Банк задач по математике

Задача 459

Найти плоскости, проектирующие прямую

\begin{cases} x-y+2z+3 = 0, \\ 2x-y-z+1 = 0 \end{cases}

на плоскости координат.

?

Задача 460

Найти углы прямой

\begin{cases} 3x-y+2z = 0, \\ 6x-3y+2z = 2 \end{cases}

с осями координат.

?

Задача 461

Найти угол между прямыми

\begin{cases} x+2y+z-1 = 0, \\ x-2y+z+1 = 0 \end{cases}

и

\begin{cases} x-y-z-1 = 0, \\ x-y+2z+1 = 0. \end{cases}

?

Задача 462

Найти угол между прямыми

\begin{cases} x+y = 0, \\ x-y = 2 \end{cases}

и

\begin{cases} y+z = 0, \\ y-z+2 = 0. \end{cases}

?

Задача 463

Плоскость $x+y+z = a$ пересекается плоскостями $x = y$ и $3x = y$ . Определить угол между этими линиями пересечения.

?

Задача 464

(а)(б)

Прямая

\begin{cases} x+y-z = 0, \\ y = x \tg \alpha \end{cases}

проектируется:

?

(а)

на плоскость $xOz$ ;

(б)

на плоскость $yOz$ .

Определить угол между этими проекциями.

Задача 465

Найти угол между прямой

\begin{cases} x+y+3z = 0, \\ x-y-z = 0 \end{cases}

и плоскостью $x-y-z+1 = 0$ .

?

Задача 466

Провести прямую через точки $(1,2,1)$ и $(2,1,3)$ .

?

Задача 467

Провести прямую через точки $(1,2,1)$ и $(1,2,3)$ .

?

Задача 468

Через точки $A(2,-1,3)$ и $B(0,2,-1)$ проведена прямая. Найти точку пересечения прямой $AB$ с плоскостью $3x-y+z = 0$ .

?

Задача 469

Точки $A(2,1,1)$ и $B(1,2,2)$ проектируются из начала координат на плоскость $x+y+z = 10$ . Найти координаты проекций $A'$ и $B'$ и расстояние $\left|A'B'\right|$ между этими точками.

?

Задача 470

Через точку $(2,1,3)$ провести прямую, параллельную плоскости $x+y+z = a$ и пересекающую прямую

\begin{cases} x = y, \\ y = 2z. \end{cases}

?

Задача 471

Через точку $(1,2,1)$ провести прямую, перпендикулярную плоскости $x+2y-z = 0$ .

?

Задача 472

Через точку $(2,1,1)$ провести прямую, параллельную плоскостям $2x-y+1 = 0$ , $y-1 = 0$ .

?

Задача 473

Через точку $(-1,2,1)$ провести прямую, параллельную прямой

\begin{cases} x+y-2z-1 = 0, \\ x+2y-z+1 = 0. \end{cases}

?

Задача 474

Через точку $(2,1,1)$ провести прямую, параллельную плоскостям $x-y+z+2 = 0$ , $x+y+2z-1 = 0$ .

?

Задача 475

Через точку $(2,2,1)$ провести плоскость, перпендикулярную прямой $x+2y-z+1 = 0$ , $2x+y-z = 0$ .

?

Задача 476

Через точку $(1,1,2)$ провести плоскость, параллельную прямым

\dfrac {x+1}{2} = \dfrac {y-1}{1} = \dfrac {z+1}{2} \qquad \text{и} \qquad \dfrac {x+1}{1} = \dfrac {y-1}{2} = \dfrac {z+1}{1}.

?

Задача 477

Через точку $(1,2,1)$ провести плоскость, параллельную прямым

\begin{cases} x+2y-z+1 = 0, \\ x-y+z-1 = 0 \end{cases} \qquad \text{и} \qquad \begin{cases} 2x-y+z = 0, \\ x-y+z = 0. \end{cases}

?

Задача 478

Через прямую

\begin{cases} 2x-y+z-1 = 0, \\ x+y-z = 0 \end{cases}

и точку $(2,1,1)$ провести плоскость.

?

Задача 479

Через прямую

\begin{cases} x-1 = 0, \\ x+2y-z-1 = 0 \end{cases}

провести плоскость перпендикулярно к плоскости $x+y+z = 0$ .

?

Задача 480

Найти проекцию прямой

\begin{cases} x-y-z = 0, \\ x-5y+z = 10 \end{cases}

на плоскость $x+2y+3z = 2$ и определить угол, составляемый этой проекцией с плоскостью $xOy$ .

?

Задача 481

Через ось $Oz$ провести плоскость, составляющую угол $60^{\circ }$ с плоскостью $2x+y-\sqrt{5}z = 7$ .

?

Задача 482

Через прямую $x = y = z$ провести плоскость, составляющую угол $45^{\circ }$ с плоскостью $x = y$ .

?

Задача 483

Прямая $\dfrac {x-1}{2} = \dfrac {y-2}{3} = \dfrac {z}{1}$ проектируется из точки $(5,5,5)$ на плоскость $xOy$ . Найти уравнения проекции.

?

Задача 484

Через точку $(1,2,-1)$ провести прямую, пересекающую обе прямые

\dfrac {x-1}{2} = \dfrac {y+1}{6} = \dfrac {z+3}{3} \qquad \text{и} \qquad \dfrac {x-2}{3} = \dfrac {y}{1} = \dfrac {z+3}{-1}.

?

Задача 485

Через прямую

\begin{cases} x+y+z = 0, \\ 2x-y+3z = 0 \end{cases}

провести плоскость, параллельную прямой $x = 2y = 3z$ .

?

Задача 486

Найти уравнение плоскости, перпендикулярной к плоскости $z = 0$ и проходящей через перпендикуляр, опущенный из точки $(1,-1,1)$ на прямую

\begin{cases} x = 0, \\ y-z+1 = 0. \end{cases}

?

Задача 487

Найти уравнение и длину высоты треугольника, высекаемого на плоскости $3x-y+4z-12 = 0$ координатными плоскостями; высота опущена из вершины, лежащей на $Oz$ .

?

Задача 488

Найти точку пересечения прямой

\dfrac {x-1}{2} = \dfrac {y+1}{1} = \dfrac {z+3}{2}

с плоскостью $x+y-z+1 = 0$ .

?

Задача 489

Найти проекцию точки $(2,1,1)$ на плоскость $x+y+3z+5 = 0$ .

?

Задача 490

Найти проекцию точки $(2,3,1)$ на прямую

\begin{cases} x = t-7, \\ y = 2t-2, \\ z = 3t-2. \end{cases}

?

Задача 491

Найти уравнения проекции прямой

\begin{cases} 2x-y+z-1 = 0, \\ x+y-z+1 = 0 \end{cases}

на плоскость $x+2y-z = 0$ .

?

Задача 492

Найти отражение точки $(-1,2,0)$ в плоскости $x+2y-z+1 = 0$ .

?

Задача 493

Определить $\lambda$ так, чтобы прямые $\dfrac {x-1}{1} = \dfrac {y+1}{2} = \dfrac {z-1}{\lambda }$ и $\dfrac {x+1}{1} = \dfrac {y-1}{1} = \dfrac {z}{1}$ пересекались.

?

Задача 494

Найти прямые, перпендикулярные прямой

\begin{cases} y-z+1 = 0, \\ x+2z = 0 \end{cases}

и лежащие в плоскости $x+y+z+1 = 0$ .

?

Задача 495

Через точку пересечения плоскости $x+y+z = 2$ и прямой

\begin{cases} 2y = x, \\ z = -1 \end{cases}

провести прямую, лежащую в данной плоскости и перпендикулярную к данной прямой.

?

Задача 496

Найти уравнения и длину перпендикуляра, опущенного из точки $(0,-1,1)$ на прямую

\begin{cases} y+1 = 0, \\ x+2z-7 = 0. \end{cases}

?

Задача 497

Дана прямая $x = 2y = 3z$ и точка $(0,0,1)$ . Из этой точки опущен перпендикуляр на данную прямую, и сама данная прямая и перпендикуляр, опущенный на нее, спроектированы на плоскость $xOz$ . Найти угол между проекциями.

?

Задача 498

Найти точку, симметричную точке $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ относительно прямой $\dfrac {x}{l} = \dfrac {y}{m} = \dfrac {z}{n}$ .

?

Задача 499

Найти плоскость, проходящую через начало координат и через перпендикуляр, опущенный из точки $(1,-1,0)$ на прямую

\begin{cases} x = z+3, \\ y = -2z-3. \end{cases}

?

Задача 500

Найти уравнения общего перпендикуляра к прямым

\begin{cases} x+4z+1 = 0, \\ x-4y+9 = 0 \end{cases} \qquad \text{и} \qquad \begin{cases} y = 0, \\ x+2z+4 = 0. \end{cases}

?

Задача 501

Прямые

x = y = z \qquad \text{и} \qquad \dfrac {x-1}{1} = \dfrac {y-1}{-1} = \dfrac {z}{2}

и общий перпендикуляр к ним спроектированы на плоскость $xOy$ . Определить углы между проекциями.

?

Задача 502

Найти плоскость, в которой лежат прямые

\dfrac {x-1}{1} = \dfrac {y+1}{-1} = \dfrac {z-1}{2} \qquad \text{и} \qquad \dfrac {x-1}{-1} = \dfrac {y+1}{2} = \dfrac {z-1}{1}.

?

Задача 503

Найти плоскость, в которой лежат прямые

\begin{cases} 2x+3y-z-1 = 0, \\ x+y-3z = 0 \end{cases} \qquad \text{и} \qquad \begin{cases} x+5y+4z-3 = 0, \\ x+2y+2z-1 = 0. \end{cases}

?

Задача 504

Найти плоскость, в которой лежат прямые

\begin{cases} x = 2t-1, \\ y = 3t+2, \\ z = 2t-3 \end{cases} \qquad \text{и} \qquad \begin{cases} x = 2t+3, \\ y = 3t-1, \\ z = 2t+1. \end{cases}

?

Задача 505

Доказать, что расстояние от точки $M(x,y,z)$ до прямой, проходящей через точку $A(a,b,c)$ , можно выразить формулой $d = \dfrac {\left|\overrightarrow {r} \times \overrightarrow {P}\right|}{\left|\overrightarrow {P}\right|}$ , где $\overrightarrow {r} = \overrightarrow {AM}$ , а $\overrightarrow {P}$ — любой вектор, направленный по прямой.

?

Задача 506

Пользуясь предыдущим результатом, доказать, что расстояние $d$ от точки $M(x_{1},y_{1},z_{1})$ до прямой

\dfrac {x-a}{l} = \dfrac {y-b}{m} = \dfrac {z-c}{n}

можно выразить формулой

d^{2} = \dfrac {1}{l^{2}+m^{2}+n^{2}}\Bigl(\bigl(m(x_{1}-a)-l(y_{1}-b)\bigr)^{2}+\bigl(n(x_{1}-a)-l(z_{1}-c)\bigr)^{2}+\bigl(n(y_{1}-b)-m(z_{1}-c)\bigr)^{2}\Bigr).

?

Задача 507

Найти расстояние от точки $(3,-1,2)$ до прямой

\begin{cases} 2x-y+z-4 = 0, \\ x+y-z+1 = 0. \end{cases}

?

Задача 508

Доказать, что расстояние между двумя непараллельными прямыми можно выразить формулой

d = \dfrac {(\overrightarrow {r}_{1} \times \overrightarrow {r}_{2}) \cdot \overrightarrow {r}_{3}}{\left|\overrightarrow {r}_{1} \times \overrightarrow {r}_{2}\right|},

где $\overrightarrow {r}_{1}$ и $\overrightarrow {r}_{2}$ — какие-нибудь векторы, расположенные на данных прямых, а $\overrightarrow {r}_{3}$ — вектор, идущий из точки на одной прямой в точку на другой прямой.

?

Задача 509

Доказать, что длину $d$ общего перпендикуляра к прямым

\dfrac {x-a}{l} = \dfrac {y-b}{m} = \dfrac {z-c}{n} \qquad \text{и} \qquad \dfrac {x-a_{1}}{l_{1}} = \dfrac {y-b_{1}}{m_{1}} = \dfrac {z-c_{1}}{n_{1}}

можно представить формулой

d = \dfrac {\begin{vmatrix} a_{1}-a & b_{1}-b & c_{1}-c \\ l & m & n \\ l_{1} & m_{1} & n_{1} \end{vmatrix}}{\sqrt{(lm_{1}-l_{1}m)^{2}+(mn_{1}-m_{1}n)^{2}+(ln_{1}-l_{1}n)^{2}}}.

?

Задача 510

Найти расстояние между прямыми

\begin{cases} x+y-z-1 = 0, \\ 2x+y-z-2 = 0 \end{cases} \qquad \text{и} \qquad \begin{cases} x+2y-z-2 = 0, \\ x+2y+2z+4 = 0. \end{cases}

?

Задача 511

Найти расстояние между прямыми $x = y = z$ и

\begin{cases} x-1 = 0, \\ y-2 = 0. \end{cases}

?

Задача 512

Доказать, что расстояние $h$ между параллельными прямыми можно выразить формулой

h = \dfrac {\left|\overrightarrow {r} \times \overrightarrow {P}\right|}{\left|\overrightarrow {P}\right|},

где $\overrightarrow {r}$ — вектор, идущий из точки на одной прямой в точку на другой прямой, а $\overrightarrow {P}$ — вектор, параллельный данным прямым.

?

Задача 513

Доказать, что расстояние между прямыми

\dfrac {x-a}{l} = \dfrac {y-b}{m} = \dfrac {z-c}{n} \qquad \text{и} \qquad \dfrac {x-a_{1}}{l} = \dfrac {y-b_{1}}{m} = \dfrac {z-c_{1}}{n}

можно выразить формулой

h^{2} = \dfrac {1}{l^{2}+m^{2}+n^{2}}\Bigl(\bigl(m(a_{1}-a)-l(b_{1}-b)\bigr)^{2}+\bigl(n(b_{1}-b)-m(c_{1}-c)\bigr)^{2}+\bigl(l(c_{1}-c)-n(a_{1}-a)\bigr)^{2}\Bigr).

?

Задача 514

Найти расстояние между параллельными прямыми

\begin{cases} x = t+1, \\ y = 2t-1, \\ z = t \end{cases} \qquad \text{и} \qquad \begin{cases} x = t+2, \\ y = 2t-1, \\ z = t+1. \end{cases}

?

Задача 515

Если векторы $\overrightarrow {r}_{1}$ и $\overrightarrow {r}_{2}$ имеют равную длину и лежат на данных пересекающихся прямых, то векторы $\overrightarrow {r}_{1} \pm \overrightarrow {r}_{2}$ параллельны биссектрисам углов между прямыми. Исходя из этого замечания, доказать, что биссектрисы углов между прямыми

\dfrac {x-a}{l} = \dfrac {y-b}{m} = \dfrac {z-c}{n} \qquad \text{и} \qquad \dfrac {x-a}{l_{1}} = \dfrac {y-b}{m_{1}} = \dfrac {z-c}{n_{1}}

можно представить уравнениями

x = a+\left(\dfrac {l}{\Delta } \pm \dfrac {l_{1}}{\Delta _{1}}\right)t, \qquad y = b+\left(\dfrac {m}{\Delta } \pm \dfrac {m_{1}}{\Delta _{1}}\right)t,

z = c+\left(\dfrac {n}{\Delta } \pm \dfrac {n_{1}}{\Delta _{1}}\right)t,

где

\Delta = \sqrt{l^{2}+m^{2}+n^{2}}, \qquad \Delta _{1} = \sqrt{l_{1}^{2}+m_{1}^{2}+n_{1}^{2}}.

?

Задача 516

Найти биссектрисы углов между прямыми

\dfrac {x-3}{6} = \dfrac {y+2}{-3} = \dfrac {z-1}{2} \qquad \text{и} \qquad \dfrac {x-3}{14} = \dfrac {y+2}{-5} = \dfrac {z-1}{2}.

?

Задача 517

Найти биссектрисы углов между прямыми

\dfrac {x-1}{3} = \dfrac {y-2}{8} = \dfrac {z-3}{1} \qquad \text{и} \qquad \dfrac {x-1}{4} = \dfrac {y-2}{7} = \dfrac {z-3}{3}.

?

Задача 518

Провести биссектрисы углов между прямыми

\dfrac {x}{10} = \dfrac {y}{11} = \dfrac {z}{2} \qquad \text{и} \qquad \dfrac {x}{1} = \dfrac {y}{2} = \dfrac {z}{-2}

и найти углы, на которые проекции биссектрис на плоскость $xOz$ делят проекции углов на ту же плоскость.

?

Задача 519

Найти прямые, пересекающие прямые

\begin{cases} x+y-z-1 = 0, \\ x-y+z+1 = 0 \end{cases} \qquad \text{и} \qquad \begin{cases} 2x-y+z-1 = 0, \\ x+y-z+1 = 0 \end{cases}

и параллельные плоскости $x+y+z = 0$ .

?

Задача 520

Найти прямые, пересекающие три прямые:

\begin{cases} x = 0, \\ y = 0, \end{cases} \qquad \begin{cases} x = 1, \\ z = 0, \end{cases} \qquad \begin{cases} y-1 = 0, \\ z+1 = 0. \end{cases}

?

Задача 521

Доказать, что плоскости, проходящие через ребра трехгранного угла и биссектрисы противоположных граней, пересекаются по прямой.

?

Задача 522

Три взаимно перпендикулярные прямые неподвижно связаны с твердым телом. Сначала они были направлены по осям $Ox$ , $Oy$ , $Oz$ , а затем расположились по осям $Ox_{1}$ , $Oy_{1}$ , $Oz_{1}$ . Косинусы углов между осями даются таблицей:

	$x_{1}$	$y_{1}$	$z_{1}$
$x$	$a_{1}$	$b_{1}$	$c_{1}$
$y$	$a_{2}$	$b_{2}$	$c_{2}$
$z$	$a_{3}$	$b_{3}$	$c_{3}$

Доказать, что такое перемещение тела могло быть достигнуто вращением около прямой, и найти эту прямую.

?

Задача 523

Координаты $x$ , $y$ , $z$ переходят в координаты $x_{1}$ , $y_{1}$ , $z_{1}$ по формулам: $9x_{1} = 4x+7y-4z$ , $9y_{1} = x+4y+8z$ , $9z_{1} = 8x-4y+z$ . Затем по таким же формулам координаты $x_{1}$ , $y_{1}$ , $z_{1}$ переходят в координаты $x_{2}$ , $y_{2}$ , $z_{2}$ и т.д. Доказать, что $x_{4} = x$ , $y_{4} = y$ , $z_{4} = z$ .

?

Задача 524

Координаты $x$ , $y$ , $z$ переходят в координаты $x_{1}$ , $y_{1}$ , $z_{1}$ по формулам:

9x_{1} = (5\cos \varphi +4)x+(-4\cos \varphi +3\sin \varphi +4)y+(-2\cos \varphi +6\sin \varphi +2)z,

9y_{1} = (-4\cos \varphi -3\sin \varphi +4)x+(5\cos \varphi +4)y+(-2\cos \varphi +6\sin \varphi +2)z,

9z_{1} = (-2\cos \varphi +6\sin \varphi +2)x+(-2\cos \varphi -6\sin \varphi +2)y+(8\cos \varphi +1)z.

Затем по таким же формулам координаты $x_{1}$ , $y_{1}$ , $z_{1}$ переходят в координаты $x_{2}$ , $y_{2}$ , $z_{2}$ и т.д. Доказать, что координаты $x_{n}$ , $y_{n}$ , $z_{n}$ выражаются через $x$ , $y$ , $z$ такими же формулами, как и $x_{1}$ , $y_{1}$ , $z_{1}$ , только угол $\varphi$ заменяется на $n\varphi$ .

?

Прямая в пространстве