Факторпространства

Пусть $q : X \to Y$, и $Y$ имеет фактортопологию относительно $(X, q)$ (т.е. $U \subset Y$ открыто тогда и только тогда, когда $q^{-1}(U) \subset X$ открыто). Покажите, что $C \subset Y$ замкнуто тогда и только тогда, когда $q^{-1}(C) \subset X$ замкнуто.

Рассмотрим $X = [0, 1]$ с $Y$ — факторпространством, образованным отождествлением $0$ с $1$, и $X' = \mathbb {R}$ с $Y'$ — факторпространством, образованным отождествлением $x$ с $x + n$ для всех $n \in \mathbb {Z}$. Пусть $q : X \to Y$, $q' : X' \to Y'$ — отображения отождествления, и пусть $i : X \to X'$ — вложение. Поскольку $[i(0)] = [0] = [1] = [i(1)]$, $i$ индуцирует отображение $\bar{i} : Y \to Y'$, определённое как $\bar{i}([x]) = [i(x)]$, которое является непрерывной биекцией на $Y'$.

Постройте обратное к $\bar{i}$ и покажите, что оно непрерывно.

Опишите базисные открытые множества в факторпространстве $[0, 1] \times [0, 1] / (0, t) \sim (1, t), (s, 0) \sim (s, 1)$ вокруг каждой из точек $[(0, 0)]$, $[(\tfrac {1}{2}, 0)]$, $[(0, \tfrac {1}{2})]$ и $[(\tfrac {1}{2}, \tfrac {1}{2})]$. Опишите прообраз $q^{-1}(U)$ каждого из этих базисных открытых множеств.

Покажите, что факторпространство, образованное из квадрата отождествлением всех точек нижней стороны квадрата друг с другом, гомеоморфно треугольнику.

Треугольник как факторпространство квадрата.

Пусть $A_i \cup_{f_i} B_i = A_i \sqcup B_i / x \sim f_i(x), x \in K_i \subset B_i$ — факторпространство $A_i \cup B_i$, полученное отождествлением $x \in K_i \subset B_i$ с $f(x) \in A_i$ посредством гомеоморфизма $f_i : K_i \to f(K_i)$, $i = 1, 2$.

Предложение 1.7.6: Предположим, существуют гомеоморфизмы $F_A : A_1 \to A_2$, $F_B : B_1 \to B_2$ с $F_B(K_1) = K_2$ и $F_A f_1 = f_2 F_B$. Тогда отображение $F : A_1 \cup_{f_1} B_1 \to A_2 \cup_{f_2} B_2$, заданное как $F(x) = F_A(x)$, если $x \in A_1$, и $F(x) = F_B(x)$, если $x \in B_1$, является гомеоморфизмом.

Докажите предложение 1.7.6.

Рассмотрим пространство $X$, образованное из двух копий $R = D^1 \times D^1$ отождествлением $\left\{ -1, 1\right\} \times D^1$ с самим собой посредством $d$, где $d(1, y) = (1, -y)$ и $d(-1, y) = (-1, -y)$; то есть $X = R \cup_d R$. Постройте гомеоморфизм между $X$ и кольцом.

Предположим, $X = A \cup_g B$, $Y = A \cup_{g'} B$, где $g, g' : K \subset B \to g(K), g'(K) \subset A$ — гомеоморфизмы. Предположим, $(g')^{-1} g : K \to K = h|_K$, где $h : B \to B$ — гомеоморфизм. Покажите, что тождественное отображение на $A$ и $h$ на $B$ склеиваются, давая гомеоморфизм из $X$ в $Y$.

Покажите, что лист Мёбиуса также можно описать как факторпространство $D^1 \times D^1 \cup_f D^1 \times D^1$, где $f(-1, t) = (-1, t)$, $f(1, t) = (1, -t)$.

Отождествите все точки нижней половины окружности друг с другом. Покажите, что получившееся факторпространство $S^1 / \sim$ гомеоморфно $S^1$.

Введите отношение эквивалентности на единичном диске, объявив все точки граничной окружности эквивалентными друг другу. Покажите, что полученное фактор-пространство $D^2 / \sim$ гомеоморфно $S^2$.