Банк задач по математике

Задача 1.4.1

Множество $A$ метрического пространства называется ограниченным, если оно содержится в некотором шаре $B(x, r)$ . Покажите, что подмножество метрического пространства, являющееся компактным, обязательно ограничено.

?

Задача 1.4.2

Покажите, что конечное объединение компактных множеств компактно.

?

Задача 1.4.3

(a)(b)(c)

Определите, являются ли следующие подмножества $\mathbb {R}$ компактными:

?

(a)

$A = \left\{ 1/n : n \in \mathbb {N}\right\}$ ;

(b)

$B = \left\{ 0\right\} \cup A$ ;

(c)

$(0, 1]$ .

Задача 1.4.4

Топологическое пространство $X$ называется хаусдорфовым, если для любых $x, y \in X$ найдутся непересекающиеся открытые множества $U_x, U_y$ с $x \in U_x$ , $y \in U_y$ .

Покажите, что в хаусдорфовом пространстве компактные множества замкнуты.

?

Примечание.

?

В общем топологическом пространстве множество $U$ открыто, если для любого $x \in U$ найдётся открытое множество $U(x)$ с $x \in U(x) \subset U$ ; в этом случае $U$ можно записать как объединение множеств $U(x)$ по всем точкам $x$ множества $U$ , а объединение открытых множеств открыто. Используя этот критерий открытости множества, доказательство из метрического случая можно видоизменить для доказательства утверждения.

Задача 1.4.5

Рассмотрим функцию $f : [0, 1) \to S^1$ , заданную формулой $f(x) = (\cos 2\pi x, \sin 2\pi x)$ .

Покажите, что $f$ является биекцией, непрерывной, но не являющейся гомеоморфизмом.

?

Примечание.

?

Рассмотрите открытое множество $(0, \tfrac {1}{2}) \subset [0, 1)$ и его образ.

Задача 1.4.6

Аналогично определению точной верхней грани определяется понятие точной нижней грани. Дайте определение точной нижней грани для множества $A \subset \mathbb {R}$ и, используя свойство точной верхней грани, покажите, что множество, ограниченное снизу, обязательно имеет точную нижнюю грань.

?

Задача 1.4.7

Приведите пример замкнутого ограниченного подмножества $A$ метрического пространства $X$ , не являющегося компактным.

?

Примечание.

?

Рассмотрите само метрическое пространство $X$ как ограниченное некомпактное подмножество $\mathbb {R}$ , положив $A = X$ .

Компактность