Глава 2

Аналитическая геометрия в пространстве

[333/76%]

Показать

LaTeX

Показать LaTeX

2.1 · Векторы и координаты в пространстве[39/67%]

Задача 384

Проекции вектора на оси $Ox$ , $Oy$ , $Oz$ равны $(1,-4,8)$ . Найти длину вектора и косинусы его углов с осями.

Задача 385

Найти сумму векторов $\overrightarrow {a}+\overrightarrow {b}+\overrightarrow {c}$ , если $\overrightarrow {a} = 5\overrightarrow {i}+7\overrightarrow {j}+8\overrightarrow {k}$ , $\overrightarrow {b} = 3\overrightarrow {i}-4\overrightarrow {j}+6\overrightarrow {k}$ , $\overrightarrow {c} = -6\overrightarrow {i}-9\overrightarrow {j}-5\overrightarrow {k}$ , и длину этого вектора.

Задача 386

Вычислить скалярное произведение $\overrightarrow {a} \cdot \overrightarrow {b}$ , если $\overrightarrow {a} = 2\overrightarrow {i}+3\overrightarrow {j}+4\overrightarrow {k}$ , $\overrightarrow {b} = 3\overrightarrow {i}+\overrightarrow {j}-3\overrightarrow {k}$ .

Задача 387

Вычислить векторное произведение $\overrightarrow {a} \times \overrightarrow {b}$ векторов предыдущей задачи.

Задача 388

Проверить тождества:

(\overrightarrow {a}-\overrightarrow {b}) \times (\overrightarrow {a}+\overrightarrow {b}) = 2\overrightarrow {a} \times \overrightarrow {b}; \qquad (\overrightarrow {a} \times \overrightarrow {b})^{2}+(\overrightarrow {a} \cdot \overrightarrow {b})^{2} = \overrightarrow {a}^{2} \cdot \overrightarrow {b}^{2}.

Задача 389

Из последнего тождества предыдущей задачи получить тождество Лагранжа

(a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2})(a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2})-(a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2})^{2} = (a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})^{2}+(b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1})^{2}+(c_{1}a_{2}-c_{2}a_{1})^{2}.

Задача 390

Показать, что если $\overrightarrow {a}+\overrightarrow {b}+\overrightarrow {c} = 0$ , то $\overrightarrow {a} \times \overrightarrow {b} = \overrightarrow {b} \times \overrightarrow {c} = \overrightarrow {c} \times \overrightarrow {a}$ .

Задача 391

Найти угол между векторами $\overrightarrow {i}+2\overrightarrow {j}+2\overrightarrow {k}$ и $-\overrightarrow {i}+2\overrightarrow {j}+4\overrightarrow {k}$ .

Задача 392

Найти угол между биссектрисами углов $xOy$ и $xOz$ .

Задача 393

В треугольнике $ABC$ найти величину стороны $AB$ и угол $BAC$ , если известны координаты вершин: $A(2,-3,1)$ , $B(4,11,6)$ , $C(4,-4,3)$ .

Задача 394

Воспользовавшись формулой для вычисления векторного произведения, найти площадь треугольника $ABC$ , зная координаты вершин $A(-2,1,3)$ , $B(2,-1,7)$ , $C(11,2,-5)$ .

Задача 395

Найти проекцию вектора $\overrightarrow {AB}$ на направление $CD$ , если известны точки $A(1,-2,3)$ , $B(4,-4,-3)$ , $C(2,4,3)$ , $D(8,6,6)$ .

Задача 396

Проверить, что векторы $7\overrightarrow {i}+6\overrightarrow {j}-6\overrightarrow {k}$ и $6\overrightarrow {i}+2\overrightarrow {j}+9\overrightarrow {k}$ могут быть взяты за ребра куба. Найти третье ребро куба.

Задача 397

Вычислить смешанное (векторно-скалярное) произведение $(\overrightarrow {a} \times \overrightarrow {b}) \cdot \overrightarrow {c}$ , если $\overrightarrow {a} = \overrightarrow {i}+3\overrightarrow {j}-\overrightarrow {k}$ , $\overrightarrow {b} = 3\overrightarrow {i}+2\overrightarrow {j}$ , $\overrightarrow {c} = 2\overrightarrow {i}-\overrightarrow {j}+3\overrightarrow {k}$ .

Задача 398

Вычислить следующие двойные векторные произведения трех векторов предыдущей задачи: $\overrightarrow {a} \times (\overrightarrow {b} \times \overrightarrow {c})$ и $(\overrightarrow {a} \times \overrightarrow {b}) \times \overrightarrow {c}$ .

Задача 399

Вычислить объем тетраэдра $ABCD$ , зная координаты его вершин $A(2,1,5)$ , $B(4,0,8)$ , $C(6,-2,6)$ , $D(5,0,3)$ .

Задача 400

Вычислить высоту тетраэдра $ABCD$ предыдущей задачи, опущенную из точки $D$ .

Задача 401

Определить плечо вектора $\overrightarrow {AB}$ относительно точки $C$ , т.е. длину перпендикуляра из точки $C$ на прямую $AB$ . Известны положения точек $A(2,0,3)$ , $B(4,6,0)$ , $C(1,-3,8)$ .

Задача 402

Проверить тождество

\overrightarrow {a} \times (\overrightarrow {b} \times \overrightarrow {c})+\overrightarrow {b} \times (\overrightarrow {c} \times \overrightarrow {a})+\overrightarrow {c} \times (\overrightarrow {a} \times \overrightarrow {b}) = 0.

Задача 403

Доказать формулу:

(\overrightarrow {a} \times \overrightarrow {b}) \cdot (\overrightarrow {c} \times \overrightarrow {d}) = \begin{vmatrix} \overrightarrow {a} \cdot \overrightarrow {c} & \overrightarrow {a} \cdot \overrightarrow {d} \\ \overrightarrow {b} \cdot \overrightarrow {c} & \overrightarrow {b} \cdot \overrightarrow {d} \end{vmatrix}.

Задача 404

При каком значении $m$ векторы $\overrightarrow {a} = \overrightarrow {i}+\overrightarrow {j}+m\overrightarrow {k}$ ; $\overrightarrow {b} = \overrightarrow {j}$ ; $\overrightarrow {c} = 3\overrightarrow {i}+\overrightarrow {k}$ компланарны и, значит, $(\overrightarrow {a} \times \overrightarrow {b}) \cdot \overrightarrow {c} = 0$ .

Задача 405

Решить предыдущую задачу, исходя из соображения, что при компланарности $\overrightarrow {a}, \overrightarrow {b}, \overrightarrow {c}$ имеется равенство $\overrightarrow {a} = \lambda \overrightarrow {b}+\mu \overrightarrow {c}$ , где $\lambda$ и $\mu$ — скалярные множители.

Задача 406

Три вектора $\overrightarrow {a}^{*}$ , $\overrightarrow {b}^{*}$ , $\overrightarrow {c}^{*}$ называются взаимными с тремя некомпланарными векторами $\overrightarrow {a}$ , $\overrightarrow {b}$ , $\overrightarrow {c}$ , если $\Delta \overrightarrow {a}^{*} = \overrightarrow {b} \times \overrightarrow {c}$ , $\Delta \overrightarrow {b}^{*} = \overrightarrow {c} \times \overrightarrow {a}$ , $\Delta \overrightarrow {c}^{*} = \overrightarrow {a} \times \overrightarrow {b}$ , где число $\Delta$ определяется равенством $\Delta = (\overrightarrow {a} \times \overrightarrow {b}) \cdot \overrightarrow {c}$ .

Доказать, что вектор $\overrightarrow {x}$ , определяемый из системы уравнений $\overrightarrow {x} \cdot \overrightarrow {a} = m$ , $\overrightarrow {x} \cdot \overrightarrow {b} = n$ , $\overrightarrow {x} \cdot \overrightarrow {c} = p$ , где $\overrightarrow {a}$ , $\overrightarrow {b}$ , $\overrightarrow {c}$ и $m$ , $n$ , $p$ заданы и $\Delta \neq 0$ , имеет вид $\overrightarrow {x} = m\overrightarrow {a}^{*}+n\overrightarrow {b}^{*}+p\overrightarrow {c}^{*}$ .

Задача 407

Представить в векторном виде решение обыкновенной системы

2x_{1}-x_{2}+x_{3} = m, \qquad x_{1}-3x_{2}-2x_{3} = n, \qquad 3x_{1}-x_{2}-x_{3} = p.

Задача 408

Проверить, что все векторы $\overrightarrow {x}$ , удовлетворяющие уравнению $\overrightarrow {x} \cdot \overrightarrow {a} = m$ , могут быть даны в таком виде: $\overrightarrow {x} = \dfrac {m}{\left|\overrightarrow {a}\right|^{2}}\overrightarrow {a}+\overrightarrow {a} \times \overrightarrow {c}$ , где $\overrightarrow {c}$ — совершенно произвольный вектор.

Задача 409

Проверить, что по векторному уравнению $\overrightarrow {x} \times \overrightarrow {a} = \overrightarrow {b}$ возможно найти $\overrightarrow {x}$ , только если $\overrightarrow {a}$ и $\overrightarrow {b}$ взаимно перпендикулярны, и в этом случае

\overrightarrow {x} = \dfrac {\overrightarrow {a} \times \overrightarrow {b}}{\left|\overrightarrow {a}\right|^{2}}+n\overrightarrow {a},

где $n$ — произвольный скалярный множитель.

Задача 410

Если заданы векторы $\overrightarrow {a}$ и $\overrightarrow {b}$ , причем $\overrightarrow {a}$ перпендикулярен $\overrightarrow {b}$ , то из двух векторных уравнений $\overrightarrow {x} \cdot \overrightarrow {a} = m$ и $\overrightarrow {x} \times \overrightarrow {a} = \overrightarrow {b}$ вектор $\overrightarrow {x}$ определяется однозначно. Проверить это и найти $\overrightarrow {x}$ .

Задача 411

Определить вектор $\overrightarrow {x}$ из системы $\overrightarrow {x} \cdot \overrightarrow {i} = 3$ , $\overrightarrow {x} \times \overrightarrow {i} = -2\overrightarrow {k}$ .

Задача 412

Если трехгранный угол пересечь сферой единичного радиуса с центром в вершине трехгранного угла, то на поверхности сферы в пересечении получится сферический треугольник. Его стороны $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ измеряют плоские углы трехгранного угла, а его углы $A$ , $B$ , $C$ измеряют двугранные углы трехгранного угла.

Расположив орты ребер: а) $\overrightarrow {e}_{1}$ по оси $Oz$ , б) $\overrightarrow {e}_{2}$ в плоскости $xOz$ под углом $\alpha$ к оси $Oz$ , в) $\overrightarrow {e}_{3}$ в некоторой меридиональной плоскости и сосчитав двояко $\overrightarrow {e}_{2} \cdot \overrightarrow {e}_{3}$ , получить теорему косинусов сферической тригонометрии

\cos \gamma = \cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \cos C.

Задача 413

При таком же расположении ортов вычислить $(\overrightarrow {e}_{1} \times \overrightarrow {e}_{2}) \cdot \overrightarrow {e}_{3}$ . Циклически переставляя орты, получить теорему синусов сферической тригонометрии $\dfrac {\sin \alpha }{\sin A} = \dfrac {\sin \beta }{\sin B} = \dfrac {\sin \gamma }{\sin C}$ .

Задача 414

Три орта составляют между собой углы $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ . Проверить, что объем параллелепипеда, построенного на них (синус Штаудта), равен

\sqrt{1-\cos ^{2}\alpha -\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\gamma +2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma }.

Задача 415

Найти объем параллелепипеда, ребра которого имеют длины $2, 3, 4$ , а плоские углы трехгранного угла $120^{\circ }$ , $150^{\circ }$ , $60^{\circ }$ .

Задача 416

Проверить, что если $\overrightarrow {a}$ и $\overrightarrow {b}$ — любые два непараллельных вектора, то векторы $\dfrac {\overrightarrow {a}}{\left|\overrightarrow {a}\right|}$ , $\dfrac {\overrightarrow {a} \times \overrightarrow {b}}{\left|\overrightarrow {a} \times \overrightarrow {b}\right|}$ , $\dfrac {(\overrightarrow {a} \times \overrightarrow {b}) \times \overrightarrow {a}}{\left|(\overrightarrow {a} \times \overrightarrow {b}) \times \overrightarrow {a}\right|}$ являются тремя взаимно перпендикулярными ортами. Найти их расположение относительно данных векторов.

Задача 417

Даны орты $\overrightarrow {e}_{1}$ и $\overrightarrow {e}_{2}$ . Найти орт, лежащий в плоскости $\overrightarrow {e}_{1}$ и $\overrightarrow {e}_{2}$ и образующий угол $\theta$ с вектором $\overrightarrow {e}_{1}$ .

Задача 418

Найти орт, лежащий в плоскости векторов $\overrightarrow {r}_{1} = 6\overrightarrow {i}+2\overrightarrow {j}+3\overrightarrow {k}$ и $\overrightarrow {r}_{2} = 6\overrightarrow {i}-2\overrightarrow {j}+3\overrightarrow {k}$ между ними и составляющий угол $45^{\circ }$ с $\overrightarrow {r}_{1}$ .

Задача 419

Вектор $\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {r}$ повернуть на угол $\omega$ вокруг оси, имеющей направление орта $\overrightarrow {e}$ и проходящей через точку $O$ .

Задача 420

Повернуть вектор $\overrightarrow {OM} = 2\overrightarrow {i}+\overrightarrow {j}+2\overrightarrow {k}$ около биссектрисы угла $xOy$ на $60^{\circ }$ .

Задача 421

Доказать равенство:

\begin{vmatrix} \alpha -1 & \beta & \gamma \\ \alpha _{1} & \beta _{1}-1 & \gamma _{1} \\ \alpha _{2} & \beta _{2} & \gamma _{2}-1 \end{vmatrix} = 0,

где буквами $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ обозначены косинусы углов между старыми и новыми осями.

Задача 422

Косинусы углов между новыми и прежними осями даны таблицей:

	$x_{1}$	$y_{1}$	$z_{1}$
$x$	$2/3$	$-1/3$	$2/3$
$y$	$-11/15$	$-2/15$	$10/15$
$z$	$-2/15$	$-14/15$	$-1/3$

Доказать, что у точек, для которых $x : y : z = 4 : (-2) : 1$ , новые координаты равны старым.

2.2 · Плоскость[36/89%]

Задача 423

Найти плоскость, образующую на осях координат отрезки $2, -3, 4$ .

Задача 424

Найти отрезки на осях, образуемые плоскостью $x+2y-3z+6 = 0$ .

Задача 425

Найти плоскость, проходящую через точку $(2,1,-1)$ и образующую на осях $Ox$ и $Oz$ отрезки, равные соответственно $2$ и $1$ .

Задача 426

Найти уравнение плоскости, проходящей через точки $(0,0,0)$ , $(2,1,1)$ и $(3,-2,3)$ .

Задача 427

Найти уравнения граней тетраэдра с вершинами в точках $(1,1,1)$ , $(-1,1,1)$ , $(1,-1,1)$ , $(1,1,-1)$ .

Задача 428

Найти углы, образованные перпендикуляром к плоскости $x-2y+z-1 = 0$ с осями координат.

Задача 429

Найти косинусы углов, образованных плоскостью $2x-2y+z-5 = 0$ с координатными плоскостями.

Задача 430

Найти синусы углов, образованных плоскостью $6x-2y-3z-6 = 0$ с осями координат.

Задача 431

Найти двугранный угол между плоскостями $2x+y-2z-4 = 0$ и $3x+6y-2z-12 = 0$ .

Задача 432

Найти линейный угол того двугранного угла между плоскостями $x-y+z-1 = 0$ и $2x-y+z+2 = 0$ , в котором лежит начало координат.

Задача 433

Через точку $(1,-1,1)$ провести плоскость, перпендикулярную к плоскостям $x-y+z-1 = 0$ и $2x+y+z+1 = 0$ .

Задача 434

Через точку $(0,1,2)$ провести плоскость перпендикулярно к плоскости $x+2y-z = 0$ и к плоскости $xOy$ .

Задача 435

Через точки $(1,1,1)$ и $(2,2,2)$ провести плоскость, перпендикулярную к плоскости $x+y-z = 0$ .

Задача 436

Лежат ли точки $(2,1,1)$ и $(2,1,3)$ по одну сторону от плоскости $x+2y-z-2 = 0$ ?

Задача 437

Найти объем тетраэдра по уравнениям его граней: $x+y+z-1 = 0$ , $x-y-1 = 0$ , $x-z-1 = 0$ , $z-2 = 0$ .

Задача 438

Найти геометрическое место точек $(x,y,z)$ таких, что объем тетраэдра с вершинами $(x,y,z)$ , $(1,2,1)$ , $(-1,1,1)$ , $(2,1,1)$ равен $10$ .

Задача 439

Найти расстояние точки $(2,1,1)$ от плоскости $x+y-z+1 = 0$ .

Задача 440

Найти расстояние между параллельными плоскостями $x-2y+z-1 = 0$ и $2x-4y+2z-1 = 0$ .

Задача 441

Найти плоскость, равноудаленную от плоскостей $x+y-2z-1 = 0$ и $x+y-2z+3 = 0$ .

Задача 442

На оси $Oz$ найти точку, равноудаленную от плоскостей $12x+9y-20z-19 = 0$ и $16x-12y+15z-9 = 0$ .

Задача 443

Найти геометрическое место точек на плоскости $xOz$ , равноудаленных от плоскостей $2x+y-2z = 3$ и $3x+12y-4z = 26$ .

Задача 444

На линии пересечения плоскостей $x+y+z-2 = 0$ и $x+2y-z-1 = 0$ найти точку, равноудаленную от плоскостей $x+2y+z+1 = 0$ и $x+2y+z-3 = 0$ .

Задача 445

Найти плоскость, делящую пополам тот двугранный угол между плоскостями $x+2y-z-1 = 0$ и $x+2y+z+1 = 0$ , в котором лежит точка $(1,-1,1)$ .

Задача 446

Найти плоскость, в два раза более удаленную от плоскости $x+y-z+1 = 0$ , чем от плоскости $x+y-z-1 = 0$ , и не расположенную между ними.

Задача 447

Найти плоскость, расположенную между плоскостями $x-2y+z-2 = 0$ и $x-2y+z-6 = 0$ и делящую расстояние между ними в отношении $1 : 3$ .

Задача 448

Найти точку пересечения плоскостей: $x+y+z-6 = 0$ , $2x-y+z-3 = 0$ , $x+2y-z-2 = 0$ .

Задача 449

Доказать, что следующие плоскости пересекаются в одной точке:

x+y+2z-4 = 0,

x+2y-z-2 = 0,

2x-y-z = 0,

x+y+z-3 = 0.

Задача 450

Через точку пересечения плоскостей

2x+y-z-2 = 0,

x-3y+z+1 = 0,

x+y+z-3 = 0

провести плоскость, параллельную плоскости $x+y+2z = 0$ , не находя точки пересечения.

Задача 451

Проверив, что плоскости

x-2y+2z-7 = 0,

2x-y-2z+1 = 0,

2x+2y+z-2 = 0

взаимно перпендикулярны, принять их за новые плоскости координат, приписав новым осям такие направления, чтобы новые координаты прежнего начала были положительны. Составить формулы перехода.

Задача 452

Найти общий вид уравнений плоскостей, пересекающих призму, образованную плоскостями $x = 0$ , $y = 0$ , $x+y-1 = 0$ , по равностороннему треугольнику.

Задача 453

В уравнении $x+y+\lambda z = 0$ определить $\lambda$ так, чтобы через $Ox$ можно было провести только одну плоскость, составляющую угол $330^{\circ }$ с плоскостью $x+y+\lambda z = 0$ .

Задача 454

Определить $\lambda$ так, чтобы данные плоскости пересекались по прямой:

x-y+z = 0,

3x-y-z+2 = 0,

4x-y-2z+\lambda = 0.

Задача 455

Доказать, что плоскости, проходящие через середины ребер тетраэдра перпендикулярно этим ребрам, пересекаются в одной точке.

Задача 456

Доказать, что плоскости, делящие пополам двугранные углы тетраэдра, пересекаются в одной точке.

Задача 457

Через точку $(1,4,1)$ провести плоскость, касающуюся парабол $y = 0$ , $z^{2} = 8x$ и $z = 0$ , $y^{2} = 32x$ .

Задача 458

В уравнении плоскости

Ax+By+Cz+D = 0

все коэффициенты отличны от нуля. Доказать, что плоскость проходит через семь координатных углов.

2.3 · Прямая в пространстве[66/77%]

Задача 459

Найти плоскости, проектирующие прямую

\begin{cases} x-y+2z+3 = 0, \\ 2x-y-z+1 = 0 \end{cases}

на плоскости координат.

Задача 460

Найти углы прямой

\begin{cases} 3x-y+2z = 0, \\ 6x-3y+2z = 2 \end{cases}

с осями координат.

Задача 461

Найти угол между прямыми

\begin{cases} x+2y+z-1 = 0, \\ x-2y+z+1 = 0 \end{cases}

\begin{cases} x-y-z-1 = 0, \\ x-y+2z+1 = 0. \end{cases}

Задача 462

Найти угол между прямыми

\begin{cases} x+y = 0, \\ x-y = 2 \end{cases}

\begin{cases} y+z = 0, \\ y-z+2 = 0. \end{cases}

Задача 463

Плоскость $x+y+z = a$ пересекается плоскостями $x = y$ и $3x = y$ . Определить угол между этими линиями пересечения.

Задача 464

(а)(б)

Прямая

\begin{cases} x+y-z = 0, \\ y = x \tg \alpha \end{cases}

проектируется:

(а)

на плоскость $xOz$ ;

(б)

на плоскость $yOz$ .

Определить угол между этими проекциями.

Задача 465

Найти угол между прямой

\begin{cases} x+y+3z = 0, \\ x-y-z = 0 \end{cases}

и плоскостью $x-y-z+1 = 0$ .

Задача 466

Провести прямую через точки $(1,2,1)$ и $(2,1,3)$ .

Задача 467

Провести прямую через точки $(1,2,1)$ и $(1,2,3)$ .

Задача 468

Через точки $A(2,-1,3)$ и $B(0,2,-1)$ проведена прямая. Найти точку пересечения прямой $AB$ с плоскостью $3x-y+z = 0$ .

Задача 469

Точки $A(2,1,1)$ и $B(1,2,2)$ проектируются из начала координат на плоскость $x+y+z = 10$ . Найти координаты проекций $A'$ и $B'$ и расстояние $\left|A'B'\right|$ между этими точками.

Задача 470

Через точку $(2,1,3)$ провести прямую, параллельную плоскости $x+y+z = a$ и пересекающую прямую

\begin{cases} x = y, \\ y = 2z. \end{cases}

Задача 471

Через точку $(1,2,1)$ провести прямую, перпендикулярную плоскости $x+2y-z = 0$ .

Задача 472

Через точку $(2,1,1)$ провести прямую, параллельную плоскостям $2x-y+1 = 0$ , $y-1 = 0$ .

Задача 473

Через точку $(-1,2,1)$ провести прямую, параллельную прямой

\begin{cases} x+y-2z-1 = 0, \\ x+2y-z+1 = 0. \end{cases}

Задача 474

Через точку $(2,1,1)$ провести прямую, параллельную плоскостям $x-y+z+2 = 0$ , $x+y+2z-1 = 0$ .

Задача 475

Через точку $(2,2,1)$ провести плоскость, перпендикулярную прямой $x+2y-z+1 = 0$ , $2x+y-z = 0$ .

Задача 476

Через точку $(1,1,2)$ провести плоскость, параллельную прямым

\dfrac {x+1}{2} = \dfrac {y-1}{1} = \dfrac {z+1}{2} \qquad \text{и} \qquad \dfrac {x+1}{1} = \dfrac {y-1}{2} = \dfrac {z+1}{1}.

Задача 477

Через точку $(1,2,1)$ провести плоскость, параллельную прямым

\begin{cases} x+2y-z+1 = 0, \\ x-y+z-1 = 0 \end{cases} \qquad \text{и} \qquad \begin{cases} 2x-y+z = 0, \\ x-y+z = 0. \end{cases}

Задача 478

Через прямую

\begin{cases} 2x-y+z-1 = 0, \\ x+y-z = 0 \end{cases}

и точку $(2,1,1)$ провести плоскость.

Задача 479

Через прямую

\begin{cases} x-1 = 0, \\ x+2y-z-1 = 0 \end{cases}

провести плоскость перпендикулярно к плоскости $x+y+z = 0$ .

Задача 480

Найти проекцию прямой

\begin{cases} x-y-z = 0, \\ x-5y+z = 10 \end{cases}

на плоскость $x+2y+3z = 2$ и определить угол, составляемый этой проекцией с плоскостью $xOy$ .

Задача 481

Через ось $Oz$ провести плоскость, составляющую угол $60^{\circ }$ с плоскостью $2x+y-\sqrt{5}z = 7$ .

Задача 482

Через прямую $x = y = z$ провести плоскость, составляющую угол $45^{\circ }$ с плоскостью $x = y$ .

Задача 483

Прямая $\dfrac {x-1}{2} = \dfrac {y-2}{3} = \dfrac {z}{1}$ проектируется из точки $(5,5,5)$ на плоскость $xOy$ . Найти уравнения проекции.

Задача 484

Через точку $(1,2,-1)$ провести прямую, пересекающую обе прямые

\dfrac {x-1}{2} = \dfrac {y+1}{6} = \dfrac {z+3}{3} \qquad \text{и} \qquad \dfrac {x-2}{3} = \dfrac {y}{1} = \dfrac {z+3}{-1}.

Задача 485

Через прямую

\begin{cases} x+y+z = 0, \\ 2x-y+3z = 0 \end{cases}

провести плоскость, параллельную прямой $x = 2y = 3z$ .

Задача 486

Найти уравнение плоскости, перпендикулярной к плоскости $z = 0$ и проходящей через перпендикуляр, опущенный из точки $(1,-1,1)$ на прямую

\begin{cases} x = 0, \\ y-z+1 = 0. \end{cases}

Задача 487

Найти уравнение и длину высоты треугольника, высекаемого на плоскости $3x-y+4z-12 = 0$ координатными плоскостями; высота опущена из вершины, лежащей на $Oz$ .

Задача 488

Найти точку пересечения прямой

\dfrac {x-1}{2} = \dfrac {y+1}{1} = \dfrac {z+3}{2}

с плоскостью $x+y-z+1 = 0$ .

Задача 489

Найти проекцию точки $(2,1,1)$ на плоскость $x+y+3z+5 = 0$ .

Задача 490

Найти проекцию точки $(2,3,1)$ на прямую

\begin{cases} x = t-7, \\ y = 2t-2, \\ z = 3t-2. \end{cases}

Задача 491

Найти уравнения проекции прямой

\begin{cases} 2x-y+z-1 = 0, \\ x+y-z+1 = 0 \end{cases}

на плоскость $x+2y-z = 0$ .

Задача 492

Найти отражение точки $(-1,2,0)$ в плоскости $x+2y-z+1 = 0$ .

Задача 493

Определить $\lambda$ так, чтобы прямые $\dfrac {x-1}{1} = \dfrac {y+1}{2} = \dfrac {z-1}{\lambda }$ и $\dfrac {x+1}{1} = \dfrac {y-1}{1} = \dfrac {z}{1}$ пересекались.

Задача 494

Найти прямые, перпендикулярные прямой

\begin{cases} y-z+1 = 0, \\ x+2z = 0 \end{cases}

и лежащие в плоскости $x+y+z+1 = 0$ .

Задача 495

Через точку пересечения плоскости $x+y+z = 2$ и прямой

\begin{cases} 2y = x, \\ z = -1 \end{cases}

провести прямую, лежащую в данной плоскости и перпендикулярную к данной прямой.

Задача 496

Найти уравнения и длину перпендикуляра, опущенного из точки $(0,-1,1)$ на прямую

\begin{cases} y+1 = 0, \\ x+2z-7 = 0. \end{cases}

Задача 497

Дана прямая $x = 2y = 3z$ и точка $(0,0,1)$ . Из этой точки опущен перпендикуляр на данную прямую, и сама данная прямая и перпендикуляр, опущенный на нее, спроектированы на плоскость $xOz$ . Найти угол между проекциями.

Задача 498

Найти точку, симметричную точке $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ относительно прямой $\dfrac {x}{l} = \dfrac {y}{m} = \dfrac {z}{n}$ .

Задача 499

Найти плоскость, проходящую через начало координат и через перпендикуляр, опущенный из точки $(1,-1,0)$ на прямую

\begin{cases} x = z+3, \\ y = -2z-3. \end{cases}

Задача 500

Найти уравнения общего перпендикуляра к прямым

\begin{cases} x+4z+1 = 0, \\ x-4y+9 = 0 \end{cases} \qquad \text{и} \qquad \begin{cases} y = 0, \\ x+2z+4 = 0. \end{cases}

Задача 501

Прямые

x = y = z \qquad \text{и} \qquad \dfrac {x-1}{1} = \dfrac {y-1}{-1} = \dfrac {z}{2}

и общий перпендикуляр к ним спроектированы на плоскость $xOy$ . Определить углы между проекциями.

Задача 502

Найти плоскость, в которой лежат прямые

\dfrac {x-1}{1} = \dfrac {y+1}{-1} = \dfrac {z-1}{2} \qquad \text{и} \qquad \dfrac {x-1}{-1} = \dfrac {y+1}{2} = \dfrac {z-1}{1}.

Задача 503

Найти плоскость, в которой лежат прямые

\begin{cases} 2x+3y-z-1 = 0, \\ x+y-3z = 0 \end{cases} \qquad \text{и} \qquad \begin{cases} x+5y+4z-3 = 0, \\ x+2y+2z-1 = 0. \end{cases}

Задача 504

Найти плоскость, в которой лежат прямые

\begin{cases} x = 2t-1, \\ y = 3t+2, \\ z = 2t-3 \end{cases} \qquad \text{и} \qquad \begin{cases} x = 2t+3, \\ y = 3t-1, \\ z = 2t+1. \end{cases}

Задача 505

Доказать, что расстояние от точки $M(x,y,z)$ до прямой, проходящей через точку $A(a,b,c)$ , можно выразить формулой $d = \dfrac {\left|\overrightarrow {r} \times \overrightarrow {P}\right|}{\left|\overrightarrow {P}\right|}$ , где $\overrightarrow {r} = \overrightarrow {AM}$ , а $\overrightarrow {P}$ — любой вектор, направленный по прямой.

Задача 506

Пользуясь предыдущим результатом, доказать, что расстояние $d$ от точки $M(x_{1},y_{1},z_{1})$ до прямой

\dfrac {x-a}{l} = \dfrac {y-b}{m} = \dfrac {z-c}{n}

можно выразить формулой

d^{2} = \dfrac {1}{l^{2}+m^{2}+n^{2}}\Bigl(\bigl(m(x_{1}-a)-l(y_{1}-b)\bigr)^{2}+\bigl(n(x_{1}-a)-l(z_{1}-c)\bigr)^{2}+\bigl(n(y_{1}-b)-m(z_{1}-c)\bigr)^{2}\Bigr).

Задача 507

Найти расстояние от точки $(3,-1,2)$ до прямой

\begin{cases} 2x-y+z-4 = 0, \\ x+y-z+1 = 0. \end{cases}

Задача 508

Доказать, что расстояние между двумя непараллельными прямыми можно выразить формулой

d = \dfrac {(\overrightarrow {r}_{1} \times \overrightarrow {r}_{2}) \cdot \overrightarrow {r}_{3}}{\left|\overrightarrow {r}_{1} \times \overrightarrow {r}_{2}\right|},

где $\overrightarrow {r}_{1}$ и $\overrightarrow {r}_{2}$ — какие-нибудь векторы, расположенные на данных прямых, а $\overrightarrow {r}_{3}$ — вектор, идущий из точки на одной прямой в точку на другой прямой.

Задача 509

Доказать, что длину $d$ общего перпендикуляра к прямым

\dfrac {x-a}{l} = \dfrac {y-b}{m} = \dfrac {z-c}{n} \qquad \text{и} \qquad \dfrac {x-a_{1}}{l_{1}} = \dfrac {y-b_{1}}{m_{1}} = \dfrac {z-c_{1}}{n_{1}}

можно представить формулой

d = \dfrac {\begin{vmatrix} a_{1}-a & b_{1}-b & c_{1}-c \\ l & m & n \\ l_{1} & m_{1} & n_{1} \end{vmatrix}}{\sqrt{(lm_{1}-l_{1}m)^{2}+(mn_{1}-m_{1}n)^{2}+(ln_{1}-l_{1}n)^{2}}}.

Задача 510

Найти расстояние между прямыми

\begin{cases} x+y-z-1 = 0, \\ 2x+y-z-2 = 0 \end{cases} \qquad \text{и} \qquad \begin{cases} x+2y-z-2 = 0, \\ x+2y+2z+4 = 0. \end{cases}

Задача 511

Найти расстояние между прямыми $x = y = z$ и

\begin{cases} x-1 = 0, \\ y-2 = 0. \end{cases}

Задача 512

Доказать, что расстояние $h$ между параллельными прямыми можно выразить формулой

h = \dfrac {\left|\overrightarrow {r} \times \overrightarrow {P}\right|}{\left|\overrightarrow {P}\right|},

где $\overrightarrow {r}$ — вектор, идущий из точки на одной прямой в точку на другой прямой, а $\overrightarrow {P}$ — вектор, параллельный данным прямым.

Задача 513

Доказать, что расстояние между прямыми

\dfrac {x-a}{l} = \dfrac {y-b}{m} = \dfrac {z-c}{n} \qquad \text{и} \qquad \dfrac {x-a_{1}}{l} = \dfrac {y-b_{1}}{m} = \dfrac {z-c_{1}}{n}

можно выразить формулой

h^{2} = \dfrac {1}{l^{2}+m^{2}+n^{2}}\Bigl(\bigl(m(a_{1}-a)-l(b_{1}-b)\bigr)^{2}+\bigl(n(b_{1}-b)-m(c_{1}-c)\bigr)^{2}+\bigl(l(c_{1}-c)-n(a_{1}-a)\bigr)^{2}\Bigr).

Задача 514

Найти расстояние между параллельными прямыми

\begin{cases} x = t+1, \\ y = 2t-1, \\ z = t \end{cases} \qquad \text{и} \qquad \begin{cases} x = t+2, \\ y = 2t-1, \\ z = t+1. \end{cases}

Задача 515

Если векторы $\overrightarrow {r}_{1}$ и $\overrightarrow {r}_{2}$ имеют равную длину и лежат на данных пересекающихся прямых, то векторы $\overrightarrow {r}_{1} \pm \overrightarrow {r}_{2}$ параллельны биссектрисам углов между прямыми. Исходя из этого замечания, доказать, что биссектрисы углов между прямыми

\dfrac {x-a}{l} = \dfrac {y-b}{m} = \dfrac {z-c}{n} \qquad \text{и} \qquad \dfrac {x-a}{l_{1}} = \dfrac {y-b}{m_{1}} = \dfrac {z-c}{n_{1}}

можно представить уравнениями

x = a+\left(\dfrac {l}{\Delta } \pm \dfrac {l_{1}}{\Delta _{1}}\right)t, \qquad y = b+\left(\dfrac {m}{\Delta } \pm \dfrac {m_{1}}{\Delta _{1}}\right)t,

z = c+\left(\dfrac {n}{\Delta } \pm \dfrac {n_{1}}{\Delta _{1}}\right)t,

где

\Delta = \sqrt{l^{2}+m^{2}+n^{2}}, \qquad \Delta _{1} = \sqrt{l_{1}^{2}+m_{1}^{2}+n_{1}^{2}}.

Задача 516

Найти биссектрисы углов между прямыми

\dfrac {x-3}{6} = \dfrac {y+2}{-3} = \dfrac {z-1}{2} \qquad \text{и} \qquad \dfrac {x-3}{14} = \dfrac {y+2}{-5} = \dfrac {z-1}{2}.

Задача 517

Найти биссектрисы углов между прямыми

\dfrac {x-1}{3} = \dfrac {y-2}{8} = \dfrac {z-3}{1} \qquad \text{и} \qquad \dfrac {x-1}{4} = \dfrac {y-2}{7} = \dfrac {z-3}{3}.

Задача 518

Провести биссектрисы углов между прямыми

\dfrac {x}{10} = \dfrac {y}{11} = \dfrac {z}{2} \qquad \text{и} \qquad \dfrac {x}{1} = \dfrac {y}{2} = \dfrac {z}{-2}

и найти углы, на которые проекции биссектрис на плоскость $xOz$ делят проекции углов на ту же плоскость.

Задача 519

Найти прямые, пересекающие прямые

\begin{cases} x+y-z-1 = 0, \\ x-y+z+1 = 0 \end{cases} \qquad \text{и} \qquad \begin{cases} 2x-y+z-1 = 0, \\ x+y-z+1 = 0 \end{cases}

и параллельные плоскости $x+y+z = 0$ .

Задача 520

Найти прямые, пересекающие три прямые:

\begin{cases} x = 0, \\ y = 0, \end{cases} \qquad \begin{cases} x = 1, \\ z = 0, \end{cases} \qquad \begin{cases} y-1 = 0, \\ z+1 = 0. \end{cases}

Задача 521

Доказать, что плоскости, проходящие через ребра трехгранного угла и биссектрисы противоположных граней, пересекаются по прямой.

Задача 522

Три взаимно перпендикулярные прямые неподвижно связаны с твердым телом. Сначала они были направлены по осям $Ox$ , $Oy$ , $Oz$ , а затем расположились по осям $Ox_{1}$ , $Oy_{1}$ , $Oz_{1}$ . Косинусы углов между осями даются таблицей:

	$x_{1}$	$y_{1}$	$z_{1}$
$x$	$a_{1}$	$b_{1}$	$c_{1}$
$y$	$a_{2}$	$b_{2}$	$c_{2}$
$z$	$a_{3}$	$b_{3}$	$c_{3}$

Доказать, что такое перемещение тела могло быть достигнуто вращением около прямой, и найти эту прямую.

Задача 523

Координаты $x$ , $y$ , $z$ переходят в координаты $x_{1}$ , $y_{1}$ , $z_{1}$ по формулам: $9x_{1} = 4x+7y-4z$ , $9y_{1} = x+4y+8z$ , $9z_{1} = 8x-4y+z$ . Затем по таким же формулам координаты $x_{1}$ , $y_{1}$ , $z_{1}$ переходят в координаты $x_{2}$ , $y_{2}$ , $z_{2}$ и т.д. Доказать, что $x_{4} = x$ , $y_{4} = y$ , $z_{4} = z$ .

Задача 524

Координаты $x$ , $y$ , $z$ переходят в координаты $x_{1}$ , $y_{1}$ , $z_{1}$ по формулам:

9x_{1} = (5\cos \varphi +4)x+(-4\cos \varphi +3\sin \varphi +4)y+(-2\cos \varphi +6\sin \varphi +2)z,

9y_{1} = (-4\cos \varphi -3\sin \varphi +4)x+(5\cos \varphi +4)y+(-2\cos \varphi +6\sin \varphi +2)z,

9z_{1} = (-2\cos \varphi +6\sin \varphi +2)x+(-2\cos \varphi -6\sin \varphi +2)y+(8\cos \varphi +1)z.

Затем по таким же формулам координаты $x_{1}$ , $y_{1}$ , $z_{1}$ переходят в координаты $x_{2}$ , $y_{2}$ , $z_{2}$ и т.д. Доказать, что координаты $x_{n}$ , $y_{n}$ , $z_{n}$ выражаются через $x$ , $y$ , $z$ такими же формулами, как и $x_{1}$ , $y_{1}$ , $z_{1}$ , только угол $\varphi$ заменяется на $n\varphi$ .

2.4 · Образование поверхностей[30/90%]

Задача 525

Найти геометрическое место точек, удаленных от прямой $x = y = z$ на расстояние, равное $1/\sqrt{3}$ .

Задача 526

Найти геометрическое место точек, одинаково удаленных от осей $Ox$ и $Oy$ .

Задача 527

Найти геометрическое место точек, одинаково удаленных от оси $Ox$ и от прямой $y = z = 2$ .

Задача 528

Найти уравнение геометрического места прямых, образующих с плоскостью $xOy$ угол $45^{\circ }$ и проходящих через точку $(1,0,0)$ .

Задача 529

Прямая скользит по прямым

\begin{cases} x = 0, \\ y = 0 \end{cases} \qquad \text{и} \qquad \begin{cases} x = 1, \\ z = 0, \end{cases}

оставаясь параллельной плоскости $x+y+z = 0$ . Найти поверхность, образованную движением этой прямой.

Задача 530

Найти уравнение поверхности, образованной прямой, которая скользит по прямым

\begin{cases} x = 3-z, \\ y = 2-2z \end{cases} \qquad \text{и} \qquad \begin{cases} x = -z, \\ y = 3z-3, \end{cases}

оставаясь параллельной плоскости $2x-3y+z+12 = 0$ .

Задача 531

Прямая скользит по трем прямым:

\begin{cases} x = 0, \\ z = 0, \end{cases} \qquad \begin{cases} y = 0, \\ z = 1, \end{cases} \qquad \begin{cases} x = 1, \\ y = 1. \end{cases}

Найти уравнение образующейся поверхности.

Задача 532

Найти поверхность, получающуюся при скольжении прямой по трем данным прямым:

\begin{cases} x = -2z-2, \\ y = -z, \end{cases} \qquad \begin{cases} x = -z+1, \\ y = 2, \end{cases} \qquad x = y = z.

Задача 533

Найти геометрическое место прямых, проходящих через ось $Ox$ и параллельных прямой

\begin{cases} x = 1, \\ y = z. \end{cases}

Задача 534

Составить уравнение цилиндрической поверхности, образующие которой параллельны прямой $2x = -2y = z$ , а направляющая задана уравнениями

\begin{cases} x+y-z = 0, \\ 4y^{2}-2z^{2}+x-8y-8z-2 = 0. \end{cases}

Задача 535

Найти геометрическое место перпендикуляров, опущенных из точки $(0,0,1)$ на образующие конической поверхности

x^{2}+y^{2} = z^{2}.

Задача 536

Найти уравнение цилиндрической поверхности, образующие которой параллельны прямой $x = y = z$ , а направляющая — окружность

\begin{cases} x^{2}+y^{2} = 1, \\ z = 0. \end{cases}

Задача 537

Прямая, параллельная плоскости $xOy$ , скользит по оси $Oz$ и по кривой

\begin{cases} x = r\cos \alpha z, \\ y = r\sin \alpha z. \end{cases}

Найти уравнение получающейся поверхности.

Задача 538

Прямая, параллельная плоскости $x+y+z = 0$ , скользит по оси $Oz$ и по окружности $x = b$ , $y^{2}+z^{2} = a^{2}$ . Найти получающуюся поверхность.

Задача 539

Найти поверхность, образуемую движением прямой, пересекающей окружность

\begin{cases} z = 0, \\ x^{2}+y^{2} = 1 \end{cases}

и прямые

x-1 = y = z, \qquad \begin{cases} y = 0, \\ x+1 = 0. \end{cases}

Задача 540

Составить уравнение конической поверхности, вершина которой в начале координат, а направляющая задана уравнениями

\begin{cases} z = 1, \\ x^{2}+y^{2} = x. \end{cases}

Задача 541

Доказать, что уравнение конической поверхности вращения, у которой оси $Ox$ , $Oy$ , $Oz$ — образующие, имеет вид $xy+xz+yz = 0$ .

Задача 542

Найти коническую поверхность, вершина которой в точке $(1,1,1)$ , а направляющая задана уравнениями

\begin{cases} y^{2}+x^{2} = 1, \\ x+y+z = 0. \end{cases}

Задача 543

Круглый диск параллелен плоскости $yOz$ . Его центр — в точке $(1,0,2)$ , а радиус равен единице. На оси $Oz$ расположена светящаяся точка так, что тень от диска на плоскости $xOy$ имеет вид параболы. Найти уравнение этой параболы.

Задача 544

Лампочка висит под центром круглого абажура, на $10$ см ниже его и в $50$ см от стены. Радиус абажура $15$ см. Найти очертание тени на стене.

Задача 545

Диск с центром в $(1,0,2)$ и радиусом единица освещен источником света, расположенным на оси $Oz$ так, что тень от диска на плоскости $xOy$ имеет вид равнобочной гиперболы. Найти точку, в которой расположен источник света, если диск параллелен $yOz$ .

Задача 546

Тот же вопрос, если тень имеет вид гиперболы с углом между асимптотами, тангенс которого равен $4/3$ .

Задача 547

Тот же вопрос для случая тени, имеющей вид эллипса, ось которого, расположенная на оси $Ox$ , равна $8/3$ .

Задача 548

Куб с центром в начале координат вращается около диагонали длиной $2a$ , расположенной по оси $Oz$ . Найти уравнение поверхностей, получаемых при вращении ребер куба.

Задача 549

Ось вращения круглого цилиндра проходит через точку $(a,b,c)$ и параллельна вектору $\overrightarrow {P}(l,m,n)$ . Доказать, что уравнение цилиндра имеет вид

\bigl(m(x-a)-l(y-b)\bigr)^{2}+\bigl(n(x-a)-l(z-c)\bigr)^{2}+\bigl(n(y-b)-m(z-c)\bigr)^{2} = r^{2}(l^{2}+m^{2}+n^{2}).

Задача 550

Доказать, что три линии:

\text{парабола} \qquad x^{2}+4y^{2}+4xy-6x-2y+3 = 0, \qquad z = 0,

\text{гипербола} \qquad x = 0, \qquad 4y^{2}+4z^{2}-10yz-2y+2z+3 = 0

\text{и эллипс} \qquad y = 0, \qquad x^{2}+4z^{2}-6x+2z+3 = 0

получаются при пересечении координатными плоскостями одной и той же конической поверхности с вершиной в точке $(1,1,1)$ .

Задача 551

Два шара радиуса $a$ касаются друг друга и плоскости $xOy$ . Найти геометрическое место центров шаров, касающихся данных шаров и плоскости $xOy$ , если центры данных шаров — в точках $(\pm a,0,a)$ .

Задача 552

Найти геометрическое место центров шаров, касающихся двух прямых:

\begin{cases} x = a+lt, \\ y = b+mt, \\ z = c+nt \end{cases} \qquad \text{и} \qquad \begin{cases} x = a+l_{1}t, \\ y = b_{1}+m_{1}t, \\ z = c_{1}+n_{1}t. \end{cases}

Задача 553

Найти уравнение цилиндрической поверхности вращения, имеющей образующими прямые

x = y = z, \qquad \begin{cases} y = x+1, \\ z = x+2, \end{cases} \qquad \begin{cases} y = x-2, \\ z = x+1. \end{cases}

Задача 554

Найти геометрическое место центров шаров, касающихся прямых

\begin{cases} y = 0, \\ z = a \end{cases} \qquad \text{и} \qquad \begin{cases} x = 0, \\ z = -a. \end{cases}

2.5 · Поверхности второго порядка. Центр и диаметральные плоскости[39/74%]

Задача 555

Найти общее уравнение поверхностей второго порядка, пересекаемых плоскостью $xOy$ по кривой $\alpha x^{2}+\beta xy+\gamma y^{2}+\delta x+\varepsilon y+\zeta = 0$ .

Задача 556

Найти поверхность второго порядка, на которой лежат окружности

\begin{cases} z = 0, \\ x^{2}+y^{2}-1 = 0, \end{cases} \qquad \begin{cases} z = 1, \\ x^{2}+y^{2}-3 = 0, \end{cases} \qquad \begin{cases} z = 2, \\ x^{2}+y^{2}-5 = 0. \end{cases}

Задача 557

Через начало координат провести прямые асимптотического направления для поверхности $x^{2}-2y^{2}-4xy-10xz-4yz-10 = 0$ , параллельные плоскости $3x+y-4z-3 = 0$ .

Задача 558

Показать, что уравнению $x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xz+2y+1 = 0$ удовлетворяют только точки прямой

\begin{cases} x+z = 0, \\ y+1 = 0. \end{cases}

Задача 559

Показать, что уравнению

3x^{2}+3y^{2}+3z^{2}+2xy+2xz-2yz+2x-2y-2z+3 = 0

удовлетворяют координаты лишь одной точки $(-1,1,1)$ .

Задача 560

Написать уравнение второго порядка, которому удовлетворяют только координаты точки $(2,1,1)$ .

Задача 561

Составить уравнение второго порядка, которому удовлетворяют только координаты точек прямой $2x+2 = 3y = 2z$ .

Задача 562

Найти уравнение совокупности плоскостей $x+2y-z+1 = 0$ и $x-y+z+1 = 0$ .

Задача 563

Найти прямые, по которым поверхность конуса $z^{2}-2xy-4x-2y+2z-3 = 0$ пересекается с плоскостью $x+y+2z+5 = 0$ .

Задача 564

Найти образующие поверхности $x^{2}+y^{2}-z^{2} = 1$ , проходящие через точку $(1,1,1)$ .

Задача 565

Найти образующую поверхности $x^{2}-y^{2} = 2z$ , параллельную плоскости $x+y+z = 0$ .

Задача 566

Найти прямые, параллельные образующим двух поверхностей:

\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}} = 1 \qquad \text{и} \qquad \frac{y^{2}}{p}-\frac{z^{2}}{q} = 2x.

Задача 567

Через точки $(0,-2,2)$ и $(-1,0,0)$ провести плоскости, пересекающие конус $x^{2}+y^{2} = z^{2}$ по параболам.

Задача 568

Через те же точки провести плоскости, пересекающие тот же конус по эллипсам.

Задача 569

Преобразовать уравнение $x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy-2yz+6xz+2x-6y-2z = 0$ , перенеся начало координат в центр.

Задача 570

То же для поверхности

2x^{2}+6y^{2}+2z^{2}+8xz-4x-8y+3 = 0.

Задача 571

То же для поверхности $4xy+4xz-4y-4z-1 = 0$ .

Задача 572

Найти геометрическое место центров поверхностей $x^{2}+y^{2}-z^{2}+\lambda xz+\mu yz-2x-2y-2z = 0$ .

Задача 573

Из центра поверхности $x^{2}+4y^{2}-40z^{2}+4x-8y-16z-12 = 0$ провести прямые асимптотического направления.

Задача 574

Найти уравнение гиперболоида, проходящего через точку $(2,1,1)$ , зная асимптотический конус этого гиперболоида $x^{2}+y^{2}-z^{2} = 0$ .

Задача 575

Доказать, что геометрическое место центров поверхностей второго порядка, проходящих через данный эллипс и через две точки, симметричные относительно плоскости этого эллипса, есть поверхность второго порядка.

Задача 576

Обозначая через $s_{\lambda \mu \nu }$ левую часть уравнения плоскости, проходящей через точки $\lambda$ и $\mu$ , доказать, что уравнение

s_{123}s_{456}+As_{234}s_{561}+Bs_{345}s_{612}+Cs_{124}s_{356} = 0

при любом выборе коэффициентов $A$ , $B$ и $C$ изображает поверхность второго порядка, проходящую через шесть данных точек, обозначенных номерами $1,2,3,4,5$ и $6$ .

Задача 577

Общее уравнение поверхности второго порядка можно записать в виде $Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+K = 0$ . Введением переменной $t$ левую часть можно превратить в квадратичную форму четырех переменных

\Phi (x,y,z,t) = Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Dxy+Exz+Fyz+Gxt+Hyt+Izt+Kt^{2},

так что при $t = 1$ уравнение поверхности записывается как $\Phi (x,y,z,1) = 0$ . При $t = 0$ форма $\Phi$ обращается в тройничную квадратичную форму $f(x,y,z) = Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Dxy+Exz+Fyz$ . Имеет место тождество (формула Тейлора для квадратичной формы):

\Phi (x+\xi ,y+\eta ,z+\zeta ,t+\tau ) = \Phi (x,y,z,t)+\frac{\partial \Phi }{\partial x}\xi +\frac{\partial \Phi }{\partial y}\eta +\frac{\partial \Phi }{\partial z}\zeta +\frac{\partial \Phi }{\partial t}\tau +\Phi (\xi ,\eta ,\zeta ,\tau ). \tag {*}

Пользуясь формулой Тейлора (*), доказать, что при переносе начала координат в точку $(\xi ,\eta ,\zeta )$ уравнение поверхности $\Phi (x,y,z,1) = 0$ переходит в такое:

f(x,y,z)+\frac{\partial \Phi }{\partial \xi }x+\frac{\partial \Phi }{\partial \eta }y+\frac{\partial \Phi }{\partial \zeta }z+\Phi (\xi ,\eta ,\zeta ,1) = 0.

Задача 578

Если определитель $\Delta_{3} = \begin{vmatrix} A & D & E \\ D & B & F \\ E & F & C \end{vmatrix}$ отличен от нуля, то можно найти такие $\xi$ , $\eta$ и $\zeta$ , при которых $\dfrac {\partial \Phi }{\partial \xi } = 0$ , $\dfrac {\partial \Phi }{\partial \eta } = 0$ , $\dfrac {\partial \Phi }{\partial \zeta } = 0$ . Доказать, что при переносе начала координат в точку $(\xi ,\eta ,\zeta )$ уравнение поверхности $\Phi (x,y,z,1) = 0$ переходит в такое:

f(x,y,z)+\frac{1}{2}\left.\frac{\partial \Phi }{\partial t}\right|_{t=1} = 0.

Здесь $\left.\dfrac {\partial \Phi }{\partial t}\right|_{t=1}$ — частная производная, взятая при $t = 1$ . Указанный перенос есть преобразование к центру.

Задача 579

Если $(x,y,z)$ — середина хорды поверхности $\Phi (x,y,z,1) = 0$ (обозначения $\Phi$ и $f$ те же, что в задаче 577), а $(x+l\sigma ,y+m\sigma ,z+n\sigma )$ и $(x-l\sigma ,y-m\sigma ,z-n\sigma )$ — ее концы, то справедливо равенство

l\frac{\partial \Phi }{\partial x}+m\frac{\partial \Phi }{\partial y}+n\frac{\partial \Phi }{\partial z} = 0.

Доказать.

Задача 580

Доказать, что середины хорд поверхности $\Phi (x,y,z,1) = 0$ (обозначение то же, что в задаче 577), параллельных вектору $\overrightarrow {P}(l,m,n)$ , лежат на плоскости

l\frac{\partial \Phi }{\partial x}+m\frac{\partial \Phi }{\partial y}+n\frac{\partial \Phi }{\partial z} = 0.

(Диаметральная плоскость, сопряженная с направлением вектора $\overrightarrow {P}$ .)

Задача 581

Доказать, что для поверхности $f(x,y,z) \mp k = 0$ (обозначение $f$ то же, что в задаче 577) уравнение диаметральной плоскости, сопряженной с направлением вектора $\overrightarrow {P}(l,m,n)$ , можно написать в каждом из двух видов:

l\frac{\partial f}{\partial x}+m\frac{\partial f}{\partial y}+n\frac{\partial f}{\partial z} = 0

\frac{\partial f(l,m,n)}{\partial l}x+\frac{\partial f(l,m,n)}{\partial m}y+\frac{\partial f(l,m,n)}{\partial n}z = 0.

Задача 582

Доказать, что для поверхности $\Phi (x,y,z,1) = 0$ (обозначения те же, что в задаче 577) уравнение диаметральной плоскости, сопряженной с направлением вектора $\overrightarrow {P}(l,m,n)$ , можно написать в таком виде:

\frac{\partial f}{\partial l}x+\frac{\partial f}{\partial m}y+\frac{\partial f}{\partial n}z+\left.\frac{\partial \Phi }{\partial t}\right|_{t=0} = 0.

Здесь $\dfrac {\partial f}{\partial l}$ , $\dfrac {\partial f}{\partial m}$ и $\dfrac {\partial f}{\partial n}$ — частные производные от $f(l,m,n)$ , а $\left.\dfrac {\partial \Phi }{\partial t}\right|_{t=0}$ — значение величины $\dfrac {\partial \Phi (l,m,n,t)}{\partial t}$ при $t = 0$ .

Задача 583

Найти диаметральную плоскость поверхности $x^{2}+2y^{2}-z^{2}-2xy-2yz+2xz-4x-1 = 0$ , сопряженную с направлением вектора $\overrightarrow {P}(1,-1,0)$ .

Задача 584

Найти диаметральную плоскость поверхности $x^{2}+2y^{2}-z^{2}-2xy-2yz+2xz-4x-1 = 0$ , параллельную плоскости $x+y+z = 0$ .

Задача 585

У той же поверхности найти диаметральную плоскость, проходящую через точки $(0,0,0)$ и $(1,1,0)$ .

Задача 586

Найти диаметральную плоскость поверхности $x^{2}+z^{2}-2x-1 = 0$ , проходящую через точку $(2,1,0)$ , а также направление, с ней сопряженное.

Задача 587

Найти диаметральную плоскость поверхности $4x^{2}+y^{2}+z^{2}+4xy-4xz-2yz+x-y-1 = 0$ , проходящую через начало координат.

Задача 588

Найти уравнения диаметра поверхности $4x^{2}+6y^{2}+4z^{2}+4xz+8y-4z+3 = 0$ , перпендикулярного к плоскости $xOz$ .

Задача 589

Плоскость $x = 0$ есть диаметральная плоскость поверхности $xy = z$ . Найти хорды, с которыми она сопряжена.

Задача 590

Найти диаметральную плоскость, общую поверхностям $x^{2}+y+z = 0$ и $x^{2}+y^{2}-2x-2y-2z = 0$ .

Задача 591

Найти уравнение диаметра поверхности $x^{2}+2y^{2}-z^{2}-2xy-2yz+2xz-4x-1 = 0$ , соответствующего плоскости $x+y+z-6 = 0$ .

Задача 592

Найти геометрическое место центров сечений поверхности $x^{2}+2y^{2}+2z^{2}-2xy-2yz+2x-2z-1 = 0$ плоскостями, параллельными плоскости $x-y+z = 0$ .

Задача 593

Зная диаметр

\begin{cases} y = z, \\ x-1 = 0 \end{cases}

поверхности $x^{2}+y^{2}+z^{2}-2yz-2x-y+1 = 0$ , найти уравнения плоскостей, ему соответствующих.

2.6 · Касательные плоскости и прямые к поверхностям второго порядка[42/43%]

Задача 594

Доказать, что плоскость, касательная к эллипсоиду $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}+\dfrac {z^{2}}{c^{2}} = 1$ в точке $(x_{1},y_{1},z_{1})$ , может быть представлена уравнением

\frac{xx_{1}}{a^{2}}+\frac{yy_{1}}{b^{2}}+\frac{zz_{1}}{c^{2}} = 1.

Задача 595

Доказать, что плоскость, касающаяся гиперболоида $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}-\dfrac {z^{2}}{c^{2}} = \sigma$ в точке $(x_{1},y_{1},z_{1})$ , имеет уравнение

\frac{xx_{1}}{a^{2}}+\frac{yy_{1}}{b^{2}}-\frac{zz_{1}}{c^{2}} = \sigma .

Задача 596

Доказать, что плоскость, касающаяся в точке $(x_{1},y_{1},z_{1})$ параболоида $\dfrac {x^{2}}{a^{2}} \pm \dfrac {y^{2}}{b^{2}} = 2z$ , имеет уравнение

\frac{xx_{1}}{a^{2}} \pm \frac{yy_{1}}{b^{2}} = z+z_{1}.

Задача 597

Найти уравнение плоскости, касательной к эллипсоиду

\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} = 1

и отсекающей на осях отрезки, отношение которых $a:b:c$ .

Задача 598

Такой же вопрос для гиперболоида $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}-\dfrac {z^{2}}{c^{2}} = 1$ .

Задача 599

На эллипсоиде $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}+\dfrac {z^{2}}{c^{2}} = 1$ найти такую точку, чтобы касательная плоскость в ней отсекала на осях координат отрезки равной длины.

Задача 600

На касательной плоскости к эллипсоиду предыдущей задачи плоскостями координат образован треугольник с центром тяжести в точке касания. Найти координаты точки касания.

Задача 601

Доказать, что при $a^{2}+b^{2}+c^{2} = l^{2}$ эллипсоид

\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} = 1

Задача 602

Доказать, что все нормали к поверхности $xy+xz+yz = 0$ образуют одинаковый угол с прямой $x = y = z$ .

Задача 603

Доказать то же для поверхности $x^{2}+y^{2}+z^{2} = xy+xz+yz+1$ .

Задача 604

На поверхности $xy+xz+yz = 3$ найти точку, ближайшую к плоскости $x+y+z = 0$ .

Задача 605

На поверхности $x^{2}+y^{2}+z^{2}+xy+xz+yz = 6$ найти наиболее высокую и наиболее низкую точки.

Задача 606

На гиперболическом параболоиде $xy = z$ найти точки, нормаль в которых составляет с $Oz$ угол $45^{\circ }$ .

Задача 607

На параболоиде $x^{2}-y^{2} = az$ проводится линия, во всех точках которой нормаль к поверхности составляет с $Oz$ постоянный угол. Доказать, что проекция этой линии на $xOy$ есть окружность с центром в начале координат.

Задача 608

Доказать, что плоскость, касающаяся поверхности $x^{2}+y^{2}+z^{2} = xy+xz+yz$ в точке $M(x_{1},y_{1},z_{1})$ , содержит прямую, проведенную из начала координат в точку $M$ .

Задача 609

Плоскость, касательная к гиперболоиду $x^{2}+y^{2}-z^{2} = 1$ в точке $(1,0,0)$ , пересекается с ним по двум прямым. Определить угол между ними.

Задача 610

Тот же вопрос для параболоида $x^{2}-y^{2} = z$ и точки $(0,0,0)$ .

Задача 611

Через прямую

\begin{cases} z = c\sqrt{3}, \\ \dfrac {x}{a} = \dfrac {y}{b} \end{cases}

провести плоскость, касательную к эллипсоиду $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}+\dfrac {z^{2}}{c^{2}} = 1$ .

Задача 612

Конусы касаются эллипсоида предыдущей задачи по плоским линиям, плоскости которых параллельны плоскости $x+y+z = 0$ . Доказать, что геометрическое место вершин конусов есть прямая

\begin{cases} x = a^{2}t, \\ y = b^{2}t, \\ z = c^{2}t. \end{cases}

Задача 613

Доказать, что условием касания плоскости $z = \alpha x+\beta y+\gamma$ и поверхности $Ax^{2}+By^{2}-2Cz = 0$ является равенство

\frac{\alpha ^{2}}{A}+\frac{\beta ^{2}}{B}+\frac{2\gamma }{C} = 0.

Задача 614

Доказать, что плоскость, параллельная плоскости $z = \alpha x+\beta y$ и касающаяся эллипсоида $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}+\dfrac {z^{2}}{c^{2}} = 1$ , имеет уравнение

z = \alpha x+\beta y \pm \sqrt{a^{2}\alpha ^{2}+b^{2}\beta ^{2}+c^{2}}.

Задача 615

Доказать, что условие касания прямой

\begin{cases} x = a+lt, \\ y = b+mt, \\ z = c+nt \end{cases}

и поверхности $Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+D = 0$ выражается равенством

(Aal+Bbm+Ccn)^{2} = (Al^{2}+Bm^{2}+Cn^{2})(Aa^{2}+Bb^{2}+Cc^{2}+D).

Если при этом выполняются равенства

Aal+Bbm+Ccn = 0, \qquad Al^{2}+Bm^{2}+Cn^{2} = 0, \qquad Aa^{2}+Bb^{2}+Cc^{2}+D = 0,

то прямая лежит на поверхности.

Задача 616

Прямая, параллельная вектору $\overrightarrow {P}(l,m,n)$ , касается в точке $(x_{1},y_{1},z_{1})$ поверхности $Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+D = 0$ . Доказать, что $Alx_{1}+Bmy_{1}+Cnz_{1} = 0$ .

Задача 617

Плоскость, перпендикулярная к вектору $\overrightarrow {P}(l,m,n)$ , касается поверхности $Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+D = 0$ . Показать, что ее уравнение имеет вид

lx+my+nz = \pm \sqrt{-D\left(\frac{l^{2}}{A}+\frac{m^{2}}{B}+\frac{n^{2}}{C}\right)}.

Задача 618

Плоскость, перпендикулярная к вектору $\overrightarrow {P}(l,m,n)$ , касается поверхности $Ax^{2}+By^{2}+z = 0$ . Показать, что ее уравнение имеет вид

lx+my+nz = \frac{l^{2}}{4An}+\frac{m^{2}}{4Bn}.

Задача 619

Доказать, что геометрическое место вершин прямоугольных трехгранных углов, касающихся гранями поверхности $Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+D = 0$ , есть поверхность шара

x^{2}+y^{2}+z^{2} = -D\left(\frac{1}{A}+\frac{1}{B}+\frac{1}{C}\right),

предполагая, что правая часть положительна.

Задача 620

Доказать, что геометрическое место вершин прямоугольных трехгранных углов, касающихся гранями поверхности $Ax^{2}+By^{2}+z = 0$ , есть плоскость $z = \dfrac {1}{4A}+\dfrac {1}{4B}$ .

Задача 621

Эллипсоид с полуосями $a$ , $b$ и $c$ скользит, касаясь трех координатных плоскостей. Доказать, что расстояние его центра от начала координат равно $\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$ .

Задача 622

Доказать, что геометрическое место вершин прямоугольных трехгранных углов, касающихся ребрами поверхности $Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+D = 0$ , есть поверхность

A^{2}x^{2}+B^{2}y^{2}+C^{2}z^{2} = (A+B+C)(Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+D).

Задача 623

Прямоугольный трехгранный угол скользит, касаясь ребрами поверхности $Ax^{2}+By^{2}+2z = 0$ . Доказать, что его вершина движется по поверхности

x^{2}+y^{2}+\left(\frac{1}{A}+\frac{1}{B}\right)z = \frac{1}{AB}.

Задача 624

Найти минимальные размеры ящика со стенками, параллельными плоскостям координат, в который может быть вложен эллипсоид $(x+y+z)^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2} = a^{2}$ .

Задача 625

Шар $x^{2}+y^{2}+z^{2} = 2z$ освещен пучком лучей, параллельных прямой $x = y = z$ . Найти форму тени на плоскости $xOy$ .

Задача 626

Найти тень от эллипсоида $(x+y+z)^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2} = a^{2}$ на плоскости $x+y+z = 0$ , если лучи перпендикулярны к этой плоскости.

Задача 627

Параболоид $xy = z$ проектируется на плоскость $xOy$ лучами, параллельными прямой $x = y = z$ . Найти форму тени.

Задача 628

Точки касания плоскостей с поверхностью второго порядка расположены на линии пересечения ее с плоскостью, проходящей через центр. Доказать, что касательные плоскости параллельны одной и той же прямой.

Задача 629

Около эллипсоида $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}+\dfrac {z^{2}}{c^{2}} = 1$ , где $a \geqslant b \geqslant c$ , $a > c$ , можно описать цилиндр с круговым поперечным сечением. Найти уравнение цилиндра.

Задача 630

Доказать, что при движении точек по некоторой плоскости полярная плоскость точки относительно данной поверхности второго порядка вращается около соответствующей точки.

Задача 631

Доказать, что при движении точки по прямой ее полярная плоскость вращается вокруг соответствующей прямой.

Задача 632

Найти геометрическое место точек касания касательных прямых, проведенных из данной точки к данной поверхности второго порядка.

Задача 633

Найти геометрическое место точек касания касательных к данной поверхности второго порядка, параллельных вектору $\overrightarrow {P}(l,m,n)$ .

Задача 634

Круг радиуса $a$ скользит, касаясь трех координатных плоскостей. Найти поверхность, по которой движется его центр.

Задача 635

Прямоугольный трехгранный угол касается гранями данной окружности радиуса $a$ . Доказать, что его вершина описывает поверхность шара радиуса $a\sqrt{2}$ .

2.7 · Упрощение уравнений поверхностей второго порядка[41/78%]

Задача 636

Найти плоскость симметрии поверхности

x^{2}+y^{2}+z^{2}-2xy+2xz-2yz-x+4y-z+2 = 0.

Задача 637

Найти плоскости симметрии поверхности

x^{2}+y^{2}+z^{2}+4x-2y+9z-1 = 0.

Задача 638

Найти плоскости симметрии поверхности $xy+xz+yz = 1$ .

Задача 639

В уравнении поверхности второго порядка

Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+2Dxy+2Exz+2Fyz+2Gx+2Hy+2Iz+K = 0

величины определителей

\Delta _{3} = \begin{vmatrix} A & D & E \\ D & B & F \\ E & F & C \end{vmatrix} \qquad \text{и} \qquad \Delta _{4} = \begin{vmatrix} A & D & E & G \\ D & B & F & H \\ E & F & C & I \\ G & H & I & K \end{vmatrix},

которые можно назвать дискриминантами квадратичных форм $f = Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+2Dxy+2Exz+2Fyz$ и

\Phi = Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+2Dxy+2Exz+2Fyz+2Gxt+2Hyt+2Izt+Kt^{2},

являются инвариантами, как и величины $p = A+B+C$ , $q = AB+AC+BC-D^{2}-E^{2}-F^{2}$ .

Пользуясь этим, доказать, что уравнения поверхности с центром, при $\Delta_{3} \neq 0$ , можно привести к виду

\lambda _{1}x_{1}^{2}+\lambda _{2}y_{1}^{2}+\lambda _{3}z_{1}^{2}+\frac{\Delta _{4}}{\Delta _{3}} = 0,

где $\lambda_{1}$ , $\lambda_{2}$ , $\lambda_{3}$ — корни характеристического уравнения формы $f$ .

Задача 640

Доказать, что при $\lambda_{3} = 0$ , $q \neq 0$ уравнение поверхности (обозначения $\lambda_{3}$ , $q$ , $\Delta_{4}$ те же, что в задаче 639) можно привести к виду

\lambda _{1}x_{1}^{2}+\lambda _{2}y_{1}^{2} = 2\sqrt{-\frac{\Delta _{4}}{q}} \cdot z.

Задача 641

Доказать, что при $\Delta_{4} = 0$ (обозначение то же, что в задаче 639) поверхность либо цилиндрическая, либо уравнение изображает точку, прямую или одну, либо пару плоскостей.

Задача 642

Упростить уравнение поверхности $x^{2}+y^{2}+z^{2}-6x+8y+10z+1 = 0$ и дать формулы преобразования координат, которыми это упрощение достигается.

Задача 643

Упростить уравнение поверхности $5x^{2}+6y^{2}+7z^{2}-4xy+4yz-10x+8y+14z-6 = 0$ и дать формулы преобразования координат, которыми это упрощение достигается.

Задача 644

Упростить уравнение поверхности

2x^{2}+5y^{2}+11z^{2}-20xy+4xz+16yz-24x-6y-6z-18 = 0

и дать формулы преобразования координат, которыми это упрощение достигается.

Задача 645

Упростить уравнение поверхности

x^{2}+2y^{2}-3z^{2}+12xy-8xz-4yz+14x+16y-12z+33 = 0

и дать формулы преобразования координат, которыми это упрощение достигается.

Задача 646

Упростить уравнение поверхности $3x^{2}-2y^{2}-z^{2}+4xy+8xz-12yz+18x-12y-6z = 0$ и дать формулы преобразования координат, которыми это упрощение достигается.

Задача 647

Упростить уравнение поверхности $4x^{2}+2y^{2}+3z^{2}+4xz-4yz-10x+4y+6 = 0$ и дать формулы преобразования координат, которыми это упрощение достигается.

Задача 648

Упростить уравнение поверхности $y^{2}-z^{2}+4xy-4xz-2x+6y+2z+8 = 0$ и дать формулы преобразования координат, которыми это упрощение достигается.

Задача 649

Упростить уравнение поверхности $4x^{2}+2y^{2}+3z^{2}+4xz-4yz+8x-4y+8z = 0$ и дать формулы преобразования координат, которыми это упрощение достигается.

Задача 650

Упростить уравнение поверхности $y^{2}-z^{2}+4xy-4xz-3 = 0$ и дать формулы преобразования координат, которыми это упрощение достигается.

Задача 651

Упростить уравнение поверхности $4x^{2}+y^{2}+4z^{2}-4xy+8xz-4yz-12x-12y+6z = 0$ и дать формулы преобразования координат, которыми это упрощение достигается.

Задача 652

Упростить уравнение поверхности $7y^{2}-7z^{2}-8xy+8xz = 0$ и дать формулы преобразования координат, которыми это упрощение достигается.

Задача 653

Упростить уравнение поверхности $5x^{2}+5y^{2}+8z^{2}-8xy-4xz-4yz = 0$ и дать формулы преобразования координат, которыми это упрощение достигается.

Задача 654

Упростить уравнение поверхности $36x^{2}+9y^{2}+4z^{2}+36xy+24xz+12yz = 49$ и дать формулы преобразования координат, которыми это упрощение достигается.

Задача 655

Упростить уравнение поверхности $36x^{2}+9y^{2}+4z^{2}+36xy+24xz+12yz = 0$ и дать формулы преобразования координат, которыми это упрощение достигается.

Задача 656

Упростить уравнение поверхности $x^{2}+y^{2}+2z^{2}+4x-6y-8z+21 = 0$ и дать формулы преобразования координат, которыми это упрощение достигается.

Задача 657

Составить уравнение геометрического места вершин поверхностей $4y^{2}-2z^{2}+x+ay+bz = 0$ .

Задача 658

Определить $\lambda$ и $\mu$ так, чтобы уравнение

x^{2}-y^{2}+3z^{2}+(\lambda x+\mu y)^{2} = 1

изображало цилиндр вращения.

Задача 659

Найти условие для $a$ , $b$ и $c$ , при котором уравнение

a(x^{2}+2yz)+b(y^{2}+2xz)+c(z^{2}+2xy) = 1

представляет поверхность вращения.

Задача 660

Найти ось вращения поверхности

y^{2}+(z^{2}-2z)(1-\lambda ^{2})+2\lambda xz-2x = 0.

Задача 661

Найти $c$ , при котором конус $x^{2}-2xy+cz^{2} = 0$ есть конус вращения, и дать уравнения оси.

Задача 662

Доказать, что конус с вершиной в точке $\left(1,\dfrac {1}{2},0\right)$ и с направляющей $x^{2}+y^{2}-2x-y = 0$ , $z = 1$ есть конус вращения.

Задача 663

Исследовать характер поверхности

x^{2}+(2m^{2}+1)(y^{2}+z^{2})-2xy-2xz-2yz = 2m^{2}-3m+1

при изменении $m$ от $-\infty$ до $+\infty$ .

Задача 664

При каком соотношении между $\alpha$ и $\beta$ уравнение

x^{2}+y^{2}-z^{2}+2\alpha xz+2\beta yz-2x-4y+2z = 0

представляет коническую поверхность?

Задача 665

Найти уравнение геометрического места точек вне куба со стороной $a$ , произведение расстояний от которых до трех сходящихся граней куба равно произведению расстояний до трех других граней куба.

Задача 666

Определить вид поверхности, получающейся при движении прямой, параллельной плоскости $Ax+By+Cz+D = 0$ и скользящей по прямым

\begin{cases} x = 0, \\ z = a; \end{cases} \qquad \text{и} \qquad \begin{cases} y = 0, \\ z = -a. \end{cases}

Задача 667

Векторы $\overrightarrow {P}(a,b,c)$ , $\overrightarrow {P}_{1}(a_{1},b_{1},c_{1})$ и $\overrightarrow {P}_{2}(a_{2},b_{2},c_{2})$ взаимно перпендикулярны. Доказать, что поверхность

A(ax+by+cz+d)^{2}+B(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1})^{2}+C(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2})^{2}+D = 0

имеет главными направлениями векторы $\overrightarrow {P}$ , $\overrightarrow {P}_{1}$ , $\overrightarrow {P}_{2}$ .

Задача 668

Поверхность второго порядка проходит через точки $(0,0,0)$ , $(1,1,-1)$ , $(0,0,1)$ и имеет плоскости симметрии $x+y+z = 0$ , $2x-y-z = 0$ , $y-z+1 = 0$ . Найти ее уравнение.

Задача 669

Цилиндр второго порядка проходит через точки $(1,0,-1)$ , $(2,0,2)$ . Его ось дана уравнениями $x = -y = z$ , а плоскости симметрии — уравнениями $x+2y+z = 0$ и $x = z$ . Найти его уравнение.

Задача 670

$x = 0$ и $y = 0$ — плоскости симметрии поверхности второго порядка. Точки $(0,1,1)$ , $(2,0,1)$ , $(1,1,2)$ и $(2,0,3)$ — на поверхности. Найти ее уравнение.

Задача 671

Поверхность вращения второго порядка проходит через точки $(1,0,0)$ , $(1,1,1)$ , $(0,1,2)$ . Ось вращения — ось $Oz$ . Найти уравнение поверхности.

Задача 672

Образующие параболического цилиндра параллельны прямой $2x = 2y = -z$ , уравнение плоскости симметрии $x+y+z = 0$ , а точки $(1,1,1)$ , $(1,-1,1)$ — на поверхности. Найти уравнение цилиндра.

Задача 673

$s_{1}(x,y,z) = 0$ , $s_{2}(x,y,z) = 0$ , $s_{3}(x,y,z) = 0$ — уравнения трех диаметральных плоскостей поверхности. При этом каждая из них сопряжена с линией пересечения двух других плоскостей. Доказать, что уравнение поверхности можно написать в таком виде:

As_{1}^{2}+Bs_{2}^{2}+Cs_{3}^{2}+D = 0.

Задача 674

Три хорды эллипсоида, проходящие через центр, такие, что каждая из них сопряжена с плоскостью, проходящей через две другие, можно назвать тремя взаимно сопряженными осями эллипсоида. Доказать, что объем параллелепипеда, построенного на трех взаимно сопряженных осях эллипсоида, есть величина постоянная.

Задача 675

Доказать, что уравнение

(ax+by+cz+d)^{2} \pm (\alpha x+\beta y+\gamma z+\delta )^{2} = px+qy+rz+s

изображает параболоид, у которого $px+qy+rz+s = 0$ — касательная плоскость, а совместные уравнения

ax+by+cz+d = 0, \qquad \alpha x+\beta y+\gamma z+\delta = 0

дают диаметр, проходящий через точку касания.

Задача 676

Найти уравнение параболоида, касающегося плоскости $x+y+z = 0$ в начале координат, имеющего диаметральную плоскость $x = y$ и проходящего через точки $(1,1,2)$ , $(0,2,2)$ , $(3,1,1)$ , $\left(\dfrac {9}{2},2,2\right)$ .

2.8 · Круговые сечения, прямолинейные образующие и другие задачи[40/95%]

Задача 677

Через прямую $2x = 2y = z$ провести плоскость, пересекающую поверхность $4x^{2}-y^{2}+z = 0$ по равнобочной гиперболе.

Задача 678

Найти вершину параболы, получающейся при сечении цилиндра $y^{2} = 2x$ плоскостью $x+y+z = 1$ .

Задача 679

Найти плоскости, в которых лежат оси симметрии эллипсов, получаемых при сечении эллипсоида $x^{2}+2y^{2}+3z^{2} = 1$ плоскостями, параллельными плоскости $2x+y+z = 0$ .

Задача 680

Найти уравнения оси параболы, получаемой в сечении поверхности $x^{2}+y^{2}-2z^{2} = 1$ плоскостью $x+y-2z = 1$ .

Задача 681

Найти плоскости, в которых лежат оси симметрии пересечения поверхности $x^{2}+2y^{2}-2z = 0$ плоскостями, параллельными плоскости $x+y+z = 0$ .

Задача 682

Найти плоскость, в которой лежат оси симметрии парабол, получаемых при пересечении поверхности $y^{2}+2z^{2} = 2x$ плоскостями, перпендикулярными к вектору $\overrightarrow {P}(0,1,-1)$ .

Задача 683

Найти плоскость, проходящую через начало координат и через ось вращения поверхности

5x^{2}+2y^{2}+5z^{2}+4xy-2xz+4yz+3x+2y+z = 0.

Задача 684

Найти уравнения плоскостей, пересекающих эллипсоид $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}+\dfrac {z^{2}}{c^{2}} = 1$ по кругам. При этом $a > b > c$ .

Задача 685

Найти геометрическое место вершин конусов, касающихся по кругам эллипсоида предыдущей задачи.

Задача 686

Найти круговые сечения однополостного гиперболоида

\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}} = 1

при $a > b$ .

Задача 687

Найти круговые сечения поверхности

2x^{2}+y^{2}+z^{2}+xy-xz-2x = 0.

Задача 688

Найти геометрическое место центров круговых сечений эллипсоида

x^{2}+2y^{2}+2z^{2}+2xy-2x-4y+4z+2 = 0.

Задача 689

Найти общий вид плоскостей, пересекающих по кругам поверхность

x^{2}+y^{2}-\lambda xz-\mu yz-\lambda az-a^{2} = 0.

Задача 690

Найти круговые сечения поверхности

x^{2}+y^{2}+az^{2}+bxz+cyz+dx+ey+fz+g = 0.

Задача 691

При каких $\lambda$ и $\mu$ круговые сечения поверхности $x^{2}+y^{2}-\lambda xz-\mu yz-\lambda az-a^{2} = 0$ перпендикулярны к вектору $\overrightarrow {P}(1,1,1)$ ?

Задача 692

Найти уравнение цилиндра, проходящего через круг

\begin{cases} x^{2}+y^{2} = 1, \\ z = 0 \end{cases}

и точку $(0,1,1)$ и имеющего взаимно перпендикулярные плоскости круговых сечений.

Задача 693

Каково геометрическое место центров сфер радиуса $R$ , пересекающих эллипсоид $x^{2}+2y^{2}+3z^{2} = 1$ по кругам?

Задача 694

Найти геометрическое место вершин конусов вращения, проходящих через параболу

\begin{cases} z = 0, \\ y^{2} = 2px. \end{cases}

Задача 695

Доказать, что геометрическое место вершин круговых конусов, проходящих через эллипс

\begin{cases} \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}} = 1, \\ z = 0, \end{cases}

есть гипербола

\begin{cases} \dfrac {x^{2}}{a^{2}-b^{2}}-\dfrac {z^{2}}{b^{2}} = 1, \\ y = 0. \end{cases}

Указание. Сфера, касающаяся кругового конуса и некоторой плоскости, имеет точку касания плоскости в фокусе получившегося сечения.

Задача 696

Поверхности второго порядка с центром в точке $(a,b,c)$ проходят через круг

\begin{cases} x^{2}+y^{2} = R^{2}, \\ z = 0. \end{cases}

Найти геометрическое место центров круговых сечений, плоскости которых проходят через начало координат.

Задача 697

Найти уравнения прямых, по которым поверхность конуса вращения $xy+xz+yz = 0$ пересекается с плоскостью, проходящей через ось и точку $(1,2,3)$ .

Задача 698

На гиперболическом параболоиде $y^{2}-z^{2} = 2x$ найти место точек, через которые проходят две взаимно перпендикулярные образующие.

Задача 699

Тот же вопрос для поверхности $\dfrac {y^{2}}{p}-\dfrac {z^{2}}{q} = 2x$ .

Задача 700

Найти прямолинейные образующие поверхности $xy+xz+x+y+1 = 0$ .

Задача 701

Тот же вопрос для поверхности $x^{2}+3y^{2}+3z^{2}-2xy-2xz-2yz-6 = 0$ .

Задача 702

Найти уравнения прямолинейных образующих поверхности $4y^{2}-z^{2}+x-8y-8z-2 = 0$ , пересекающих ось $Ox$ .

Задача 703

Найти величину наибольшего угла между образующими конуса $x^{2}+y^{2} = (x+y+z)^{2}$ , а также направление его оси.

Задача 704

Найти уравнение гиперболоида, у которого прямые

\begin{cases} 2x-1 = 0, \\ y = z, \end{cases} \qquad \begin{cases} 2x = z, \\ y+1 = 0, \end{cases} \qquad \begin{cases} 2x = -z, \\ y = 1 \end{cases}

являются образующими одной системы.

Задача 705

Найти уравнение параболоида, у которого прямые

\begin{cases} x-y-z = 0, \\ y-z-1 = 0, \end{cases} \qquad \begin{cases} x+y+z = 0, \\ y-z+1 = 0, \end{cases} \qquad \begin{cases} 2x+y+z = 0, \\ 2y-2z+1 = 0 \end{cases}

— образующие одной системы.

Задача 706

Найти общее уравнение параболоидов, проходящих через окружность

\begin{cases} x^{2}+y^{2} = a^{2}, \\ z = 0 \end{cases}

и имеющих ось, параллельную вектору $\overrightarrow {P}(l,m,n)$ .

Задача 707

Найти уравнение конуса, на поверхности которого лежат окружности

\begin{cases} x = 0, \\ y^{2}+z^{2}-2az = 0, \end{cases} \qquad \begin{cases} z = 0, \\ x^{2}+y^{2} = 2bx. \end{cases}

Задача 708

Найти координаты вершины конуса, на поверхности которого лежат окружность

\begin{cases} x = 0, \\ y^{2}+z^{2} = 2az \end{cases}

и парабола

\begin{cases} z = 0, \\ y^{2} = 2px. \end{cases}

Задача 709

Найти параболоид, на котором лежат точки $(0,1,-1)$ , $(1,-1,0)$ и прямые

\begin{cases} x = 0, \\ z = 2; \end{cases} \qquad \begin{cases} y = 0, \\ z = -2. \end{cases}

Задача 710

Найти параболический цилиндр, на котором лежат параболы

\begin{cases} z = 0, \\ y^{2} = 2x; \end{cases} \qquad \begin{cases} x = z, \\ 2y^{2} = x+z. \end{cases}

Задача 711

Найти параболоид вращения, проходящий через точку $(1,1,2)$ и круг

\begin{cases} x = z, \\ x^{2}+y^{2}+z^{2} = 2x+2z. \end{cases}

Задача 712

Каково геометрическое место центров сфер данного радиуса, пересекающих эллиптический параболоид по окружностям?

Задача 713

Найти длины осей эллипса, получаемого сечением эллипсоида $x^{2}+y^{2}+4z^{2} = 1$ плоскостью $x+y+z = 0$ .

Задача 714

Найти длины осей эллипса, получаемого сечением параболоида $2y^{2}+z^{2}-2x = 0$ плоскостью $x = y$ .

Задача 715

Найти параметр параболы, лежащей на поверхности $x^{2}+2y^{2}+z^{2}+4xy-2xz-4yz+2x-6z = 0$ и в плоскости $x = z$ .

Задача 716

Конус имеет вершину в фокусе вытянутого эллипсоида вращения и опирается на плоское сечение того же эллипсоида. Доказать, что этот конус есть конус вращения.