Векторы и координаты в пространстве

Проекции вектора на оси $Ox$, $Oy$, $Oz$ равны $(1,-4,8)$. Найти длину вектора и косинусы его углов с осями.

Найти сумму векторов $\overrightarrow {a}+\overrightarrow {b}+\overrightarrow {c}$, если $\overrightarrow {a} = 5\overrightarrow {i}+7\overrightarrow {j}+8\overrightarrow {k}$, $\overrightarrow {b} = 3\overrightarrow {i}-4\overrightarrow {j}+6\overrightarrow {k}$, $\overrightarrow {c} = -6\overrightarrow {i}-9\overrightarrow {j}-5\overrightarrow {k}$, и длину этого вектора.

Вычислить скалярное произведение $\overrightarrow {a} \cdot \overrightarrow {b}$, если $\overrightarrow {a} = 2\overrightarrow {i}+3\overrightarrow {j}+4\overrightarrow {k}$, $\overrightarrow {b} = 3\overrightarrow {i}+\overrightarrow {j}-3\overrightarrow {k}$.

Вычислить векторное произведение $\overrightarrow {a} \times \overrightarrow {b}$ векторов предыдущей задачи.

Проверить тождества:

Из последнего тождества предыдущей задачи получить тождество Лагранжа

Показать, что если $\overrightarrow {a}+\overrightarrow {b}+\overrightarrow {c} = 0$, то $\overrightarrow {a} \times \overrightarrow {b} = \overrightarrow {b} \times \overrightarrow {c} = \overrightarrow {c} \times \overrightarrow {a}$.

Найти угол между векторами $\overrightarrow {i}+2\overrightarrow {j}+2\overrightarrow {k}$ и $-\overrightarrow {i}+2\overrightarrow {j}+4\overrightarrow {k}$.

Найти угол между биссектрисами углов $xOy$ и $xOz$.

В треугольнике $ABC$ найти величину стороны $AB$ и угол $BAC$, если известны координаты вершин: $A(2,-3,1)$, $B(4,11,6)$, $C(4,-4,3)$.

Воспользовавшись формулой для вычисления векторного произведения, найти площадь треугольника $ABC$, зная координаты вершин $A(-2,1,3)$, $B(2,-1,7)$, $C(11,2,-5)$.

Найти проекцию вектора $\overrightarrow {AB}$ на направление $CD$, если известны точки $A(1,-2,3)$, $B(4,-4,-3)$, $C(2,4,3)$, $D(8,6,6)$.

Проверить, что векторы $7\overrightarrow {i}+6\overrightarrow {j}-6\overrightarrow {k}$ и $6\overrightarrow {i}+2\overrightarrow {j}+9\overrightarrow {k}$ могут быть взяты за ребра куба. Найти третье ребро куба.

Вычислить смешанное (векторно-скалярное) произведение $(\overrightarrow {a} \times \overrightarrow {b}) \cdot \overrightarrow {c}$, если $\overrightarrow {a} = \overrightarrow {i}+3\overrightarrow {j}-\overrightarrow {k}$, $\overrightarrow {b} = 3\overrightarrow {i}+2\overrightarrow {j}$, $\overrightarrow {c} = 2\overrightarrow {i}-\overrightarrow {j}+3\overrightarrow {k}$.

Вычислить следующие двойные векторные произведения трех векторов предыдущей задачи: $\overrightarrow {a} \times (\overrightarrow {b} \times \overrightarrow {c})$ и $(\overrightarrow {a} \times \overrightarrow {b}) \times \overrightarrow {c}$.

Вычислить объем тетраэдра $ABCD$, зная координаты его вершин $A(2,1,5)$, $B(4,0,8)$, $C(6,-2,6)$, $D(5,0,3)$.

Вычислить высоту тетраэдра $ABCD$ предыдущей задачи, опущенную из точки $D$.

Определить плечо вектора $\overrightarrow {AB}$ относительно точки $C$, т.е. длину перпендикуляра из точки $C$ на прямую $AB$. Известны положения точек $A(2,0,3)$, $B(4,6,0)$, $C(1,-3,8)$.

Проверить тождество

Доказать формулу:

При каком значении $m$ векторы $\overrightarrow {a} = \overrightarrow {i}+\overrightarrow {j}+m\overrightarrow {k}$; $\overrightarrow {b} = \overrightarrow {j}$; $\overrightarrow {c} = 3\overrightarrow {i}+\overrightarrow {k}$ компланарны и, значит, $(\overrightarrow {a} \times \overrightarrow {b}) \cdot \overrightarrow {c} = 0$.

Решить предыдущую задачу, исходя из соображения, что при компланарности $\overrightarrow {a}, \overrightarrow {b}, \overrightarrow {c}$ имеется равенство $\overrightarrow {a} = \lambda \overrightarrow {b}+\mu \overrightarrow {c}$, где $\lambda$ и $\mu$ — скалярные множители.

Три вектора $\overrightarrow {a}^{*}$, $\overrightarrow {b}^{*}$, $\overrightarrow {c}^{*}$ называются взаимными с тремя некомпланарными векторами $\overrightarrow {a}$, $\overrightarrow {b}$, $\overrightarrow {c}$, если $\Delta \overrightarrow {a}^{*} = \overrightarrow {b} \times \overrightarrow {c}$, $\Delta \overrightarrow {b}^{*} = \overrightarrow {c} \times \overrightarrow {a}$, $\Delta \overrightarrow {c}^{*} = \overrightarrow {a} \times \overrightarrow {b}$, где число $\Delta$ определяется равенством $\Delta = (\overrightarrow {a} \times \overrightarrow {b}) \cdot \overrightarrow {c}$.

Доказать, что вектор $\overrightarrow {x}$, определяемый из системы уравнений $\overrightarrow {x} \cdot \overrightarrow {a} = m$, $\overrightarrow {x} \cdot \overrightarrow {b} = n$, $\overrightarrow {x} \cdot \overrightarrow {c} = p$, где $\overrightarrow {a}$, $\overrightarrow {b}$, $\overrightarrow {c}$ и $m$, $n$, $p$ заданы и $\Delta \neq 0$, имеет вид $\overrightarrow {x} = m\overrightarrow {a}^{*}+n\overrightarrow {b}^{*}+p\overrightarrow {c}^{*}$.

Представить в векторном виде решение обыкновенной системы

Проверить, что все векторы $\overrightarrow {x}$, удовлетворяющие уравнению $\overrightarrow {x} \cdot \overrightarrow {a} = m$, могут быть даны в таком виде: $\overrightarrow {x} = \dfrac {m}{\left|\overrightarrow {a}\right|^{2}}\overrightarrow {a}+\overrightarrow {a} \times \overrightarrow {c}$, где $\overrightarrow {c}$ — совершенно произвольный вектор.

Проверить, что по векторному уравнению $\overrightarrow {x} \times \overrightarrow {a} = \overrightarrow {b}$ возможно найти $\overrightarrow {x}$, только если $\overrightarrow {a}$ и $\overrightarrow {b}$ взаимно перпендикулярны, и в этом случае

где $n$ — произвольный скалярный множитель.

Если заданы векторы $\overrightarrow {a}$ и $\overrightarrow {b}$, причем $\overrightarrow {a}$ перпендикулярен $\overrightarrow {b}$, то из двух векторных уравнений $\overrightarrow {x} \cdot \overrightarrow {a} = m$ и $\overrightarrow {x} \times \overrightarrow {a} = \overrightarrow {b}$ вектор $\overrightarrow {x}$ определяется однозначно. Проверить это и найти $\overrightarrow {x}$.

Определить вектор $\overrightarrow {x}$ из системы $\overrightarrow {x} \cdot \overrightarrow {i} = 3$, $\overrightarrow {x} \times \overrightarrow {i} = -2\overrightarrow {k}$.

Если трехгранный угол пересечь сферой единичного радиуса с центром в вершине трехгранного угла, то на поверхности сферы в пересечении получится сферический треугольник. Его стороны $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ измеряют плоские углы трехгранного угла, а его углы $A$, $B$, $C$ измеряют двугранные углы трехгранного угла.

Расположив орты ребер: а) $\overrightarrow {e}_{1}$ по оси $Oz$, б) $\overrightarrow {e}_{2}$ в плоскости $xOz$ под углом $\alpha$ к оси $Oz$, в) $\overrightarrow {e}_{3}$ в некоторой меридиональной плоскости и сосчитав двояко $\overrightarrow {e}_{2} \cdot \overrightarrow {e}_{3}$, получить теорему косинусов сферической тригонометрии

При таком же расположении ортов вычислить $(\overrightarrow {e}_{1} \times \overrightarrow {e}_{2}) \cdot \overrightarrow {e}_{3}$. Циклически переставляя орты, получить теорему синусов сферической тригонометрии $\dfrac {\sin \alpha }{\sin A} = \dfrac {\sin \beta }{\sin B} = \dfrac {\sin \gamma }{\sin C}$.

Три орта составляют между собой углы $\alpha$, $\beta$, $\gamma$. Проверить, что объем параллелепипеда, построенного на них (синус Штаудта), равен

Найти объем параллелепипеда, ребра которого имеют длины $2, 3, 4$, а плоские углы трехгранного угла $120^{\circ }$, $150^{\circ }$, $60^{\circ }$.

Проверить, что если $\overrightarrow {a}$ и $\overrightarrow {b}$ — любые два непараллельных вектора, то векторы $\dfrac {\overrightarrow {a}}{\left|\overrightarrow {a}\right|}$, $\dfrac {\overrightarrow {a} \times \overrightarrow {b}}{\left|\overrightarrow {a} \times \overrightarrow {b}\right|}$, $\dfrac {(\overrightarrow {a} \times \overrightarrow {b}) \times \overrightarrow {a}}{\left|(\overrightarrow {a} \times \overrightarrow {b}) \times \overrightarrow {a}\right|}$ являются тремя взаимно перпендикулярными ортами. Найти их расположение относительно данных векторов.

Даны орты $\overrightarrow {e}_{1}$ и $\overrightarrow {e}_{2}$. Найти орт, лежащий в плоскости $\overrightarrow {e}_{1}$ и $\overrightarrow {e}_{2}$ и образующий угол $\theta$ с вектором $\overrightarrow {e}_{1}$.

Найти орт, лежащий в плоскости векторов $\overrightarrow {r}_{1} = 6\overrightarrow {i}+2\overrightarrow {j}+3\overrightarrow {k}$ и $\overrightarrow {r}_{2} = 6\overrightarrow {i}-2\overrightarrow {j}+3\overrightarrow {k}$ между ними и составляющий угол $45^{\circ }$ с $\overrightarrow {r}_{1}$.

Вектор $\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {r}$ повернуть на угол $\omega$ вокруг оси, имеющей направление орта $\overrightarrow {e}$ и проходящей через точку $O$.

Повернуть вектор $\overrightarrow {OM} = 2\overrightarrow {i}+\overrightarrow {j}+2\overrightarrow {k}$ около биссектрисы угла $xOy$ на $60^{\circ }$.

Доказать равенство:

где буквами $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ обозначены косинусы углов между старыми и новыми осями.

Косинусы углов между новыми и прежними осями даны таблицей:

Доказать, что у точек, для которых $x : y : z = 4 : (-2) : 1$, новые координаты равны старым.