Круговые сечения, прямолинейные образующие и другие задачи

Через прямую $2x = 2y = z$ провести плоскость, пересекающую поверхность $4x^{2}-y^{2}+z = 0$ по равнобочной гиперболе.

Найти вершину параболы, получающейся при сечении цилиндра $y^{2} = 2x$ плоскостью $x+y+z = 1$.

Найти плоскости, в которых лежат оси симметрии эллипсов, получаемых при сечении эллипсоида $x^{2}+2y^{2}+3z^{2} = 1$ плоскостями, параллельными плоскости $2x+y+z = 0$.

Найти уравнения оси параболы, получаемой в сечении поверхности $x^{2}+y^{2}-2z^{2} = 1$ плоскостью $x+y-2z = 1$.

Найти плоскости, в которых лежат оси симметрии пересечения поверхности $x^{2}+2y^{2}-2z = 0$ плоскостями, параллельными плоскости $x+y+z = 0$.

Найти плоскость, в которой лежат оси симметрии парабол, получаемых при пересечении поверхности $y^{2}+2z^{2} = 2x$ плоскостями, перпендикулярными к вектору $\overrightarrow {P}(0,1,-1)$.

Найти плоскость, проходящую через начало координат и через ось вращения поверхности

Найти уравнения плоскостей, пересекающих эллипсоид $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}+\dfrac {z^{2}}{c^{2}} = 1$ по кругам. При этом $a > b > c$.

Найти геометрическое место вершин конусов, касающихся по кругам эллипсоида предыдущей задачи.

Найти круговые сечения однополостного гиперболоида

при $a > b$.

Найти круговые сечения поверхности

Найти геометрическое место центров круговых сечений эллипсоида

Найти общий вид плоскостей, пересекающих по кругам поверхность

Найти круговые сечения поверхности

При каких $\lambda$ и $\mu$ круговые сечения поверхности $x^{2}+y^{2}-\lambda xz-\mu yz-\lambda az-a^{2} = 0$ перпендикулярны к вектору $\overrightarrow {P}(1,1,1)$?

Найти уравнение цилиндра, проходящего через круг

и точку $(0,1,1)$ и имеющего взаимно перпендикулярные плоскости круговых сечений.

Каково геометрическое место центров сфер радиуса $R$, пересекающих эллипсоид $x^{2}+2y^{2}+3z^{2} = 1$ по кругам?

Найти геометрическое место вершин конусов вращения, проходящих через параболу

Доказать, что геометрическое место вершин круговых конусов, проходящих через эллипс

есть гипербола

Указание. Сфера, касающаяся кругового конуса и некоторой плоскости, имеет точку касания плоскости в фокусе получившегося сечения.

Поверхности второго порядка с центром в точке $(a,b,c)$ проходят через круг

Найти геометрическое место центров круговых сечений, плоскости которых проходят через начало координат.

Найти уравнения прямых, по которым поверхность конуса вращения $xy+xz+yz = 0$ пересекается с плоскостью, проходящей через ось и точку $(1,2,3)$.

На гиперболическом параболоиде $y^{2}-z^{2} = 2x$ найти место точек, через которые проходят две взаимно перпендикулярные образующие.

Тот же вопрос для поверхности $\dfrac {y^{2}}{p}-\dfrac {z^{2}}{q} = 2x$.

Найти прямолинейные образующие поверхности $xy+xz+x+y+1 = 0$.

Тот же вопрос для поверхности $x^{2}+3y^{2}+3z^{2}-2xy-2xz-2yz-6 = 0$.

Найти уравнения прямолинейных образующих поверхности $4y^{2}-z^{2}+x-8y-8z-2 = 0$, пересекающих ось $Ox$.

Найти величину наибольшего угла между образующими конуса $x^{2}+y^{2} = (x+y+z)^{2}$, а также направление его оси.

Найти уравнение гиперболоида, у которого прямые

являются образующими одной системы.

Найти уравнение параболоида, у которого прямые

— образующие одной системы.

Найти общее уравнение параболоидов, проходящих через окружность

и имеющих ось, параллельную вектору $\overrightarrow {P}(l,m,n)$.

Найти уравнение конуса, на поверхности которого лежат окружности

Найти координаты вершины конуса, на поверхности которого лежат окружность

и парабола

Найти параболоид, на котором лежат точки $(0,1,-1)$, $(1,-1,0)$ и прямые

Найти параболический цилиндр, на котором лежат параболы

Найти параболоид вращения, проходящий через точку $(1,1,2)$ и круг

Каково геометрическое место центров сфер данного радиуса, пересекающих эллиптический параболоид по окружностям?

Найти длины осей эллипса, получаемого сечением эллипсоида $x^{2}+y^{2}+4z^{2} = 1$ плоскостью $x+y+z = 0$.

Найти длины осей эллипса, получаемого сечением параболоида $2y^{2}+z^{2}-2x = 0$ плоскостью $x = y$.

Найти параметр параболы, лежащей на поверхности $x^{2}+2y^{2}+z^{2}+4xy-2xz-4yz+2x-6z = 0$ и в плоскости $x = z$.

Конус имеет вершину в фокусе вытянутого эллипсоида вращения и опирается на плоское сечение того же эллипсоида. Доказать, что этот конус есть конус вращения.