Основы общей топологии

Покажите, что следующая переформулировка непрерывности, определение 1.1.2, эквивалентна исходному определению, определению 1.1.1. Для этого нужно показать, что если $f$ непрерывна в смысле определения 1.1.1, то она также непрерывна в смысле определения 1.1.2, и наоборот.

Определение 1.1.1: $f$ непрерывна в точке $x \in X$, если для любого $\epsilon > 0$ найдётся $\delta > 0$ такое, что из $d(x, y) < \delta$ следует $d(f(x), f(y)) < \epsilon$. Здесь $d$ обозначает евклидову функцию расстояния $d((x_1, \ldots , x_k), (y_1, \ldots , y_k)) = ((x_1 - y_1)^2 + \cdots + (x_k - y_k)^2)^{1/2}$. Говорят, что $f$ непрерывна, если она непрерывна в точке $x$ для всех $x \in X$.

Для $z \in \mathbb {R}^{k}$ определим шар радиуса $r$ с центром в $z$ как множество $B(z, r) = \left\{ y \in \mathbb {R}^{k} : d(z, y) < r\right\}$. Если $C$ — подмножество $\mathbb {R}^{k}$ и $z \in C$, обозначим $B_C(x, r) = C \cap B(x, r) = \left\{ y \in C : d(y, x) < r\right\}$.

Определение 1.1.2: $f : X \to Y$ непрерывна в точке $x \in X$, если для любого $\epsilon > 0$ найдётся $\delta > 0$ такое, что $B_X(x, \delta ) \subset f^{-1}(B_Y(f(x), \epsilon ))$. $f$ непрерывна, если она непрерывна в точке $x$ для всех $x \in X$.

Определите, являются ли следующие подмножества плоскости открытыми. Обоснуйте свои ответы.

Проверьте, что определение открытого множества для метрического пространства удовлетворяет требованиям, предъявляемым к топологии.

Пусть $d$ обозначает обычную евклидову метрику на плоскости, и пусть $d'((x, y), (u, v)) = \left|x - u\right| + \left|y - v\right|$. Проверьте, что $d'$ является метрикой.

Точками пространства являются непрерывные функции, определённые на отрезке $[0, 1]$. Определим расстояние между двумя такими функциями как

Покажите, что данное определение расстояния между двумя функциями удовлетворяет трём свойствам, требуемым от метрики. При этом можно использовать тот факт, что интеграл от неотрицательной непрерывной функции положителен, если только сама функция не равна тождественно $0$.

Для $X \subset \mathbb {R}^{n}$ покажите, что обычная топология на $X$ совпадает с топологией подпространства.

Покажите, что $[a, b]$ является замкнутым множеством в $\mathbb {R}$. Покажите, что прямоугольник (вместе с границей) является замкнутым множеством в $\mathbb {R}^{2}$.

Покажите, что $[a, b)$ не является ни открытым, ни замкнутым в $\mathbb {R}$.

Предложение 1.2.1: $f : A \to B$ непрерывно тогда и только тогда, когда прообразы замкнутых множеств замкнуты.

Одно направление уже показано: предположим, что $f$ непрерывно и $C$ — замкнутое подмножество $B$. Тогда $B \setminus C$ открыто, и $f^{-1}(C) = A \setminus f^{-1}(B \setminus C)$ замкнуто, поскольку является дополнением открытого множества в $A$.

Завершите доказательство, доказав обратное: предположим, что прообраз каждого замкнутого множества в $B$ замкнут в $A$, и покажите, что $f$ непрерывно.

Предложение 1.2.2: Если $A \subset X$ наделено топологией подпространства, то $D \subset A$ замкнуто в $A$ тогда и только тогда, когда $D = A \cap E$, где $E$ замкнуто в $X$.

Одно направление уже показано: по определению топологии подпространства, открытые множества в $A$ — это пересечения $A$ с открытыми множествами в $X$. Предположим, что $D$ замкнуто в $A$. Тогда $D = A \setminus F$, где $F$ открыто в $A$. Тогда $F = A \cap G$, где $G$ открыто в $X$. Следовательно, если $E = X \setminus G$, то $E$ замкнуто в $X$ и

Завершите доказательство, доказав обратное: предположим, что $D = A \cap E$, где $E$ замкнуто в $X$, и покажите, что $D$ замкнуто в $A$.

Предположим, что $A$ — замкнутое подмножество $X$. Тогда $D \subset A$ замкнуто в $A$ (с топологией подпространства) тогда и только тогда, когда $D$ замкнуто в $X$.

Замыканием множества $A \subset X$, обозначаемым $\overline{A}$, называется пересечение всех замкнутых множеств, содержащих $A$. Внутренностью $A$, обозначаемой ${A}^{\mathrm{o}}$, называется объединение всех открытых множеств, содержащихся в $A$.

Покажите, что $\overline{A}$ замкнуто, а ${A}^{\mathrm{o}}$ открыто.

Найдите $\overline{A}$, ${A}^{\mathrm{o}}$ и $\operatorname {Bd} A$ для следующих множеств $A$ в $\mathbb {R}^{2}$, где $\operatorname {Bd} A = \overline{A} \cap \overline{X \setminus A}$ обозначает границу $A$:

Покажите, что $\overline{A} = {A}^{\mathrm{o}} \cup \operatorname {Bd} A$ и ${A}^{\mathrm{o}} \cap \operatorname {Bd} A = \emptyset$, где $\operatorname {Bd} A = \overline{A} \cap \overline{X \setminus A}$ обозначает границу $A$.

Лемма о склейке (лемма 1.2.3) утверждает: пусть $X = A \cup B$, где $A$ и $B$ — замкнутые подмножества $X$. Пусть $f : X \to Y$ — функция, такая что ограничения $f$ на $A$ и $B$ (с индуцированной топологией подпространства) непрерывны каждое. Тогда $f$ непрерывна.

Докажите аналог этой леммы, в котором слово «замкнутые» заменено словом «открытые». Приведите пример, показывающий, что заключение о непрерывности $f$ неверно без каких-либо предположений о множествах $A, B$.

Лемма о склейке для гомеоморфизмов утверждает: пусть $X = A \cup B$, $Y = C \cup D$, где $A, B$ замкнуты в $X$, а $C, D$ замкнуты в $Y$. Пусть $f : A \to C$ и $g : B \to D$ — гомеоморфизмы, и пусть ограничения $f$ и $g$ на пересечение $A \cap B$ совпадают как отображения в $Y$. Определим $h : X \to Y$ так: $h|_A = f$ и $h|_B = g$ (либо можно начать с $h$ и определить $f$ и $g$ просто как её ограничения на $A$ и $B$). Если $h$ — биекция (это означает лишь, что точки, попадающие одновременно в образ $f$ и в образ $g$, — это в точности точки образа $A \cap B$), то $h$ — гомеоморфизм.

Докажите лемму о склейке для гомеоморфизмов.

Жёстким движением (изометрией) плоскости называется отображение $f : \mathbb {R}^{2} \to \mathbb {R}^{2}$, сохраняющее расстояния между точками, т.е. $d(f(x), f(y)) = d(x, y)$ для всех $x, y$.

Вот набросок рассуждения, показывающего, что любое жёсткое движение плоскости является композицией переносов, поворотов и отражений. Начав с жёсткого движения $f$, образуем новое жёсткое движение $g$ из $f$ переносом на $-f(0)$: $g = T_{-f(0)} f$. Тогда $g(0) = 0$. Теперь используем связь скалярного произведения с функцией расстояния, $\left\langle x - y, x - y \right\rangle = d(x, y)^2$, чтобы показать, что из $g(0) = 0$ и $d(g(x), g(y)) = d(x, y)$ следует $\left\langle g(x), g(y) \right\rangle = \left\langle x, y \right\rangle$. Таким образом, $g$ переводит единичные векторы в единичные векторы, а ортогональные векторы — в ортогональные. В частности, $q_1 = g(e_1)$, $q_2 = g(e_2)$ — ортогональные единичные векторы. Если $Q$ обозначает умножение на ортогональную матрицу со столбцами $q_1, q_2$, то $Q$ — поворот или отражение, и $h = Q^{-1} g$ — жёсткое движение, сохраняющее $0, e_1, e_2$. Затем можно показать, что $h$ — тождественное отображение, используя соотношение $v = \left\langle v, e_1 \right\rangle e_1 + \left\langle v_2, e_2 \right\rangle e_2$.

Заполните детали этого рассуждения, чтобы показать, что жёсткое движение плоскости является композицией поворотов, отражений и переносов.

Единичный диск $D^2 = \left\{ (x, y) : x^2 + y^2 \leq 1\right\}$ гомеоморфен квадрату $S = \left\{ (x, y) : \left|x\right| \leq 1, \left|y\right| \leq 1\right\}$ посредством следующего геометрически описанного отображения. Каждый луч, исходящий из начала координат, пересекает $D^2$ и $S$ по отрезку, и пересечение с $D^2$ отображается линейно на пересечение с $S$: для точки $x$ внутри диска, не совпадающей с центром, построим окружность с центром в начале координат, на которой лежит $x$, затем построим квадрат, описанный вокруг этой окружности, и отправим $x$ в точку $f(x)$ на пересечении периметра этого квадрата с лучом, проходящим через $x$; область между двумя окружностями при этом отображается в область между соответствующими квадратами.

Приведём соответствующие геометрические факты о базисных открытых множествах при этом соответствии. Базисные открытые множества внутри окружности задаются областями между двумя окружностями, ограниченными двумя лучами с углами $\theta = \theta_1$, $\theta = \theta_2$, а также дисками с центром в начале координат. Для внутренности квадрата базисные открытые множества задаются областями между двумя меньшими квадратами, также ограниченными теми же двумя радиальными лучами, а также малыми квадратами с центром в начале координат. Указанное выше отображение задаёт соответствие между этими базисными открытыми множествами вокруг $x$ и вокруг $f(x)$; в центре малый диск с центром в начале координат соответствует малому прямоугольнику с центром в начале координат.

Используя эти геометрические факты, проверьте, что данная конструкция задаёт гомеоморфизм. Вам понадобится тот факт, что любое открытое множество, содержащее точку, содержит одно из описанных выше базисных открытых множеств.

Запишите формулу гомеоморфизма между единичным диском $D^2$ и эллипсом $E = \left\{ (x, y) : x^2 + y^2/4 \leq 1\right\}$, и проверьте, удовлетворяет ли он условию $f(tx, ty) = t f(x, y)$, $0 \leq t \leq 1$.

Множество $A$ метрического пространства называется ограниченным, если оно содержится в некотором шаре $B(x, r)$. Покажите, что подмножество метрического пространства, являющееся компактным, обязательно ограничено.

Покажите, что конечное объединение компактных множеств компактно.

Определите, являются ли следующие подмножества $\mathbb {R}$ компактными:

Топологическое пространство $X$ называется хаусдорфовым, если для любых $x, y \in X$ найдутся непересекающиеся открытые множества $U_x, U_y$ с $x \in U_x$, $y \in U_y$.

Покажите, что в хаусдорфовом пространстве компактные множества замкнуты.

Рассмотрим функцию $f : [0, 1) \to S^1$, заданную формулой $f(x) = (\cos 2\pi x, \sin 2\pi x)$.

Покажите, что $f$ является биекцией, непрерывной, но не являющейся гомеоморфизмом.

Аналогично определению точной верхней грани определяется понятие точной нижней грани. Дайте определение точной нижней грани для множества $A \subset \mathbb {R}$ и, используя свойство точной верхней грани, покажите, что множество, ограниченное снизу, обязательно имеет точную нижнюю грань.

Приведите пример замкнутого ограниченного подмножества $A$ метрического пространства $X$, не являющегося компактным.

Пусть $X$ и $Y$ — топологические пространства; рассмотрим их произведение $X \times Y = \left\{ (x, y) : x \in X, y \in Y\right\}$. Назовём множество $W \subset X \times Y$ открытым, если для любого $(x, y) \in W$ найдутся открытые множества $U$ в $X$ и $V$ в $Y$, такие что $(x, y) \in U \times V \subset W$.

Проверьте, что открытые множества, определённые указанным выше образом, удовлетворяют трём свойствам, требуемым для топологии.

Предложение 1.5.4: Пусть $X$ — метрическое пространство и $x \in X$. Если $\left\{ s_n\right\}$ — последовательность, такая что в любом шаре с центром в $x$ содержится бесконечно много членов $s_n$ (то есть найдётся бесконечно много номеров $n$, для которых $s_n$ лежит в этом шаре), то существует подпоследовательность, сходящаяся к $x$.

Доказательство начинается следующим образом: выберем $n_1$ так, чтобы $s_{n_1}$ содержалось в шаре радиуса $1$ с центром в $x$. Поскольку в шаре радиуса $\tfrac {1}{2}$ с центром в $x$ содержится бесконечно много членов $s_n$, можно найти $n_2$ так, чтобы $n_2 > n_1$ и $s_{n_2} \in B(x, \tfrac {1}{2})$. По индукции, используя ту же идею, выбираем $n_1 < n_2 < n_3 < \cdots$ так, чтобы $s_{n_j} \in B(x, 1/j)$. Это даст сходящуюся подпоследовательность.

Восполните детали этого доказательства: покажите, что построенная подпоследовательность $\left\{ s_{n_j}\right\}$ действительно сходится к $x$.

Покажите, что если множество $\left\{ s_n : n \in \mathbb {N}\right\}$ конечно, то последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность.

Пусть $(X, d_X)$, $(Y, d_Y)$ — метрические пространства. Отображение $f : X \to Y$ называется равномерно непрерывным, если для любого $\epsilon > 0$ найдётся $\delta > 0$ такое, что для $x_1, x_2 \in X$ из $d_X(x_1, x_2) < \delta$ следует $d_Y(f(x_1), f(x_2)) < \epsilon$.

Покажите, что из равномерной непрерывности $f$ следует непрерывность $f$, но постройте пример, показывающий, что обратное неверно.

Пусть $f : X \to Y$ — непрерывное отображение компактного метрического пространства $(X, d_X)$ в метрическое пространство $(Y, d_Y)$. Покажите, что $f$ равномерно непрерывно.

Покажите, что пространство $X$ связно тогда и только тогда, когда единственными подмножествами $X$, одновременно открытыми и замкнутыми, являются $\emptyset$ и $X$.

Предложение 1.6.1:

Рассмотрим свойство: $(*)$ если $x, y \in A \subset \mathbb {R}$, то отрезок $[x, y] \subset A$.

Предложение 1.6.3: Множество $A \subset \mathbb {R}$ удовлетворяет $(*)$ тогда и только тогда, когда оно является интервалом, лучом или $\mathbb {R}$.

Нетрудно видеть, что интервал, луч или $\mathbb {R}$ удовлетворяют $(*)$. Для обратного предположим, что $A$ удовлетворяет $(*)$. Случай, когда $A$ ограничено и сверху, и снизу, уже разобран: пусть $a$ — точная нижняя грань, а $b$ — точная верхняя грань $A$. Отсюда $A \subset [a, b]$. Покажем, что $(a, b) \subset A$: пусть $c$ — точка из $(a, b)$. Так как $a$ — точная нижняя грань, найдётся элемент $e \in A$ с $a \leq e < c$. Аналогично, поскольку $b$ — точная верхняя грань, найдётся элемент $f \in A$ с $c < f \leq b$. Но $(*)$ влечёт $[e, f] \subset A$, и, значит, $c \in A$. Следовательно, $(a, b) \subset A$. Но $A \subset [a, b]$, так что для $A$ есть четыре возможности: $(a, b)$, $[a, b)$, $(a, b]$, $[a, b]$ — каждая из которых является интервалом.

Завершите доказательство предложения, рассмотрев остальные случаи: когда $A$ не ограничено с одной стороны, с другой стороны или с обеих.

Покажите, что $\mathbb {R}$ связно.

Предложение 1.6.6: Пусть $A_i$ — семейство связных подмножеств топологического пространства $X$, все имеющие общую точку $a$. Тогда объединение $A = \cup_i A_i$ связно.

Используйте это предложение, чтобы вывести связность $\mathbb {R}$ из того факта, что замкнутый отрезок связен.

Пространство $X$ называется линейно связным, если для любых $x, y \in X$ существует непрерывное отображение $f : [0, 1] \to X$ (называемое путём в $X$) с $f(0) = x$ и $f(1) = y$. Говорят, что этот путь соединяет $x$ с $y$.

Определим на $X$ отношение $x \sim y$, если существует путь, соединяющий $x$ с $y$.

Покажите, что отношение $x \sim y$, определённое выше, является отношением эквивалентности.

Покажите, что объединение линейно связных множеств с общей точкой линейно связно.

Теорема о промежуточном значении утверждает: пусть $f : X \to \mathbb {R}$ — непрерывная функция и $X$ связно. Пусть $c = f(x_1)$ и $d = f(x_2)$, и предположим, что $c < e < d$. Тогда существует $x_3 \in X$ такое, что $f(x_3) = e$.

Докажите теорему о промежуточном значении, используя тот факт, что $f(X)$ связно, и характеризацию связных множеств на прямой (подмножество $\mathbb {R}$ связно тогда и только тогда, когда оно является интервалом, лучом или всем $\mathbb {R}$).

Покажите, что буква Т не гомеоморфна букве О.

Покажите, что $S^1$ не гомеоморфна $\mathbb {R}$, показав, что $S^1 \setminus \left\{ x\right\}$ не гомеоморфна $\mathbb {R} \setminus \left\{ y\right\}$.

Покажите, что две непересекающиеся концентрические окружности на плоскости не гомеоморфны одной окружности.

Пусть $q : X \to Y$, и $Y$ имеет фактортопологию относительно $(X, q)$ (т.е. $U \subset Y$ открыто тогда и только тогда, когда $q^{-1}(U) \subset X$ открыто). Покажите, что $C \subset Y$ замкнуто тогда и только тогда, когда $q^{-1}(C) \subset X$ замкнуто.

Рассмотрим $X = [0, 1]$ с $Y$ — факторпространством, образованным отождествлением $0$ с $1$, и $X' = \mathbb {R}$ с $Y'$ — факторпространством, образованным отождествлением $x$ с $x + n$ для всех $n \in \mathbb {Z}$. Пусть $q : X \to Y$, $q' : X' \to Y'$ — отображения отождествления, и пусть $i : X \to X'$ — вложение. Поскольку $[i(0)] = [0] = [1] = [i(1)]$, $i$ индуцирует отображение $\bar{i} : Y \to Y'$, определённое как $\bar{i}([x]) = [i(x)]$, которое является непрерывной биекцией на $Y'$.

Постройте обратное к $\bar{i}$ и покажите, что оно непрерывно.

Опишите базисные открытые множества в факторпространстве $[0, 1] \times [0, 1] / (0, t) \sim (1, t), (s, 0) \sim (s, 1)$ вокруг каждой из точек $[(0, 0)]$, $[(\tfrac {1}{2}, 0)]$, $[(0, \tfrac {1}{2})]$ и $[(\tfrac {1}{2}, \tfrac {1}{2})]$. Опишите прообраз $q^{-1}(U)$ каждого из этих базисных открытых множеств.

Покажите, что факторпространство, образованное из квадрата отождествлением всех точек нижней стороны квадрата друг с другом, гомеоморфно треугольнику.

Треугольник как факторпространство квадрата.

Пусть $A_i \cup_{f_i} B_i = A_i \sqcup B_i / x \sim f_i(x), x \in K_i \subset B_i$ — факторпространство $A_i \cup B_i$, полученное отождествлением $x \in K_i \subset B_i$ с $f(x) \in A_i$ посредством гомеоморфизма $f_i : K_i \to f(K_i)$, $i = 1, 2$.

Предложение 1.7.6: Предположим, существуют гомеоморфизмы $F_A : A_1 \to A_2$, $F_B : B_1 \to B_2$ с $F_B(K_1) = K_2$ и $F_A f_1 = f_2 F_B$. Тогда отображение $F : A_1 \cup_{f_1} B_1 \to A_2 \cup_{f_2} B_2$, заданное как $F(x) = F_A(x)$, если $x \in A_1$, и $F(x) = F_B(x)$, если $x \in B_1$, является гомеоморфизмом.

Докажите предложение 1.7.6.

Рассмотрим пространство $X$, образованное из двух копий $R = D^1 \times D^1$ отождествлением $\left\{ -1, 1\right\} \times D^1$ с самим собой посредством $d$, где $d(1, y) = (1, -y)$ и $d(-1, y) = (-1, -y)$; то есть $X = R \cup_d R$. Постройте гомеоморфизм между $X$ и кольцом.

Предположим, $X = A \cup_g B$, $Y = A \cup_{g'} B$, где $g, g' : K \subset B \to g(K), g'(K) \subset A$ — гомеоморфизмы. Предположим, $(g')^{-1} g : K \to K = h|_K$, где $h : B \to B$ — гомеоморфизм. Покажите, что тождественное отображение на $A$ и $h$ на $B$ склеиваются, давая гомеоморфизм из $X$ в $Y$.

Покажите, что лист Мёбиуса также можно описать как факторпространство $D^1 \times D^1 \cup_f D^1 \times D^1$, где $f(-1, t) = (-1, t)$, $f(1, t) = (1, -t)$.

Отождествите все точки нижней половины окружности друг с другом. Покажите, что получившееся факторпространство $S^1 / \sim$ гомеоморфно $S^1$.

Введите отношение эквивалентности на единичном диске, объявив все точки граничной окружности эквивалентными друг другу. Покажите, что полученное фактор-пространство $D^2 / \sim$ гомеоморфно $S^2$.

Семейство $\mathcal{B} = \left\{ B_i : i \in I\right\}$ подмножеств $X$ называется базисом, а его элементы — базисными элементами, если выполнены следующие свойства:

Покажите, что множество шаров $\left\{ B(x, r), x \in X, r > 0\right\}$ является базисом топологии метрического пространства $X$; то есть покажите, что это базис и что определяемая им топология является метрической топологией.

Покажите, что любое открытое множество в $T_{\mathcal{B}}$ (топологии, определяемой базисом $\mathcal{B}$) является объединением базисных элементов.

Предположим, что топология на $Y$ определяется базисом. Покажите, что $f : X \to Y$ непрерывна тогда и только тогда, когда для каждого базисного элемента $B$ пространства $Y$ множество $f^{-1}(B)$ открыто.

Покажите, что открытые интервалы образуют базис топологии на $\mathbb {R}$.

Объедините две предыдущие задачи, чтобы показать, что отображение в $\mathbb {R}$ непрерывно тогда и только тогда, когда для каждого открытого интервала $I \subset \mathbb {R}$ имеем, что $f^{-1}(I)$ открыто. Сформулируйте и докажите аналогичное утверждение для отображений в метрическое пространство в терминах шаров.

Пусть $X$ — метрическое пространство с метрикой $d$, и пусть $A$ — подмножество $X$. Покажите, что метрическая топология на $A$, задаваемая метрикой $d$, совпадает с топологией подпространства.

Предположим, что $A \subset B \subset X$, и $B$ наделено топологией подпространства. Покажите, что если $A$ открыто в $B$, а $B$ открыто в $X$, то $A$ открыто в $X$.

Если $x, y \in \mathbb {R}^{2}$, положим $d(x, y) = \left|x_1 - y_1\right|$. Какие из трёх свойств метрики выполняются для $d$?

На $\mathbb {R}^{2} \setminus \left\{ 0\right\}$ запишем каждую точку в полярных координатах как $(r, \theta )$, где $0 \leq \theta < 2\pi$. Определим $d((r_1, \theta_1), (r_2, \theta_2)) = \left|r_1 - r_2\right| + \left|\theta_1 - \theta_2\right|$. Покажите, что это задаёт метрику на $\mathbb {R}^{2} \setminus \left\{ 0\right\}$, но образованная топология не является обычной топологией.