Дополнительные упражнения

Семейство $\mathcal{B} = \left\{ B_i : i \in I\right\}$ подмножеств $X$ называется базисом, а его элементы — базисными элементами, если выполнены следующие свойства:

Покажите, что множество шаров $\left\{ B(x, r), x \in X, r > 0\right\}$ является базисом топологии метрического пространства $X$; то есть покажите, что это базис и что определяемая им топология является метрической топологией.

Покажите, что любое открытое множество в $T_{\mathcal{B}}$ (топологии, определяемой базисом $\mathcal{B}$) является объединением базисных элементов.

Предположим, что топология на $Y$ определяется базисом. Покажите, что $f : X \to Y$ непрерывна тогда и только тогда, когда для каждого базисного элемента $B$ пространства $Y$ множество $f^{-1}(B)$ открыто.

Покажите, что открытые интервалы образуют базис топологии на $\mathbb {R}$.

Объедините две предыдущие задачи, чтобы показать, что отображение в $\mathbb {R}$ непрерывно тогда и только тогда, когда для каждого открытого интервала $I \subset \mathbb {R}$ имеем, что $f^{-1}(I)$ открыто. Сформулируйте и докажите аналогичное утверждение для отображений в метрическое пространство в терминах шаров.

Пусть $X$ — метрическое пространство с метрикой $d$, и пусть $A$ — подмножество $X$. Покажите, что метрическая топология на $A$, задаваемая метрикой $d$, совпадает с топологией подпространства.

Предположим, что $A \subset B \subset X$, и $B$ наделено топологией подпространства. Покажите, что если $A$ открыто в $B$, а $B$ открыто в $X$, то $A$ открыто в $X$.

Если $x, y \in \mathbb {R}^{2}$, положим $d(x, y) = \left|x_1 - y_1\right|$. Какие из трёх свойств метрики выполняются для $d$?

На $\mathbb {R}^{2} \setminus \left\{ 0\right\}$ запишем каждую точку в полярных координатах как $(r, \theta )$, где $0 \leq \theta < 2\pi$. Определим $d((r_1, \theta_1), (r_2, \theta_2)) = \left|r_1 - r_2\right| + \left|\theta_1 - \theta_2\right|$. Покажите, что это задаёт метрику на $\mathbb {R}^{2} \setminus \left\{ 0\right\}$, но образованная топология не является обычной топологией.

Точка $x$ называется предельной точкой множества $A$, если каждое открытое множество $U$, содержащее $x$, пересекается с $A \setminus \left\{ x\right\}$ по непустому множеству; то есть $U \cap (A \setminus \left\{ x\right\} ) \neq \emptyset$ для открытого $U$, $x \in U$. Обозначим множество предельных точек $A$ через $A'$.

Покажите, что множество $A$ замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки.

Найдите предельные точки следующих подмножеств $\mathbb {R}$:

Пусть $X$ — метрическое пространство и $A \subset X$. Покажите, что $x$ является предельной точкой $A$ тогда и только тогда, когда каждый шар $B(x, r)$ содержит бесконечно много точек $A$.

Покажите, что в хаусдорфовом пространстве $X$ с подмножеством $A$ точка $x$ является предельной точкой $A$ тогда и только тогда, когда каждое открытое множество, содержащее $x$, содержит бесконечно много точек $A$.

Покажите, что $A$ замкнуто тогда и только тогда, когда $A = \overline{A}$, и $A$ открыто тогда и только тогда, когда $A = {A}^{\mathrm{o}}$.

Покажите, что $\overline{A} = A \cup A'$, где $A'$ обозначает множество предельных точек $A$.

Топологическое пространство $X$ называется компактным по предельным точкам, если каждое бесконечное множество имеет предельную точку.

Покажите, что компактное пространство компактно по предельным точкам.

Топологическое пространство $X$ называется компактным по предельным точкам, если каждое бесконечное множество имеет предельную точку.

Покажите, что если $X$ — метрическое пространство, то $X$ компактно по предельным точкам тогда и только тогда, когда оно секвенциально компактно, тогда и только тогда, когда оно компактно.

Покажите, что если $f : X \to Y$ непрерывно в точке $x$, а $x_n$ — последовательность, сходящаяся к $x$, то $f(x_n)$ сходится к $f(x)$.

Покажите, что отображение $f : (X, d) \to (Y, d')$ между метрическими пространствами непрерывно в точке $x$ тогда и только тогда, когда для каждой последовательности $x_n$, сходящейся к $x$, последовательность $f(x_n)$ сходится к $f(x)$.

Покажите, что в хаусдорфовом пространстве предел последовательности определён однозначно; то есть, если $x_n$ сходится к $x$ и к $y$, то $x = y$.

Покажите, что в хаусдорфовом пространстве, если $x_n$ сходится к $x$, то $x$ является единственной предельной точкой множества всех значений $\left\{ x_n : n \in \mathbb {N}\right\}$. Верно ли обратное? Приведите доказательство или контрпример.

Покажите, что конечное множество в хаусдорфовом пространстве замкнуто.

Хаусдорфово пространство называется регулярным, если для любых $x \in X$ и замкнутого множества $C$ с $x \notin C$ существуют непересекающиеся открытые множества $U$ и $V$ с $x \in U$ и $C \subset V$.

Покажите, что компактное хаусдорфово пространство регулярно.

Пусть $x \in U \subset X$, где $X$ регулярно, а $U$ открыто. Покажите, что существует открытое множество $V$ такое, что $x \in V \subset \overline{V} \subset U$.

Хаусдорфово пространство называется нормальным, если для любых непересекающихся замкнутых множеств $C, D$ найдутся непересекающиеся открытые множества $U, V$ такие, что $C \subset U$, $D \subset V$.

Докажите, что компактное хаусдорфово пространство нормально.

Пусть $C \subset U \subset X$, где $X$ нормально, $C$ замкнуто, а $U$ открыто. Докажите, что существует открытое множество $V$ такое, что $C \subset V \subset \overline{V} \subset U$.

Докажите, что метрическое пространство нормально.

Пусть $C$ — подмножество метрического пространства $X$. Для каждого $x \in X$ определим расстояние от $x$ до $C$ как $d(x, C) = \inf \left\{ d(x, y) : y \in C\right\}$.

Докажите, что $\left\{ x : d(x, C) = 0\right\} = \overline{C}$. Докажите, что если $C$ замкнуто и $x \notin C$, то $d(x, C) > 0$.

Пусть $C$ — подмножество метрического пространства $X$, а $d(x, C) = \inf \left\{ d(x, y) : y \in C\right\}$ — расстояние от $x \in X$ до $C$.

Докажите, что $C_\epsilon = \left\{ y : d(y, C) < \epsilon \right\}$, где $\epsilon > 0$, — открытое множество, содержащее $C$.

Пусть $C$ — подмножество метрического пространства $X$, а $d(x, C) = \inf \left\{ d(x, y) : y \in C\right\}$ — расстояние от $x \in X$ до $C$.

Докажите, что функция $f : X \to \mathbb {R}$, заданная как $f(x) = d(x, C)$, непрерывна.

Пусть $C, D$ — непересекающиеся замкнутые множества в метрическом пространстве $X$. Используя понятие расстояния от точки до множества (т.е. $d(x, C) = \inf \left\{ d(x,y) : y \in C\right\}$), определите $d(C, D)$ через $d(x, D)$ для $x \in C$. Приведите пример, показывающий, что это расстояние может быть равно $0$. Докажите, что если $X$ компактно, то это расстояние обязательно положительно.

Пусть $(X, d)$ — метрическое пространство, а $A, B$ — непересекающиеся замкнутые множества. Докажите, что функция

является непрерывной вещественнозначной функцией $f : X \to [-1, 1]$ с $f^{-1}\left\{ -1\right\} = A$, $f^{-1}\left\{ 1\right\} = B$. Существование функции из $X$ в $[-1, 1]$, равной $-1$ на $A$ и $1$ на $B$, называется леммой Урысона и справедливо в более общей ситуации нормального пространства.

Пусть $X$ — метрическое пространство, а $C \subset X$ — замкнутое подмножество с непрерывной функцией $f : C \to \mathbb {R}$. Это упражнение проводит через доказательство того, что существует непрерывное продолжение $F : X \to \mathbb {R}$. Этот результат называется теоремой Титце о продолжении и справедлив в более общей ситуации нормального пространства.

Лемма Урысона утверждает, что для нормального пространства $X$ с непересекающимися замкнутыми множествами $A, B$ существует непрерывная функция $f : X \to [-1, 1]$ такая, что $A \subset f^{-1}\left\{ -1\right\}$ и $B \subset f^{-1}\left\{ 1\right\}$. Теорема Титце о продолжении утверждает, что для нормального пространства $X$ с замкнутым подмножеством $C$ и непрерывной функцией $f : C \to \mathbb {R}$ существует непрерывная функция $g : X \to \mathbb {R}$ такая, что $f(x) = g(x)$ для $x \in C$.

Покажите, что лемма Урысона равносильна теореме Титце о продолжении.

Покажите, что $\mathbb {Q}$ плотно в $\mathbb {R}$, и, следовательно, $\mathbb {R}$ сепарабельно (т.е. $\mathbb {R}$ имеет счётное плотное подмножество).

Пространство $X$ называется первым счётным, если для каждого $x \in X$ существует счётный базис открытых множеств, содержащих $x$; то есть существует набор $\left\{ B_n : n \in \mathbb {N}\right\}$ открытых множеств, содержащих $x$, такой, что если $U$ — открытое множество, содержащее $x$, то найдётся множество $B_k \subset U$. Это называется базисом окрестностей.

Покажите, что метрическое пространство является первым счётным.

Пространство $X$ называется первым счётным, если для каждого $x \in X$ существует счётный базис открытых множеств $\left\{ B_n : n \in \mathbb {N}\right\}$, содержащих $x$, такой, что если $U$ — открытое множество, содержащее $x$, то найдётся множество $B_k \subset U$.

Покажите, что если $X$ первым счётно и $x$ — предельная точка $C$, то существует последовательность $x_i \in C$, сходящаяся к $x$.

Пространство $X$ называется первым счётным, если для каждого $x \in X$ существует счётный базис открытых множеств $\left\{ B_n : n \in \mathbb {N}\right\}$, содержащих $x$, такой, что если $U$ — открытое множество, содержащее $x$, то найдётся множество $B_k \subset U$.

Покажите, что если $X$ первым счётно, хаусдорфово и компактно, то $X$ секвенциально компактно.

Пространство $X$ называется вторым счётным, если существует счётный базис топологии $X$. Метрическое пространство называется сепарабельным, если существует счётное множество $\left\{ x_n : n \in \mathbb {N}\right\}$ такое, что каждое открытое множество содержит хотя бы один $x_n$ (говорят, что $\left\{ x_n\right\}$ плотно в $X$, и $\left\{ x_n\right\}$ является счётным плотным подмножеством).

Покажите, что метрическое пространство сепарабельно тогда и только тогда, когда оно второе счётно.

Пространство $X$ называется счётно компактным, если каждое счётное открытое покрытие имеет конечное подпокрытие. Пространство $X$ называется вторым счётным, если существует счётный базис топологии $X$.

Покажите, что компактность влечёт счётную компактность и что обратное верно во втором счётном пространстве.

Рассмотрим пространство $X = A \cup B$, где $A = \left\{ (x, \sin 1/x) : 0 < x \leq 1\right\}$ и $B = \left\{ (0, y) : -1 \leq y \leq 1\right\}$. Пространство $X$ называется синусоидой тополога. Это и следующие два упражнения показывают, что $X$ связно, но не линейно связно.

Синусоида тополога — два вида.

Покажите, что $A \cup B = \overline{A}$.

Рассмотрим пространство $X = A \cup B$, где $A = \left\{ (x, \sin 1/x) : 0 < x \leq 1\right\}$ и $B = \left\{ (0, y) : -1 \leq y \leq 1\right\}$ (синусоида тополога; см. рисунок в упражнении 1.9.44).

Покажите, что замыкание связного множества связно, откуда следует, что $A \cup B$ связно.

Рассмотрим пространство $X = A \cup B$, где $A = \left\{ (x, \sin 1/x) : 0 < x \leq 1\right\}$ и $B = \left\{ (0, y) : -1 \leq y \leq 1\right\}$ (синусоида тополога; см. рисунок к упражнению 1.9.44). Покажем здесь, что $A \cup B$ не является линейно связным. Предположим, что $A \cup B$ линейно связно. Пусть $f : [0, 1] \to A \cup B$ — путь с $f(0) = (0, 0)$ и $f(1) = (1, \sin 1)$. Рассмотрим множество $S = \left\{ t : f([0, t]) \subset B\right\}$. Пусть $p : \mathbb {R}^{2} \to \mathbb {R}$ — отображение $p(x, y) = x$.

Топологическое пространство $X$ называется локально линейно связным в точке $x$, если для каждого открытого множества $V$, содержащего $x$, существует линейно связное открытое множество $U$ такое, что $x \in U \subset V$. Оно называется локально линейно связным, если оно локально линейно связно в каждой точке $x \in X$. Оно называется локально связным в точке $x$, если для каждого открытого множества $V$, содержащего $x$, существует связное открытое множество $U$ такое, что $x \in U \subset V$. Оно называется локально связным, если оно локально связно в каждой точке $x \in X$.

Покажите, что локально линейно связное пространство локально связно.

Покажите, что синусоида тополога (см. рисунок к упражнению 1.9.44) не является локально связной, где пространство локально связно в точке $x$, если для каждого открытого множества $V$, содержащего $x$, существует связное открытое множество $U$ такое, что $x \in U \subset V$.

Покажите, что открытое множество в $\mathbb {R}^{n}$ локально линейно связно, где пространство локально линейно связно в точке $x$, если для каждого открытого множества $V$, содержащего $x$, существует линейно связное открытое множество $U$ такое, что $x \in U \subset V$.

Покажите, что компоненты линейной связности локально линейно связного пространства являются открытыми множествами, где пространство локально линейно связно в точке $x$, если для каждого открытого множества $V$, содержащего $x$, существует линейно связное открытое множество $U$ такое, что $x \in U \subset V$.

Покажите, что если $X$ локально линейно связно и связно, то $X$ линейно связно.

Приведите пример линейно связного пространства, которое не является локально линейно связным.

Определим отношение эквивалентности на $X$ по правилу $x \sim y$, если существует связное множество, содержащее и $x$, и $y$. Классы эквивалентности называются компонентами $X$.

Говорят, что семейство $\mathcal{D}$ подмножеств $X$ обладает свойством конечных пересечений (С.К.П.), если для любого конечного подсемейства $\left\{ D_1, \ldots , D_k\right\}$ семейства $\mathcal{D}$ пересечение $D_1 \cap \cdots \cap D_k \neq \emptyset$. Покажите, что $X$ компактно тогда и только тогда, когда для любого семейства $\mathcal{D}$ замкнутых множеств, обладающего С.К.П., пересечение всех элементов $\mathcal{D}$ непусто.

Пусть $(X, d)$ — компактное метрическое пространство, а $f : X \to X$ — непрерывное отображение. Точка $x \in X$ называется неподвижной точкой отображения $f$, если $f(x) = x$. Отображение $f$ называется сжимающим, если существует число $a < 1$ такое, что $d(f(x), f(y)) \leq a \, d(x, y)$ для всех $x, y \in X$. Покажите, что сжимающее отображение имеет единственную неподвижную точку. Этот результат известен как принцип сжимающих отображений и играет ключевую роль в анализе.

Говорят, что $X$ локально компактно в точке $x$, если существуют открытое множество $U$ и компактное множество $C$ такие, что $x \in U \subset C$. Говорят, что $X$ локально компактно, если оно локально компактно в каждой точке $x \in X$.

Покажите, что компактное пространство локально компактно.

Покажите, что $\mathbb {R}^{n}$ локально компактно, где пространство локально компактно в точке $x$, если существуют открытое множество $U$ и компактное множество $C$ такие, что $x \in U \subset C$.

Покажите, что если $X$ хаусдорфово и локально компактно в точке $x$, то существует открытое множество $U$, содержащее $x$, такое что $\overline{U}$ компактно.

Пусть $X$ — локально компактное хаусдорфово пространство. Покажите, что если $x \in U \subset X$, где $U$ открыто, то существует открытое множество $V$, содержащее $x$, такое что $\overline{V}$ компактно и $\overline{V} \subset U$.

Пусть $X$ — локально компактное хаусдорфово пространство. Образуем новое пространство $X^+$, называемое одноточечной компактификацией $X$, как $X^+ = X \cup \left\{ p\right\}$ — несвязное объединение $X$ и добавленной точки $p$. Множество $U \subset X^+$ называется открытым, если (1) $U$ — открытое множество в $X$, или (2) $p \in U$ и $X^+ \setminus U$ — компактное множество в $X$.

Покажите, что если $X$ — локально компактное хаусдорфово пространство, а $Y$ — компактное хаусдорфово пространство с $Y \setminus \left\{ y_0\right\} \simeq X$, то $Y \simeq X^+$, где $X^+$ обозначает одноточечную компактификацию $X$.

Покажите, что если $X$ компактно, то одноточечная компактификация $X$ есть $X^+ = X \sqcup \left\{ p\right\}$, где множество $\left\{ p\right\}$ является открытым множеством в несвязном объединении.

Рассмотрим пространство $\mathbb {R}^{\infty }$, являющееся произведением счётного числа копий $\mathbb {R}$. Оно наделяется топологией произведения с базой из множеств, являющихся произведением конечного числа интервалов на произведение копий вещественной прямой:

Покажите, что это пространство не является локально компактным.

Покажите, что $\infty$ (кривая-восьмёрка) не гомеоморфна O (окружности).

Следующие четыре упражнения касаются гомеоморфного типа букв алфавита. В каждом случае предполагается, что буква написана без засечек и без украшений: $\mathrm{ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ}$.

Покажите, что буква X не гомеоморфна букве Y, но что буква Y гомеоморфна букве T.

Буквы алфавита написаны без засечек и без украшений: $\mathrm{ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ}$.

Постройте гомеоморфизм между буквой D и буквой O.

Буквы алфавита написаны без засечек и без украшений: $\mathrm{ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ}$.

Докажите, что буква A не гомеоморфна букве B.

Буквы алфавита написаны без засечек и без украшений: $\mathrm{ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ}$.

Разбейте буквы алфавита на классы эквивалентности так, чтобы эквивалентные буквы были гомеоморфны, а неэквивалентные — не гомеоморфны.

Докажите, что если открытое множество $U \subset \mathbb {R}^{2}$ линейно связно, то любые две точки в $U$ на самом деле можно соединить ломаной, лежащей в $U$.

Для каждого из следующих подмножеств $\mathbb {R}^{2}$ укажите, какими из следующих свойств оно обладает, а именно: (i) компактность; (ii) связность; (iii) линейная связность; (iv) открытость; (v) замкнутость:

Покажите, что тор не гомеоморфен открытому множеству в $\mathbb {R}^{2}$.

Покажите, что если $A \subset S^1$ и $A \neq S^1$, то $A$ не гомеоморфно $S^1$.

Зададим на $\mathbb {R}^{2}$ отношение эквивалентности $\sim$, говоря, что две точки эквивалентны, если они обе лежат на окружности радиуса $r$ с центром в начале координат. Покажите, что $\mathbb {R}^{2} / \sim$ с фактор-топологией гомеоморфно $[0, \infty )$.

Отождествим все точки нижней полусферы сферы $S^2$. Покажите, что получившееся фактор-пространство $S^2 / \sim$ гомеоморфно $S^2$.

Отождествим точки на граничных окружностях кольца $A$ между окружностями радиуса 1 и радиуса 2, лежащие на одном луче, исходящем из начала координат. Покажите, что получившееся фактор-пространство $A / \sim$ гомеоморфно тору $T^2$.

Отождествим точки на внешней окружности кольца $A$ в одну точку, а точки на внутренней окружности — в другую (отличную от неё) точку. Покажите, что $A / \sim$ гомеоморфно $S^2$. Опишите, какое пространство получится, если отождествить точки на обеих окружностях в одну общую точку.

Рассмотрим фактор-пространство $X$, образованное из двух копий $D^1 \times D^1$ с помощью $f : \left\{ -1, 1\right\} \times D^1 \to \left\{ -1, 1\right\} \times D^1$, где $f(-1, x) = (1, -x)$, $f(1, y) = (-1, y)$, $X = (D^1 \times D^1) \cup_f (D^1 \times D^1)$. Определите, гомеоморфно ли $X$ кольцу или листу Мёбиуса, и докажите своё утверждение.

Покажите, что верхняя полусфера $S^2$ гомеоморфна $D^2$, и аналогично для нижней полусферы. Используйте это, чтобы показать, что $S^2$ гомеоморфна $D^2 \cup_g D^2$ для некоторого $g : S^1 \to S^1$, и определите $g$.

Покажите, что $D^2 \cup_f D^2$, где $f : K \to K$ — это $f(x) = x$, а $K = \left\{ (x_1, x_2) \in S^1 : x_1 \geq 0\right\}$, гомеоморфно $D^2$.