Связность

Покажите, что пространство $X$ связно тогда и только тогда, когда единственными подмножествами $X$, одновременно открытыми и замкнутыми, являются $\emptyset$ и $X$.

Предложение 1.6.1:

Рассмотрим свойство: $(*)$ если $x, y \in A \subset \mathbb {R}$, то отрезок $[x, y] \subset A$.

Предложение 1.6.3: Множество $A \subset \mathbb {R}$ удовлетворяет $(*)$ тогда и только тогда, когда оно является интервалом, лучом или $\mathbb {R}$.

Нетрудно видеть, что интервал, луч или $\mathbb {R}$ удовлетворяют $(*)$. Для обратного предположим, что $A$ удовлетворяет $(*)$. Случай, когда $A$ ограничено и сверху, и снизу, уже разобран: пусть $a$ — точная нижняя грань, а $b$ — точная верхняя грань $A$. Отсюда $A \subset [a, b]$. Покажем, что $(a, b) \subset A$: пусть $c$ — точка из $(a, b)$. Так как $a$ — точная нижняя грань, найдётся элемент $e \in A$ с $a \leq e < c$. Аналогично, поскольку $b$ — точная верхняя грань, найдётся элемент $f \in A$ с $c < f \leq b$. Но $(*)$ влечёт $[e, f] \subset A$, и, значит, $c \in A$. Следовательно, $(a, b) \subset A$. Но $A \subset [a, b]$, так что для $A$ есть четыре возможности: $(a, b)$, $[a, b)$, $(a, b]$, $[a, b]$ — каждая из которых является интервалом.

Завершите доказательство предложения, рассмотрев остальные случаи: когда $A$ не ограничено с одной стороны, с другой стороны или с обеих.

Покажите, что $\mathbb {R}$ связно.

Предложение 1.6.6: Пусть $A_i$ — семейство связных подмножеств топологического пространства $X$, все имеющие общую точку $a$. Тогда объединение $A = \cup_i A_i$ связно.

Используйте это предложение, чтобы вывести связность $\mathbb {R}$ из того факта, что замкнутый отрезок связен.

Пространство $X$ называется линейно связным, если для любых $x, y \in X$ существует непрерывное отображение $f : [0, 1] \to X$ (называемое путём в $X$) с $f(0) = x$ и $f(1) = y$. Говорят, что этот путь соединяет $x$ с $y$.

Определим на $X$ отношение $x \sim y$, если существует путь, соединяющий $x$ с $y$.

Покажите, что отношение $x \sim y$, определённое выше, является отношением эквивалентности.

Покажите, что объединение линейно связных множеств с общей точкой линейно связно.

Теорема о промежуточном значении утверждает: пусть $f : X \to \mathbb {R}$ — непрерывная функция и $X$ связно. Пусть $c = f(x_1)$ и $d = f(x_2)$, и предположим, что $c < e < d$. Тогда существует $x_3 \in X$ такое, что $f(x_3) = e$.

Докажите теорему о промежуточном значении, используя тот факт, что $f(X)$ связно, и характеризацию связных множеств на прямой (подмножество $\mathbb {R}$ связно тогда и только тогда, когда оно является интервалом, лучом или всем $\mathbb {R}$).

Покажите, что буква Т не гомеоморфна букве О.

Покажите, что $S^1$ не гомеоморфна $\mathbb {R}$, показав, что $S^1 \setminus \left\{ x\right\}$ не гомеоморфна $\mathbb {R} \setminus \left\{ y\right\}$.

Покажите, что две непересекающиеся концентрические окружности на плоскости не гомеоморфны одной окружности.