Открытые множества и топологические пространства

Проверьте, что определение открытого множества для метрического пространства удовлетворяет требованиям, предъявляемым к топологии.

Пусть $d$ обозначает обычную евклидову метрику на плоскости, и пусть $d'((x, y), (u, v)) = \left|x - u\right| + \left|y - v\right|$. Проверьте, что $d'$ является метрикой.

Точками пространства являются непрерывные функции, определённые на отрезке $[0, 1]$. Определим расстояние между двумя такими функциями как

Покажите, что данное определение расстояния между двумя функциями удовлетворяет трём свойствам, требуемым от метрики. При этом можно использовать тот факт, что интеграл от неотрицательной непрерывной функции положителен, если только сама функция не равна тождественно $0$.

Для $X \subset \mathbb {R}^{n}$ покажите, что обычная топология на $X$ совпадает с топологией подпространства.

Покажите, что $[a, b]$ является замкнутым множеством в $\mathbb {R}$. Покажите, что прямоугольник (вместе с границей) является замкнутым множеством в $\mathbb {R}^{2}$.

Покажите, что $[a, b)$ не является ни открытым, ни замкнутым в $\mathbb {R}$.

Предложение 1.2.1: $f : A \to B$ непрерывно тогда и только тогда, когда прообразы замкнутых множеств замкнуты.

Одно направление уже показано: предположим, что $f$ непрерывно и $C$ — замкнутое подмножество $B$. Тогда $B \setminus C$ открыто, и $f^{-1}(C) = A \setminus f^{-1}(B \setminus C)$ замкнуто, поскольку является дополнением открытого множества в $A$.

Завершите доказательство, доказав обратное: предположим, что прообраз каждого замкнутого множества в $B$ замкнут в $A$, и покажите, что $f$ непрерывно.

Предложение 1.2.2: Если $A \subset X$ наделено топологией подпространства, то $D \subset A$ замкнуто в $A$ тогда и только тогда, когда $D = A \cap E$, где $E$ замкнуто в $X$.

Одно направление уже показано: по определению топологии подпространства, открытые множества в $A$ — это пересечения $A$ с открытыми множествами в $X$. Предположим, что $D$ замкнуто в $A$. Тогда $D = A \setminus F$, где $F$ открыто в $A$. Тогда $F = A \cap G$, где $G$ открыто в $X$. Следовательно, если $E = X \setminus G$, то $E$ замкнуто в $X$ и

Завершите доказательство, доказав обратное: предположим, что $D = A \cap E$, где $E$ замкнуто в $X$, и покажите, что $D$ замкнуто в $A$.

Предположим, что $A$ — замкнутое подмножество $X$. Тогда $D \subset A$ замкнуто в $A$ (с топологией подпространства) тогда и только тогда, когда $D$ замкнуто в $X$.

Замыканием множества $A \subset X$, обозначаемым $\overline{A}$, называется пересечение всех замкнутых множеств, содержащих $A$. Внутренностью $A$, обозначаемой ${A}^{\mathrm{o}}$, называется объединение всех открытых множеств, содержащихся в $A$.

Покажите, что $\overline{A}$ замкнуто, а ${A}^{\mathrm{o}}$ открыто.

Найдите $\overline{A}$, ${A}^{\mathrm{o}}$ и $\operatorname {Bd} A$ для следующих множеств $A$ в $\mathbb {R}^{2}$, где $\operatorname {Bd} A = \overline{A} \cap \overline{X \setminus A}$ обозначает границу $A$:

Покажите, что $\overline{A} = {A}^{\mathrm{o}} \cup \operatorname {Bd} A$ и ${A}^{\mathrm{o}} \cap \operatorname {Bd} A = \emptyset$, где $\operatorname {Bd} A = \overline{A} \cap \overline{X \setminus A}$ обозначает границу $A$.

Лемма о склейке (лемма 1.2.3) утверждает: пусть $X = A \cup B$, где $A$ и $B$ — замкнутые подмножества $X$. Пусть $f : X \to Y$ — функция, такая что ограничения $f$ на $A$ и $B$ (с индуцированной топологией подпространства) непрерывны каждое. Тогда $f$ непрерывна.

Докажите аналог этой леммы, в котором слово «замкнутые» заменено словом «открытые». Приведите пример, показывающий, что заключение о непрерывности $f$ неверно без каких-либо предположений о множествах $A, B$.

Лемма о склейке для гомеоморфизмов утверждает: пусть $X = A \cup B$, $Y = C \cup D$, где $A, B$ замкнуты в $X$, а $C, D$ замкнуты в $Y$. Пусть $f : A \to C$ и $g : B \to D$ — гомеоморфизмы, и пусть ограничения $f$ и $g$ на пересечение $A \cap B$ совпадают как отображения в $Y$. Определим $h : X \to Y$ так: $h|_A = f$ и $h|_B = g$ (либо можно начать с $h$ и определить $f$ и $g$ просто как её ограничения на $A$ и $B$). Если $h$ — биекция (это означает лишь, что точки, попадающие одновременно в образ $f$ и в образ $g$, — это в точности точки образа $A \cap B$), то $h$ — гомеоморфизм.

Докажите лемму о склейке для гомеоморфизмов.