Банк задач по математике

Задача 4.1.1

(a)(b)(c)

При каких значениях параметров следующие функции являются плотностями вероятности?

?

(a)

$f(x) = C\left\{ x(1-x)\right\}^{-\frac{1}{2}}, 0 < x < 1$ , плотность «закона арксинуса».

(b)

$f(x) = C \exp \left(-x-e^{-x}\right), x \in \mathbb {R}$ , плотность «распределения экстремальных значений».

(c)

$f(x) = C\left(1+x^{2}\right)^{-m}, x \in \mathbb {R}$ .

Задача 4.1.2

Найдите функцию плотности $Y = a X$ , где $a > 0$ , через функцию плотности $X$ . Покажите, что непрерывные случайные величины $X$ и $-X$ имеют одинаковую функцию распределения тогда и только тогда, когда $f_{X}(x) = f_{X}(-x)$ для всех $x \in \mathbb {R}$ .

?

Задача 4.1.3

Если $f$ и $g$ — функции плотности случайных величин $X$ и $Y$ , покажите, что $\alpha f+(1-\alpha ) g$ является функцией плотности при $0 \leq \alpha \leq 1$ , и опишите случайную величину, для которой она является функцией плотности.

?

Задача 4.1.4

(a)(b)(c)(d)

Пусть $X$ — положительная случайная величина с функцией плотности $f$ и функцией распределения $F$ . Определим функцию риска $H(x) = -\log [1-F(x)]$ и интенсивность отказов

r(x) = \lim _{h \downarrow 0} \frac{1}{h} \mathbb {P}\left(X \leq x+h \mid X > x\right), \quad x \geq 0

Покажите, что:

?

(a)

$r(x) = H^{\prime }(x) = f(x) /\left(1-F(x)\right)$ ,

(b)

Если $r(x)$ возрастает по $x$ , то $H(x) / x$ возрастает по $x$ ,

(c)

$H(x) / x$ возрастает по $x$ тогда и только тогда, когда $[1-F(x)]^{\alpha } \leq 1-F(\alpha x)$ для всех $0 \leq \alpha \leq 1$ ,

(d)

Если $H(x) / x$ возрастает по $x$ , то $H(x+y) \geq H(x)+H(y)$ для всех $x, y \geq 0$ .

Функции плотности вероятности