Топология произведения и компактность в $\reals[n]$

Пусть $X$ и $Y$ — топологические пространства; рассмотрим их произведение $X \times Y = \left\{ (x, y) : x \in X, y \in Y\right\}$. Назовём множество $W \subset X \times Y$ открытым, если для любого $(x, y) \in W$ найдутся открытые множества $U$ в $X$ и $V$ в $Y$, такие что $(x, y) \in U \times V \subset W$.

Проверьте, что открытые множества, определённые указанным выше образом, удовлетворяют трём свойствам, требуемым для топологии.

Предложение 1.5.4: Пусть $X$ — метрическое пространство и $x \in X$. Если $\left\{ s_n\right\}$ — последовательность, такая что в любом шаре с центром в $x$ содержится бесконечно много членов $s_n$ (то есть найдётся бесконечно много номеров $n$, для которых $s_n$ лежит в этом шаре), то существует подпоследовательность, сходящаяся к $x$.

Доказательство начинается следующим образом: выберем $n_1$ так, чтобы $s_{n_1}$ содержалось в шаре радиуса $1$ с центром в $x$. Поскольку в шаре радиуса $\tfrac {1}{2}$ с центром в $x$ содержится бесконечно много членов $s_n$, можно найти $n_2$ так, чтобы $n_2 > n_1$ и $s_{n_2} \in B(x, \tfrac {1}{2})$. По индукции, используя ту же идею, выбираем $n_1 < n_2 < n_3 < \cdots$ так, чтобы $s_{n_j} \in B(x, 1/j)$. Это даст сходящуюся подпоследовательность.

Восполните детали этого доказательства: покажите, что построенная подпоследовательность $\left\{ s_{n_j}\right\}$ действительно сходится к $x$.

Покажите, что если множество $\left\{ s_n : n \in \mathbb {N}\right\}$ конечно, то последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность.

Пусть $(X, d_X)$, $(Y, d_Y)$ — метрические пространства. Отображение $f : X \to Y$ называется равномерно непрерывным, если для любого $\epsilon > 0$ найдётся $\delta > 0$ такое, что для $x_1, x_2 \in X$ из $d_X(x_1, x_2) < \delta$ следует $d_Y(f(x_1), f(x_2)) < \epsilon$.

Покажите, что из равномерной непрерывности $f$ следует непрерывность $f$, но постройте пример, показывающий, что обратное неверно.

Пусть $f : X \to Y$ — непрерывное отображение компактного метрического пространства $(X, d_X)$ в метрическое пространство $(Y, d_Y)$. Покажите, что $f$ равномерно непрерывно.