Непрерывные случайные величины

При каких значениях параметров следующие функции являются плотностями вероятности?

Найдите функцию плотности $Y = a X$, где $a > 0$, через функцию плотности $X$. Покажите, что непрерывные случайные величины $X$ и $-X$ имеют одинаковую функцию распределения тогда и только тогда, когда $f_{X}(x) = f_{X}(-x)$ для всех $x \in \mathbb {R}$.

Если $f$ и $g$ — функции плотности случайных величин $X$ и $Y$, покажите, что $\alpha f+(1-\alpha ) g$ является функцией плотности при $0 \leq \alpha \leq 1$, и опишите случайную величину, для которой она является функцией плотности.

Пусть $X$ — положительная случайная величина с функцией плотности $f$ и функцией распределения $F$. Определим функцию риска $H(x) = -\log [1-F(x)]$ и интенсивность отказов

Покажите, что:

Я продаю свой дом и решил принять первое предложение, превышающее $£ K$. Предполагая, что предложения являются независимыми случайными величинами с общей функцией распределения $F$, найдите математическое ожидание числа предложений, полученных до продажи дома.

Пусть $X$ и $Y$ — независимые случайные величины с общей функцией распределения $F$ и функцией плотности $f$. Покажите, что $V = \max \left\{ X, Y\right\}$ имеет функцию распределения $\mathbb {P}\left(V \leq x\right) = F(x)^{2}$ и функцию плотности $f_{V}(x) = 2 f(x) F(x), x \in \mathbb {R}$. Найдите функцию плотности $U = \min \left\{ X, Y\right\}$.

Ежегодные показатели количества осадков в Бандрике представляют собой независимые одинаково распределённые непрерывные случайные величины $\left\{ X_{r}: r \geq 1\right\}$. Найдите вероятность того, что:

Пусть $\left\{ X_{r}: r \geq 1\right\}$ — независимые одинаково распределённые случайные величины с функцией распределения $F$, удовлетворяющей условию $F(y) < 1$ для всех $y$, и пусть $Y(y) = \min \left\{ k: X_{k} > y\right\}$. Покажите, что

Пусть $P_{i} = \left(X_{i}, Y_{i}\right), 1 \leq i \leq n$, — независимые, равномерно распределённые точки в единичном квадрате $[0,1]^{2}$. Точка $P_{i}$ называется периферийной, если для всех $r = 1,2, \ldots , n$ выполняется $X_{r} \leq X_{i}$ или $Y_{r} \leq Y_{i}$, или оба условия. Покажите, что математическое ожидание числа периферийных точек равно $n\left(\frac{3}{4}\right)^{n-1}$.

Пусть $U$ и $V$ — независимые случайные величины, равномерно распределённые на отрезке $[0,1]$.

При каких значениях $\alpha$ величина $\mathbb {E}\left[|X|^{\alpha }\right]$ конечна, если плотность распределения $X$ равна:

Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{n}$ — независимые одинаково распределённые случайные величины, и пусть $S_{m} = X_{1}+ X_{2}+\cdots +X_{m}$. Предположим, что $\mathbb {P}\left(S_{n} = 0\right) = 0$. Покажите, что если $m \leq n$, то $\mathbb {E}\left[S_{m} / S_{n}\right] = m / n$.

Пусть $X$ — неотрицательная случайная величина с плотностью распределения $f$. Покажите, что

для любого $r \geq 1$, при котором данное математическое ожидание конечно.

Покажите, что математическое ожидание $\mu$, медиана $m$ и дисперсия $\sigma^{2}$ непрерывной случайной величины $X$ удовлетворяют неравенству $(\mu -m)^{2} \leq \sigma^{2}$.

Пусть $X$ — случайная величина с математическим ожиданием $\mu$ и непрерывной функцией распределения $F$.

Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{n}$ — неотрицательные случайные величины с конечными математическими ожиданиями. Покажите, что

Если $X$ — непрерывная случайная величина и $\mathbb {E}\left[X^{r}\right]$ существует, где $r \geq 1$ — целое число, покажите, что

Пусть $X$ — случайная величина, принимающая значения в $[0, a]$, с плотностью распределения $f$, удовлетворяющей $f(x) \leq b$ для всех $x$. Покажите, что $\mathbb {E}\left[X\right] \geq (2 b)^{-1}$. В более общем виде покажите, что при $n \geq 1$ выполняется $\mathbb {E}\left[X^{n}\right] \geq 1 /\left[(n+1) b^{n}\right]$.

Пусть $X$ — непрерывная случайная величина с конечной дисперсией. Покажите, что $g(a) = \mathbb {E}\left[(X-a)^{2}\right]$ минимальна при $a = \mathbb {E}\left[X\right]$.

По мишени, представляющей собой круг с центром $O$ и единичным радиусом, производится $n$ выстрелов из лука. Стрелы попадают в независимые точки мишени, причём для каждой стрелы вероятность попадания на расстояние $a \in (0,1)$ от $O$ равна $a^{2}$. Пусть $R$ — радиус наименьшего круга с центром в $O$, покрывающего все попадания стрел. Покажите, что $R$ имеет плотность $f(r) = 2 n r^{2 n-1}, 0 \leq r \leq 1$, и найдите среднюю площадь этого круга.

Стрела, попавшая дальше всех от $O$, выбывает. Покажите, что площадь наименьшего круга с центром в $O$, покрывающего оставшиеся попадания, равна $(n-1) \pi /(n+1)$.

Пусть $X$ — непрерывная случайная величина с дисперсией $\sigma^{2}$, унимодальная с модой $M$. Покажите, что $\left|M-\mathbb {E}\left[X\right]\right| \leq \sigma \sqrt{3}$, причём равенство достигается тогда и только тогда, когда $X$ имеет равномерное распределение.

Что можно сказать о $\left|M-m\right|$, где $m$ — медиана $X$?

Футбольный мяч помещается в точку $W$, равномерно распределённую на единичном отрезке $[0,1]$, и получает удар со случайной ненулевой скоростью $V$, имеющей распределение, симметричное относительно $0$. Предполагая, что $V$ и $W$ независимы, покажите (пренебрегая сопротивлением воздуха), что момент времени $T$, в который мяч достигает конца отрезка, унимодален.

Вот ещё два вопроса, касающихся футбольного мяча из предыдущего упражнения.

Докажите, что гамма-функция удовлетворяет соотношению $\Gamma (t) = (t-1) \Gamma (t-1)$ при $t > 1$, и выведите отсюда, что $\Gamma (n) = (n-1)!$ при $n = 1,2, \ldots$ Покажите, что $\Gamma \left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi }$, и выведите замкнутую форму для $\Gamma \left(n+\frac{1}{2}\right)$ при $n = 0,1,2, \ldots$.

Покажите, как в пункте (4.4.8), что бета-функция удовлетворяет соотношению $B(a, b) = \Gamma (a) \Gamma (b) / \Gamma (a+b)$.

Пусть $X$ имеет равномерное распределение на $[0,1]$. При какой функции $g$ величина $Y = g(X)$ имеет экспоненциальное распределение с параметром 1?

Найдите функцию распределения случайной величины $X$ с распределением Коши. При каких значениях $\alpha$ величина $\left|X\right|$ имеет конечный (возможно, дробный) момент порядка $\alpha$?

Пусть $Y = e^{X}$, где $X$ имеет распределение $N(0,1)$. Найдите плотность распределения $Y$.

Пусть $X$ имеет распределение $N\left(\mu , \sigma^{2}\right)$. Покажите, что $\mathbb {E}\left[(X-\mu ) g(X)\right] = \sigma^{2} \mathbb {E}\left[g^{\prime }(X)\right]$, когда обе части существуют.

Используя терминологию Упражнения (4.1.4), найдите интенсивность отказов, если:

Пусть $X_1, X_2, X_3$ — независимые случайные величины с экспоненциальным распределением и параметрами $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ соответственно. Покажите, что

Пусть $U$ и $X$ независимы, где $U$ равномерна на $(0,1)$, а $X$ имеет экспоненциальное распределение с параметром $\lambda$. Покажите, что $\mathbb {E}\left[\min \left\{ U, X\right\} \right] = \lambda^{-1} e^{-\lambda }-\lambda^{-2}\left(1-e^{-\lambda }\right)$.

Пусть $X$ имеет распределение Коши. Покажите, что $Y = 1 /\left(1+X^{2}\right)$ имеет плотность распределения арксинуса

Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots$ — независимые случайные величины, равномерно распределённые на $[-c, c]$.

Пусть $X$ имеет бета-распределение $\beta (a, b)$. Покажите, что $Y = X /(1-X)$ имеет плотность распределения

Оно называется бета-распределением второго рода. Найдите $\mathbb {E}\left[Y^{n}\right]$, где $1 \leq n < b$.

Пусть $Z$ имеет распределение $\Gamma (1, t)$ из пункта (4.4.6). Покажите, что

Пусть

Покажите, что $f$ — непрерывная совместная плотность распределения, но (первая) маргинальная плотность распределения $g(x) = \int_{-\infty }^{\infty } f(x, y) d y$ не является непрерывной.

Пусть $Q = \left\{ q_{n}: n \geq 1\right\}$ — множество действительных чисел, и определим

Покажите, что $f_{Q}$ — непрерывная совместная плотность распределения, первая маргинальная плотность распределения которой разрывна в точках множества $Q$. Можете ли вы построить непрерывную совместную плотность распределения, первая маргинальная плотность распределения которой не является непрерывной нигде?

Две сетки параллельных линий накладываются друг на друга: первая сетка содержит линии на расстоянии $a$ друг от друга, а вторая содержит линии на расстоянии $b$ друг от друга, перпендикулярные линиям первой сетки. Игла длины $r( < \min \left\{ a, b\right\} )$ бросается случайным образом. Покажите, что вероятность того, что она пересечёт линию, равна $r(2 a+2 b-r) /(\pi a b)$.

Плоскость расчерчена линиями $y = n$ при $n = 0, \pm 1, \ldots$, и на эту плоскость бросается крест, образованный сваркой двух единичных игл перпендикулярно друг другу в их серединах.

Пусть $X$ и $Y$ — независимые случайные величины, каждая из которых имеет равномерное распределение на $[0,1]$. Пусть $U = \min \left\{ X, Y\right\}$ и $V = \max \left\{ X, Y\right\}$. Найдите $\mathbb {E}\left[U\right]$ и, используя это, вычислите $\operatorname {Cov}\left[U, V\right]$.

Три точки A, B, C выбираются независимо и случайно на окружности круга. Пусть $b(x)$ — вероятность того, что хотя бы один из углов треугольника ABC превышает $x \pi$. Покажите, что

Отсюда найдите плотность распределения и математическое ожидание наибольшего угла треугольника.

Пусть $\left\{ X_{r}: 1 \leq r \leq n\right\}$ — независимые одинаково распределённые случайные величины с конечной дисперсией, и пусть $\bar{X} = n^{-1} \sum_{r = 1}^{n} X_{r}$. Покажите, что $\operatorname {Cov}\left[\bar{X}, X_{r}-\bar{X}\right] = 0$.

Пусть $X$ и $Y$ — независимые случайные величины с конечными дисперсиями, и пусть $U = X+Y$ и $V = X Y$. При каком условии $U$ и $V$ некоррелированы?

Пусть $X$ и $Y$ — независимые непрерывные случайные величины, и пусть $U$ независима от $X$ и $Y$ и принимает значения $\pm 1$ с вероятностью $\frac{1}{2}$. Определим $S = U X$ и $T = U Y$. Покажите, что $S$ и $T$ в общем случае зависимы, но $S^{2}$ и $T^{2}$ независимы.

Пусть $X, Y, Z$ — независимые одинаково распределённые непрерывные случайные величины. Покажите, что $\mathbb {P}\left(X > Y\right) = \mathbb {P}\left(Z > Y\right) = \frac{1}{2}$. Чему равно $\mathbb {P}\left(Z > Y \mid X > Y\right)$?

Пусть $(X, Y)$ и $(U, V)$ — независимые случайные векторы с общей функцией распределения $F(x, y)$ и маргинальными функциями распределения $F_{X}(x)$ и $F_{Y}(y)$. Покажите, что при $\left|\operatorname {Cov}\left[X, Y\right]\right| < \infty$ выполняется $\mathbb {E}\left[(X-U)(Y-V)\right] = 2 \operatorname {Cov}\left[X, Y\right]$, и

Пусть пара $X, Y$ имеет двумерное нормальное распределение с нулевыми математическими ожиданиями, единичными дисперсиями и корреляцией $\rho$. Покажите, что

Пусть $X$ имеет экспоненциальное распределение с параметром $\lambda$. Пусть $N$ — наибольшее целое число, не превосходящее $X$, и пусть $M = X-N$. Покажите, что $M$ и $N$ независимы. Найдите плотность распределения $M$ и распределение $N$.

Пусть $X$ и $Y$ — независимые случайные величины $N(0,1)$. Покажите, что если $2 a < 1,2 b < 1$ и $4 b^{2} < (1-2 a)(1-2 c)$, то

Пусть $X, Y$ — случайные величины с совместной плотностью распределения $f(x, y)$ и маргинальными плотностями $g, h$. Их коэффициент сопряжённости задаётся как

Если $X, Y$ имеют двумерное нормальное распределение с корреляцией $\rho \in (-1,1)$, покажите, что $1+\phi^{2} = 1 /\left(1-\rho^{2}\right)$. Покажите также, что их взаимная информация (см. Упражнение (3.6.5)) равна $I = -\frac{1}{2} \log \left(1-\rho^{2}\right)$.

Пусть $X$ равномерно распределена на $[-1,1]$. Коррелированы ли случайные величины $Z_{n} = \cos (n \pi X), n = 1,2, \ldots$? Независимы ли они? Обоснуйте свои ответы.

Среднее абсолютное различие, или MAD, двух независимых случайных величин $X, Y$ с общей функцией распределения $F$ задаётся как $\operatorname {MAD} = \mathbb {E}\left[\left|X-Y\right|\right]$. Покажите, что для неотрицательных случайных величин $X, Y$

В более общем случае, для $X$ и $Y$, принимающих значения в $\mathbb {R}$, с общей непрерывной функцией распределения с единственной обратной функцией $Q$, покажите, что

Найдите $\operatorname {MAD}$ для следующих распределений:

Пусть $X, Y$ — независимые случайные величины $N(0,1)$, и $U = \min \left\{ \left|X\right|,\left|Y\right|\right\}$, $V = \max \left\{ \left|X\right|,\left|Y\right|\right\}$. Покажите, что $\mathbb {E}\left[U / V\right] = (4 / \pi ) \log \sqrt{2}$.

Точка $P = (X, Y)$ выбирается равномерно случайно внутри треугольника $\Delta$ с вершинами $(1,0),(1,1),(0,1)$. Покажите, что треугольник ABC с $\mathrm{BC} = X, \mathrm{CA} = Y, \mathrm{AB} = 2-X-Y$ всегда может быть построен, и докажите, что угол $\widehat{\mathrm{ABC}}$ тупой с вероятностью $3-4 \log 2$.

Случайные величины $X, Y$ имеют совместную плотность распределения $f(x, y) = 3\left((x+y)-\left(x^{2}+y^{2}\right)\right)$ при $x, y \in [0,1]$. Покажите, что $X$ и $Y$ некоррелированы, но зависимы.

Точка выбирается равномерно случайно на поверхности единичной сферы. Обозначив $\Theta$ и $\Phi$ её долготу и широту, найдите условные плотности распределения $\Theta$ при заданном $\Phi$ и $\Phi$ при заданном $\Theta$.

Покажите, что условное математическое ожидание $\psi (X) = \mathbb {E}\left[Y \mid X\right]$ удовлетворяет $\mathbb {E}\left[\psi (X\right] g(X)) = \mathbb {E}\left[Y g(X\right])$ для любой функции $g$, при которой обе части существуют.

Постройте пример двух случайных величин $X$ и $Y$, для которых $\mathbb {E}\left[Y\right] = \infty$, но при этом $\mathbb {E}\left[Y \mid X\right] < \infty$ почти наверное.

Найдите условную плотность распределения и условное математическое ожидание $Y$ при заданном $X$, если их совместная плотность распределения равна:

Пусть $Y$ распределена как $\operatorname {bin}(n, X)$, где $X$ — случайная величина, имеющая бета-распределение на $[0,1]$ с параметрами $a$ и $b$. Опишите распределение $Y$ и найдите его математическое ожидание и дисперсию. Каково распределение $Y$ в частном случае, когда $X$ равномерна?

Пусть $\left\{ X_{r}: r \geq 1\right\}$ — независимые случайные величины, равномерно распределённые на $[0,1]$. Пусть $0 < x < 1$, и определим

Покажите, что $\mathbb {P}\left(N > n\right) = x^{n} / n!$, и, используя это, найдите математическое ожидание и дисперсию $N$.

Пусть $X$ и $Y$ — случайные величины с корреляцией $\rho$. Покажите, что $\mathbb {E}\left[\operatorname {Var}\left[Y \mid X\right]\right] \leq \left(1-\rho^{2}\right) \operatorname {Var}\left[Y\right]$.

Пусть $X, Y, Z$ — независимые экспоненциальные случайные величины с параметрами $\lambda , \mu , \nu$ соответственно. Найдите $\mathbb {P}\left(X < Y < Z\right)$.

Пусть $X$ и $Y$ имеют совместную плотность $f(x, y) = c x(y-x) e^{-y}, 0 \leq x \leq y < \infty$.

Пусть $\left\{ X_{r}: r \geq 0\right\}$ — независимые одинаково распределённые случайные величины с плотностью распределения $f$ и функцией распределения $F$. Пусть $N = \min \left\{ n \geq 1: X_{n} > X_{0}\right\}$ и $M = \min \left\{ n \geq 1 : X_{0} \geq X_{1} \geq \cdots \geq X_{n-1} < X_{n}\right\}$. Покажите, что $X_{N}$ имеет функцию распределения $F+(1-F) \log (1-F)$, и найдите $\mathbb {P}\left(M = m\right)$.

Пусть точка $P = (X, Y)$ равномерно распределена в квадрате $S = [0,1]^{2}$, и обозначим через $f(x \mid D)$ плотность распределения $X$ при условии события $D$, состоящего в том, что $P$ лежит на диагонали $S$, проходящей через начало координат.