Банк задач по математике

Задача 1.3.1

(a)(b)

?

(a)

Покажите, что любое отображение из $\mathbb {R}^{2}$ в $\mathbb {R}^{2}$ , сохраняющее расстояния между точками (т.е. $d(f(x), f(y)) = d(x, y)$ ), непрерывно.

(b)

Обобщите это, показав, что $f : (X, d) \to (Y, d')$ с условием $d'(f(x), f(y)) \leq K d(x, y)$ , $K > 0$ , непрерывно.

Задача 1.3.2

Жёстким движением (изометрией) плоскости называется отображение $f : \mathbb {R}^{2} \to \mathbb {R}^{2}$ , сохраняющее расстояния между точками, т.е. $d(f(x), f(y)) = d(x, y)$ для всех $x, y$ .

Вот набросок рассуждения, показывающего, что любое жёсткое движение плоскости является композицией переносов, поворотов и отражений. Начав с жёсткого движения $f$ , образуем новое жёсткое движение $g$ из $f$ переносом на $-f(0)$ : $g = T_{-f(0)} f$ . Тогда $g(0) = 0$ . Теперь используем связь скалярного произведения с функцией расстояния, $\left\langle x - y, x - y \right\rangle = d(x, y)^2$ , чтобы показать, что из $g(0) = 0$ и $d(g(x), g(y)) = d(x, y)$ следует $\left\langle g(x), g(y) \right\rangle = \left\langle x, y \right\rangle$ . Таким образом, $g$ переводит единичные векторы в единичные векторы, а ортогональные векторы — в ортогональные. В частности, $q_1 = g(e_1)$ , $q_2 = g(e_2)$ — ортогональные единичные векторы. Если $Q$ обозначает умножение на ортогональную матрицу со столбцами $q_1, q_2$ , то $Q$ — поворот или отражение, и $h = Q^{-1} g$ — жёсткое движение, сохраняющее $0, e_1, e_2$ . Затем можно показать, что $h$ — тождественное отображение, используя соотношение $v = \left\langle v, e_1 \right\rangle e_1 + \left\langle v_2, e_2 \right\rangle e_2$ .

Заполните детали этого рассуждения, чтобы показать, что жёсткое движение плоскости является композицией поворотов, отражений и переносов.

?

Задача 1.3.3

?

(a)

Покажите, что $a_1 - a_0, a_2 - a_0$ линейно независимы тогда и только тогда, когда из $\lambda_0 a_0 + \lambda_1 a_1 + \lambda_2 a_2 = 0$ , $\lambda_0 + \lambda_1 + \lambda_2 = 0$ следует $\lambda_0 = \lambda_1 = \lambda_2 = 0$ .

(b)

Покажите, что если $a_0, a_1, a_2$ аффинно независимы, то из $\lambda_1 a_0 + \lambda_1 a_1 + \lambda_2 a_2 = \mu_1 a_0 + \mu_1 a_1 + \mu_2 a_2$ с $\sum \lambda_i = \sum \mu_i = 1$ следует $\mu_i = \lambda_i$ , $i = 0, 1, 2$ .

(c)

Покажите, что любая конечная композиция переносов и линейных отображений плоскости может быть записана как одна композиция $TL$ , где $T$ — перенос, а $L$ — линейное отображение.

(d)

Покажите, что любая композиция $M$ переносов и линейных отображений удовлетворяет $M\left(\sum_{i=1}^k \lambda_i a_i\right) = \sum_{i=1}^k \lambda_i M(a_i)$ , когда $\sum_{i=1}^k \lambda_i = 1$ . Обратно, покажите, что если $M$ удовлетворяет этому условию для любых трёх аффинно независимых точек, то $M$ является композицией переноса и линейного отображения, а значит, аффинно линейным отображением.

(e)

Покажите, что аффинное линейное отображение, переводящее $a_i$ в $b_i$ , всегда переводит отрезок $a_0 a_1$ в отрезок $b_0 b_1$ по правилу $(1-t) a_0 + t a_1 \to (1-t) b_0 + t b_1$ , $0 \leq t \leq 1$ .

Задача 1.3.4

(a)(b)

?

(a)

Постройте кусочно-линейный гомеоморфизм между квадратом и шестиугольником.

(b)

Покажите, что любые две выпуклые многоугольные области гомеоморфны посредством кусочно-линейного гомеоморфизма.

Задача 1.3.5

Единичный диск $D^2 = \left\{ (x, y) : x^2 + y^2 \leq 1\right\}$ гомеоморфен квадрату $S = \left\{ (x, y) : \left|x\right| \leq 1, \left|y\right| \leq 1\right\}$ посредством следующего геометрически описанного отображения. Каждый луч, исходящий из начала координат, пересекает $D^2$ и $S$ по отрезку, и пересечение с $D^2$ отображается линейно на пересечение с $S$ : для точки $x$ внутри диска, не совпадающей с центром, построим окружность с центром в начале координат, на которой лежит $x$ , затем построим квадрат, описанный вокруг этой окружности, и отправим $x$ в точку $f(x)$ на пересечении периметра этого квадрата с лучом, проходящим через $x$ ; область между двумя окружностями при этом отображается в область между соответствующими квадратами.

Приведём соответствующие геометрические факты о базисных открытых множествах при этом соответствии. Базисные открытые множества внутри окружности задаются областями между двумя окружностями, ограниченными двумя лучами с углами $\theta = \theta_1$ , $\theta = \theta_2$ , а также дисками с центром в начале координат. Для внутренности квадрата базисные открытые множества задаются областями между двумя меньшими квадратами, также ограниченными теми же двумя радиальными лучами, а также малыми квадратами с центром в начале координат. Указанное выше отображение задаёт соответствие между этими базисными открытыми множествами вокруг $x$ и вокруг $f(x)$ ; в центре малый диск с центром в начале координат соответствует малому прямоугольнику с центром в начале координат.

Используя эти геометрические факты, проверьте, что данная конструкция задаёт гомеоморфизм. Вам понадобится тот факт, что любое открытое множество, содержащее точку, содержит одно из описанных выше базисных открытых множеств.

?

Задача 1.3.6

Запишите формулу гомеоморфизма между единичным диском $D^2$ и эллипсом $E = \left\{ (x, y) : x^2 + y^2/4 \leq 1\right\}$ , и проверьте, удовлетворяет ли он условию $f(tx, ty) = t f(x, y)$ , $0 \leq t \leq 1$ .

?

Геометрические конструкции плоских гомеоморфизмов