Упрощение уравнений поверхностей второго порядка

Найти плоскость симметрии поверхности

Найти плоскости симметрии поверхности

Найти плоскости симметрии поверхности $xy+xz+yz = 1$.

В уравнении поверхности второго порядка

величины определителей

которые можно назвать дискриминантами квадратичных форм $f = Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+2Dxy+2Exz+2Fyz$ и

являются инвариантами, как и величины $p = A+B+C$, $q = AB+AC+BC-D^{2}-E^{2}-F^{2}$.

Пользуясь этим, доказать, что уравнения поверхности с центром, при $\Delta_{3} \neq 0$, можно привести к виду

где $\lambda_{1}$, $\lambda_{2}$, $\lambda_{3}$ — корни характеристического уравнения формы $f$.

Доказать, что при $\lambda_{3} = 0$, $q \neq 0$ уравнение поверхности (обозначения $\lambda_{3}$, $q$, $\Delta_{4}$ те же, что в задаче 639) можно привести к виду

Доказать, что при $\Delta_{4} = 0$ (обозначение то же, что в задаче 639) поверхность либо цилиндрическая, либо уравнение изображает точку, прямую или одну, либо пару плоскостей.

Упростить уравнение поверхности $x^{2}+y^{2}+z^{2}-6x+8y+10z+1 = 0$ и дать формулы преобразования координат, которыми это упрощение достигается.

Упростить уравнение поверхности $5x^{2}+6y^{2}+7z^{2}-4xy+4yz-10x+8y+14z-6 = 0$ и дать формулы преобразования координат, которыми это упрощение достигается.

Упростить уравнение поверхности

и дать формулы преобразования координат, которыми это упрощение достигается.

Упростить уравнение поверхности

и дать формулы преобразования координат, которыми это упрощение достигается.

Упростить уравнение поверхности $3x^{2}-2y^{2}-z^{2}+4xy+8xz-12yz+18x-12y-6z = 0$ и дать формулы преобразования координат, которыми это упрощение достигается.

Упростить уравнение поверхности $4x^{2}+2y^{2}+3z^{2}+4xz-4yz-10x+4y+6 = 0$ и дать формулы преобразования координат, которыми это упрощение достигается.

Упростить уравнение поверхности $y^{2}-z^{2}+4xy-4xz-2x+6y+2z+8 = 0$ и дать формулы преобразования координат, которыми это упрощение достигается.

Упростить уравнение поверхности $4x^{2}+2y^{2}+3z^{2}+4xz-4yz+8x-4y+8z = 0$ и дать формулы преобразования координат, которыми это упрощение достигается.

Упростить уравнение поверхности $y^{2}-z^{2}+4xy-4xz-3 = 0$ и дать формулы преобразования координат, которыми это упрощение достигается.

Упростить уравнение поверхности $4x^{2}+y^{2}+4z^{2}-4xy+8xz-4yz-12x-12y+6z = 0$ и дать формулы преобразования координат, которыми это упрощение достигается.

Упростить уравнение поверхности $7y^{2}-7z^{2}-8xy+8xz = 0$ и дать формулы преобразования координат, которыми это упрощение достигается.

Упростить уравнение поверхности $5x^{2}+5y^{2}+8z^{2}-8xy-4xz-4yz = 0$ и дать формулы преобразования координат, которыми это упрощение достигается.

Упростить уравнение поверхности $36x^{2}+9y^{2}+4z^{2}+36xy+24xz+12yz = 49$ и дать формулы преобразования координат, которыми это упрощение достигается.

Упростить уравнение поверхности $36x^{2}+9y^{2}+4z^{2}+36xy+24xz+12yz = 0$ и дать формулы преобразования координат, которыми это упрощение достигается.

Упростить уравнение поверхности $x^{2}+y^{2}+2z^{2}+4x-6y-8z+21 = 0$ и дать формулы преобразования координат, которыми это упрощение достигается.

Составить уравнение геометрического места вершин поверхностей $4y^{2}-2z^{2}+x+ay+bz = 0$.

Определить $\lambda$ и $\mu$ так, чтобы уравнение

изображало цилиндр вращения.

Найти условие для $a$, $b$ и $c$, при котором уравнение

представляет поверхность вращения.

Найти ось вращения поверхности

Найти $c$, при котором конус $x^{2}-2xy+cz^{2} = 0$ есть конус вращения, и дать уравнения оси.

Доказать, что конус с вершиной в точке $\left(1,\dfrac {1}{2},0\right)$ и с направляющей $x^{2}+y^{2}-2x-y = 0$, $z = 1$ есть конус вращения.

Исследовать характер поверхности

при изменении $m$ от $-\infty$ до $+\infty$.

При каком соотношении между $\alpha$ и $\beta$ уравнение

представляет коническую поверхность?

Найти уравнение геометрического места точек вне куба со стороной $a$, произведение расстояний от которых до трех сходящихся граней куба равно произведению расстояний до трех других граней куба.

Определить вид поверхности, получающейся при движении прямой, параллельной плоскости $Ax+By+Cz+D = 0$ и скользящей по прямым

Векторы $\overrightarrow {P}(a,b,c)$, $\overrightarrow {P}_{1}(a_{1},b_{1},c_{1})$ и $\overrightarrow {P}_{2}(a_{2},b_{2},c_{2})$ взаимно перпендикулярны. Доказать, что поверхность

имеет главными направлениями векторы $\overrightarrow {P}$, $\overrightarrow {P}_{1}$, $\overrightarrow {P}_{2}$.

Поверхность второго порядка проходит через точки $(0,0,0)$, $(1,1,-1)$, $(0,0,1)$ и имеет плоскости симметрии $x+y+z = 0$, $2x-y-z = 0$, $y-z+1 = 0$. Найти ее уравнение.

Цилиндр второго порядка проходит через точки $(1,0,-1)$, $(2,0,2)$. Его ось дана уравнениями $x = -y = z$, а плоскости симметрии — уравнениями $x+2y+z = 0$ и $x = z$. Найти его уравнение.

$x = 0$ и $y = 0$ — плоскости симметрии поверхности второго порядка. Точки $(0,1,1)$, $(2,0,1)$, $(1,1,2)$ и $(2,0,3)$ — на поверхности. Найти ее уравнение.

Поверхность вращения второго порядка проходит через точки $(1,0,0)$, $(1,1,1)$, $(0,1,2)$. Ось вращения — ось $Oz$. Найти уравнение поверхности.

Образующие параболического цилиндра параллельны прямой $2x = 2y = -z$, уравнение плоскости симметрии $x+y+z = 0$, а точки $(1,1,1)$, $(1,-1,1)$ — на поверхности. Найти уравнение цилиндра.

$s_{1}(x,y,z) = 0$, $s_{2}(x,y,z) = 0$, $s_{3}(x,y,z) = 0$ — уравнения трех диаметральных плоскостей поверхности. При этом каждая из них сопряжена с линией пересечения двух других плоскостей. Доказать, что уравнение поверхности можно написать в таком виде:

Три хорды эллипсоида, проходящие через центр, такие, что каждая из них сопряжена с плоскостью, проходящей через две другие, можно назвать тремя взаимно сопряженными осями эллипсоида. Доказать, что объем параллелепипеда, построенного на трех взаимно сопряженных осях эллипсоида, есть величина постоянная.

Доказать, что уравнение

изображает параболоид, у которого $px+qy+rz+s = 0$ — касательная плоскость, а совместные уравнения

дают диаметр, проходящий через точку касания.

Найти уравнение параболоида, касающегося плоскости $x+y+z = 0$ в начале координат, имеющего диаметральную плоскость $x = y$ и проходящего через точки $(1,1,2)$, $(0,2,2)$, $(3,1,1)$, $\left(\dfrac {9}{2},2,2\right)$.