Поверхности второго порядка. Центр и диаметральные плоскости

Найти общее уравнение поверхностей второго порядка, пересекаемых плоскостью $xOy$ по кривой $\alpha x^{2}+\beta xy+\gamma y^{2}+\delta x+\varepsilon y+\zeta = 0$.

Найти поверхность второго порядка, на которой лежат окружности

Через начало координат провести прямые асимптотического направления для поверхности $x^{2}-2y^{2}-4xy-10xz-4yz-10 = 0$, параллельные плоскости $3x+y-4z-3 = 0$.

Показать, что уравнению $x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xz+2y+1 = 0$ удовлетворяют только точки прямой

Показать, что уравнению

удовлетворяют координаты лишь одной точки $(-1,1,1)$.

Написать уравнение второго порядка, которому удовлетворяют только координаты точки $(2,1,1)$.

Составить уравнение второго порядка, которому удовлетворяют только координаты точек прямой $2x+2 = 3y = 2z$.

Найти уравнение совокупности плоскостей $x+2y-z+1 = 0$ и $x-y+z+1 = 0$.

Найти прямые, по которым поверхность конуса $z^{2}-2xy-4x-2y+2z-3 = 0$ пересекается с плоскостью $x+y+2z+5 = 0$.

Найти образующие поверхности $x^{2}+y^{2}-z^{2} = 1$, проходящие через точку $(1,1,1)$.

Найти образующую поверхности $x^{2}-y^{2} = 2z$, параллельную плоскости $x+y+z = 0$.

Найти прямые, параллельные образующим двух поверхностей:

Через точки $(0,-2,2)$ и $(-1,0,0)$ провести плоскости, пересекающие конус $x^{2}+y^{2} = z^{2}$ по параболам.

Через те же точки провести плоскости, пересекающие тот же конус по эллипсам.

Преобразовать уравнение $x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy-2yz+6xz+2x-6y-2z = 0$, перенеся начало координат в центр.

То же для поверхности

То же для поверхности $4xy+4xz-4y-4z-1 = 0$.

Найти геометрическое место центров поверхностей $x^{2}+y^{2}-z^{2}+\lambda xz+\mu yz-2x-2y-2z = 0$.

Из центра поверхности $x^{2}+4y^{2}-40z^{2}+4x-8y-16z-12 = 0$ провести прямые асимптотического направления.

Найти уравнение гиперболоида, проходящего через точку $(2,1,1)$, зная асимптотический конус этого гиперболоида $x^{2}+y^{2}-z^{2} = 0$.

Доказать, что геометрическое место центров поверхностей второго порядка, проходящих через данный эллипс и через две точки, симметричные относительно плоскости этого эллипса, есть поверхность второго порядка.

Обозначая через $s_{\lambda \mu \nu }$ левую часть уравнения плоскости, проходящей через точки $\lambda$ и $\mu$, доказать, что уравнение

при любом выборе коэффициентов $A$, $B$ и $C$ изображает поверхность второго порядка, проходящую через шесть данных точек, обозначенных номерами $1,2,3,4,5$ и $6$.

Общее уравнение поверхности второго порядка можно записать в виде $Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+K = 0$. Введением переменной $t$ левую часть можно превратить в квадратичную форму четырех переменных

так что при $t = 1$ уравнение поверхности записывается как $\Phi (x,y,z,1) = 0$. При $t = 0$ форма $\Phi$ обращается в тройничную квадратичную форму $f(x,y,z) = Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Dxy+Exz+Fyz$. Имеет место тождество (формула Тейлора для квадратичной формы):

Пользуясь формулой Тейлора (*), доказать, что при переносе начала координат в точку $(\xi ,\eta ,\zeta )$ уравнение поверхности $\Phi (x,y,z,1) = 0$ переходит в такое:

Если определитель $\Delta_{3} = \begin{vmatrix} A & D & E \\ D & B & F \\ E & F & C \end{vmatrix}$ отличен от нуля, то можно найти такие $\xi$, $\eta$ и $\zeta$, при которых $\dfrac {\partial \Phi }{\partial \xi } = 0$, $\dfrac {\partial \Phi }{\partial \eta } = 0$, $\dfrac {\partial \Phi }{\partial \zeta } = 0$. Доказать, что при переносе начала координат в точку $(\xi ,\eta ,\zeta )$ уравнение поверхности $\Phi (x,y,z,1) = 0$ переходит в такое:

Здесь $\left.\dfrac {\partial \Phi }{\partial t}\right|_{t=1}$ — частная производная, взятая при $t = 1$. Указанный перенос есть преобразование к центру.

Если $(x,y,z)$ — середина хорды поверхности $\Phi (x,y,z,1) = 0$ (обозначения $\Phi$ и $f$ те же, что в задаче 577), а $(x+l\sigma ,y+m\sigma ,z+n\sigma )$ и $(x-l\sigma ,y-m\sigma ,z-n\sigma )$ — ее концы, то справедливо равенство

Доказать.

Доказать, что середины хорд поверхности $\Phi (x,y,z,1) = 0$ (обозначение то же, что в задаче 577), параллельных вектору $\overrightarrow {P}(l,m,n)$, лежат на плоскости

(Диаметральная плоскость, сопряженная с направлением вектора $\overrightarrow {P}$.)

Доказать, что для поверхности $f(x,y,z) \mp k = 0$ (обозначение $f$ то же, что в задаче 577) уравнение диаметральной плоскости, сопряженной с направлением вектора $\overrightarrow {P}(l,m,n)$, можно написать в каждом из двух видов:

и

Доказать, что для поверхности $\Phi (x,y,z,1) = 0$ (обозначения те же, что в задаче 577) уравнение диаметральной плоскости, сопряженной с направлением вектора $\overrightarrow {P}(l,m,n)$, можно написать в таком виде:

Здесь $\dfrac {\partial f}{\partial l}$, $\dfrac {\partial f}{\partial m}$ и $\dfrac {\partial f}{\partial n}$ — частные производные от $f(l,m,n)$, а $\left.\dfrac {\partial \Phi }{\partial t}\right|_{t=0}$ — значение величины $\dfrac {\partial \Phi (l,m,n,t)}{\partial t}$ при $t = 0$.

Найти диаметральную плоскость поверхности $x^{2}+2y^{2}-z^{2}-2xy-2yz+2xz-4x-1 = 0$, сопряженную с направлением вектора $\overrightarrow {P}(1,-1,0)$.

Найти диаметральную плоскость поверхности $x^{2}+2y^{2}-z^{2}-2xy-2yz+2xz-4x-1 = 0$, параллельную плоскости $x+y+z = 0$.

У той же поверхности найти диаметральную плоскость, проходящую через точки $(0,0,0)$ и $(1,1,0)$.

Найти диаметральную плоскость поверхности $x^{2}+z^{2}-2x-1 = 0$, проходящую через точку $(2,1,0)$, а также направление, с ней сопряженное.

Найти диаметральную плоскость поверхности $4x^{2}+y^{2}+z^{2}+4xy-4xz-2yz+x-y-1 = 0$, проходящую через начало координат.

Найти уравнения диаметра поверхности $4x^{2}+6y^{2}+4z^{2}+4xz+8y-4z+3 = 0$, перпендикулярного к плоскости $xOz$.

Плоскость $x = 0$ есть диаметральная плоскость поверхности $xy = z$. Найти хорды, с которыми она сопряжена.

Найти диаметральную плоскость, общую поверхностям $x^{2}+y+z = 0$ и $x^{2}+y^{2}-2x-2y-2z = 0$.

Найти уравнение диаметра поверхности $x^{2}+2y^{2}-z^{2}-2xy-2yz+2xz-4x-1 = 0$, соответствующего плоскости $x+y+z-6 = 0$.

Найти геометрическое место центров сечений поверхности $x^{2}+2y^{2}+2z^{2}-2xy-2yz+2x-2z-1 = 0$ плоскостями, параллельными плоскости $x-y+z = 0$.

Зная диаметр

поверхности $x^{2}+y^{2}+z^{2}-2yz-2x-y+1 = 0$, найти уравнения плоскостей, ему соответствующих.