Касательные плоскости и прямые к поверхностям второго порядка

Доказать, что плоскость, касательная к эллипсоиду $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}+\dfrac {z^{2}}{c^{2}} = 1$ в точке $(x_{1},y_{1},z_{1})$, может быть представлена уравнением

Доказать, что плоскость, касающаяся гиперболоида $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}-\dfrac {z^{2}}{c^{2}} = \sigma$ в точке $(x_{1},y_{1},z_{1})$, имеет уравнение

Доказать, что плоскость, касающаяся в точке $(x_{1},y_{1},z_{1})$ параболоида $\dfrac {x^{2}}{a^{2}} \pm \dfrac {y^{2}}{b^{2}} = 2z$, имеет уравнение

Найти уравнение плоскости, касательной к эллипсоиду

и отсекающей на осях отрезки, отношение которых $a:b:c$.

Такой же вопрос для гиперболоида $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}-\dfrac {z^{2}}{c^{2}} = 1$.

На эллипсоиде $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}+\dfrac {z^{2}}{c^{2}} = 1$ найти такую точку, чтобы касательная плоскость в ней отсекала на осях координат отрезки равной длины.

На касательной плоскости к эллипсоиду предыдущей задачи плоскостями координат образован треугольник с центром тяжести в точке касания. Найти координаты точки касания.

Доказать, что при $a^{2}+b^{2}+c^{2} = l^{2}$ эллипсоид

вписан в октаэдр $\left|x\right|+\left|y\right|+\left|z\right| = l$.

Доказать, что все нормали к поверхности $xy+xz+yz = 0$ образуют одинаковый угол с прямой $x = y = z$.

Доказать то же для поверхности $x^{2}+y^{2}+z^{2} = xy+xz+yz+1$.

На поверхности $xy+xz+yz = 3$ найти точку, ближайшую к плоскости $x+y+z = 0$.

На поверхности $x^{2}+y^{2}+z^{2}+xy+xz+yz = 6$ найти наиболее высокую и наиболее низкую точки.

На гиперболическом параболоиде $xy = z$ найти точки, нормаль в которых составляет с $Oz$ угол $45^{\circ }$.

На параболоиде $x^{2}-y^{2} = az$ проводится линия, во всех точках которой нормаль к поверхности составляет с $Oz$ постоянный угол. Доказать, что проекция этой линии на $xOy$ есть окружность с центром в начале координат.

Доказать, что плоскость, касающаяся поверхности $x^{2}+y^{2}+z^{2} = xy+xz+yz$ в точке $M(x_{1},y_{1},z_{1})$, содержит прямую, проведенную из начала координат в точку $M$.

Плоскость, касательная к гиперболоиду $x^{2}+y^{2}-z^{2} = 1$ в точке $(1,0,0)$, пересекается с ним по двум прямым. Определить угол между ними.

Тот же вопрос для параболоида $x^{2}-y^{2} = z$ и точки $(0,0,0)$.

Через прямую

провести плоскость, касательную к эллипсоиду $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}+\dfrac {z^{2}}{c^{2}} = 1$.

Конусы касаются эллипсоида предыдущей задачи по плоским линиям, плоскости которых параллельны плоскости $x+y+z = 0$. Доказать, что геометрическое место вершин конусов есть прямая

Доказать, что условием касания плоскости $z = \alpha x+\beta y+\gamma$ и поверхности $Ax^{2}+By^{2}-2Cz = 0$ является равенство

Доказать, что плоскость, параллельная плоскости $z = \alpha x+\beta y$ и касающаяся эллипсоида $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}+\dfrac {z^{2}}{c^{2}} = 1$, имеет уравнение

Доказать, что условие касания прямой

и поверхности $Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+D = 0$ выражается равенством

Если при этом выполняются равенства

то прямая лежит на поверхности.

Прямая, параллельная вектору $\overrightarrow {P}(l,m,n)$, касается в точке $(x_{1},y_{1},z_{1})$ поверхности $Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+D = 0$. Доказать, что $Alx_{1}+Bmy_{1}+Cnz_{1} = 0$.

Плоскость, перпендикулярная к вектору $\overrightarrow {P}(l,m,n)$, касается поверхности $Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+D = 0$. Показать, что ее уравнение имеет вид

Плоскость, перпендикулярная к вектору $\overrightarrow {P}(l,m,n)$, касается поверхности $Ax^{2}+By^{2}+z = 0$. Показать, что ее уравнение имеет вид

Доказать, что геометрическое место вершин прямоугольных трехгранных углов, касающихся гранями поверхности $Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+D = 0$, есть поверхность шара

предполагая, что правая часть положительна.

Доказать, что геометрическое место вершин прямоугольных трехгранных углов, касающихся гранями поверхности $Ax^{2}+By^{2}+z = 0$, есть плоскость $z = \dfrac {1}{4A}+\dfrac {1}{4B}$.

Эллипсоид с полуосями $a$, $b$ и $c$ скользит, касаясь трех координатных плоскостей. Доказать, что расстояние его центра от начала координат равно $\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$.

Доказать, что геометрическое место вершин прямоугольных трехгранных углов, касающихся ребрами поверхности $Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+D = 0$, есть поверхность

Прямоугольный трехгранный угол скользит, касаясь ребрами поверхности $Ax^{2}+By^{2}+2z = 0$. Доказать, что его вершина движется по поверхности

Найти минимальные размеры ящика со стенками, параллельными плоскостям координат, в который может быть вложен эллипсоид $(x+y+z)^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2} = a^{2}$.

Шар $x^{2}+y^{2}+z^{2} = 2z$ освещен пучком лучей, параллельных прямой $x = y = z$. Найти форму тени на плоскости $xOy$.

Найти тень от эллипсоида $(x+y+z)^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2} = a^{2}$ на плоскости $x+y+z = 0$, если лучи перпендикулярны к этой плоскости.

Параболоид $xy = z$ проектируется на плоскость $xOy$ лучами, параллельными прямой $x = y = z$. Найти форму тени.

Точки касания плоскостей с поверхностью второго порядка расположены на линии пересечения ее с плоскостью, проходящей через центр. Доказать, что касательные плоскости параллельны одной и той же прямой.

Около эллипсоида $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}+\dfrac {z^{2}}{c^{2}} = 1$, где $a \geqslant b \geqslant c$, $a > c$, можно описать цилиндр с круговым поперечным сечением. Найти уравнение цилиндра.

Доказать, что при движении точек по некоторой плоскости полярная плоскость точки относительно данной поверхности второго порядка вращается около соответствующей точки.

Доказать, что при движении точки по прямой ее полярная плоскость вращается вокруг соответствующей прямой.

Найти геометрическое место точек касания касательных прямых, проведенных из данной точки к данной поверхности второго порядка.

Найти геометрическое место точек касания касательных к данной поверхности второго порядка, параллельных вектору $\overrightarrow {P}(l,m,n)$.

Круг радиуса $a$ скользит, касаясь трех координатных плоскостей. Найти поверхность, по которой движется его центр.

Прямоугольный трехгранный угол касается гранями данной окружности радиуса $a$. Доказать, что его вершина описывает поверхность шара радиуса $a\sqrt{2}$.