ручек) создаётся добавлением новой $1$-ручки к телу-с-ручками $H_{1}$, уже находящемуся в стандартной форме $T^{(g)}_{(p)}$, давая $H = H_{1} \cup h^{1}$. Покажите, что если рассматривать $0$-ручку вместе с этой новой торической парой как задающую тор-с-одной-дыркой $T_{(1)}$, то можно удалить этот кусок из поверхности и заменить его согласованно ориентированным диском с той же границей, к которому присоединены остальные ручки (те ручки $H_{1}$, кроме её $0$-ручки). Рассматривая этот диск как новую $0$-ручку, а остальные $1$-ручки — как присоединённые к его границе, образуя тело-с-ручками $H_{1}'$, покажите, что $H \simeq H_{1}' \# T$. Затем с помощью индукции покажите, что $H \simeq T^{(g+1)}_{(p)}$, когда $H_{1}' \simeq T^{(g)}_{(p)}$.

Рассмотрим шаг в доказательстве теоремы классификации (теорема 2.6.2) для ориентируемого случая, на котором новая $1$-ручка присоединяется к одной граничной окружности тела-с-ручками $H_{1}$ (уже находящегося в стандартной форме), образуя $H = H_{1} \cup h^{1}$. Покажите, что если $H_{1}$ гомеоморфно $T^{(g)}_{(p)}$, то к $H$ можно добавить $2$-ручку так, что $H \cup h^{2} \simeq H_{1}$. Таким образом, удаление этой $2$-ручки показывает, что $H \simeq T^{(g)}_{(p+1)}$.

Рассмотрим шаг в доказательстве теоремы классификации (теорема 2.6.2) для неориентируемого случая, на котором мы присоединяем новую $1$-ручку $h^{1}$, чтобы образовать $H$ из тела-с-ручками $H_{1}$, которое по индукции можно считать либо $T^{(g)}_{(p)}$, либо $P^{(h)}_{(p)}$ и уже находящимся в стандартной форме. Покажите, что в любом из этих случаев можно считать, что $h^1$ присоединена вдали от торических пар или скрученных ручек $H_1$, так что её можно рассматривать как присоединённую к $S_{(p)}$ (диску с $p-1$ тривиальными ручками). В случае, когда $H_{1}$ ориентируемо, $h^{1}$ обязательно будет присоединена к $S_{(p)}$ так, что $S_{(p)} \cup h^{1}$ неориентируемо. Покажите, что это не обязательно так, когда $H_{1}$ неориентируемо.

Покажите, что если $1$-ручка $h^{1}$ присоединена к одной граничной окружности $H_{1} \simeq S_{(p)}$ как скрученная ручка, образуя $H$, то объединение $0$-ручки и $h^{1}$ образует лист Мёбиуса $P_{(1)}$. Образуем новое тело-с-ручками $H_{2}$, заменив $h^{0} \cup h^{1}$ диском с той же границей и затем присоединив остальные $1$-ручки (те ручки $H_1$, кроме её $0$-ручки) к нему. Покажите, что $H_{2} \simeq S_{(p)}$ и $H \simeq P \# H_{2} \simeq P_{(p)}$.

Покажите, что если $1$-ручка $h^{1}_{1}$ присоединена к двум граничным окружностям $S_{(p)}$ скрученным образом, образуя $H$, и мы выберем другую $1$-ручку $h^{1}_{2}$ так, что $h^{0} \cup h^{1}_{2}$ образует кольцо, граница которого состоит из этих двух окружностей, то $H_{1} = h^{0} \cup h^{1}_{2} \cup h^{1}_{1}$ есть бутылка Клейна с удалённым диском, $K_{(1)}$. Образуем новое тело-с-ручками $H_{2}$, удалив $h^{0} \cup h^{1}_{2} \cup h^{1}_{1}$ и заменив его диском (новой $0$-ручкой), а затем добавив все остальные ручки исходного стандартного ручечного разложения $S_{(p)}$. Покажите, что $H_{2} \simeq S_{(p-1)}$ и $H \simeq K \# S_{(p-1)}$.

Выведите общий индукционный шаг для неориентируемого случая теоремы классификации (теорема 2.6.2) из построений трёх предыдущих упражнений (2.6.7--2.6.9), рассмотрев отдельно: