Банк задач по математике

Задача 4.14.1

(a)(b)(c)(d)

?

(a)

Покажите, что $\int_{-\infty }^{\infty } e^{-x^{2}} d x = \sqrt{\pi }$ , и выведите отсюда, что

f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi }} \exp \left\{ -\frac{(x-\mu )^{2}}{2 \sigma ^{2}}\right\} , \quad -\infty < x < \infty

является функцией плотности при $\sigma > 0$ .

(b)

Вычислите математическое ожидание и дисперсию стандартной нормальной величины.

(c)

Покажите, что функция распределения $N(0,1)$ , $\Phi$ , удовлетворяет

\left(x^{-1}-x^{-3}\right) e^{-\frac{1}{2} x^{2}} < \sqrt{2 \pi }[1-\Phi (x)] < x^{-1} e^{-\frac{1}{2} x^{2}}, \quad x > 0

Эти оценки представляют интерес, поскольку $\Phi$ не имеет замкнутой формы.

(d)

Пусть $X$ имеет распределение $N(0,1)$ , и $a > 0$ . Покажите, что $\mathbb {P}\left(X > x+a / x \mid X > x\right) \rightarrow e^{-a}$ при $x \rightarrow 0$ .

Задача 4.14.2

(a)(b)

Пусть $X$ непрерывна с функцией плотности $f(x) = C\left(x-x^{2}\right)$ , где $\alpha < x < \beta$ и $C > 0$ .

?

(a)

Каковы возможные значения $\alpha$ и $\beta$ ?

(b)

Чему равно $C$ ?

Задача 4.14.3

Пусть $X$ — случайная величина, принимающая только неотрицательные значения. Покажите, что

\sum _{i = 1}^{\infty }(i-1) I_{A_{i}} \leq X < \sum _{i = 1}^{\infty } i I_{A_{i}}

где $A_{i} = \left\{ i-1 \leq X < i\right\}$ . Выведите отсюда, что

\sum _{i = 1}^{\infty } \mathbb {P}\left(X \geq i\right) \leq \mathbb {E}\left[X\right] < 1+\sum _{i = 1}^{\infty } \mathbb {P}\left(X \geq i\right)

?

Задача 4.14.4

(a)(b)(c)

?

(a)

Пусть $X$ имеет непрерывную функцию распределения $F$ . Покажите, что

(i) $F(X)$ равномерно распределена на $[0,1]$ ,

(ii) $-\log F(X)$ имеет показательное распределение.

(b)

Прямая $l$ касается окружности с единичным диаметром в точке P, которая диаметрально противоположна на окружности другой точке Q. Прямая QR соединяет Q с некоторой точкой R на $l$ . Если угол $\widehat{\mathrm{PQR}}$ между прямыми PQ и QR — случайная величина с равномерным распределением на $\left[-\frac{1}{2} \pi , \frac{1}{2} \pi \right]$ , покажите, что длина PR имеет распределение Коши (эта длина измеряется положительной или отрицательной в зависимости от того, с какой стороны от P лежит точка R).

(c)

Пусть чистые результаты в двух таймах игры между командами $A$ и $B$ — независимые одинаково распределённые случайные величины $X, Y$ , симметричные относительно 0 и имеющие непрерывную функцию распределения $F$ . Команда $A$ выигрывает (соответственно, проигрывает), если $X+Y > 0$ (соответственно, $X+Y \leq 0$ ). Найдите вероятность того, что $A$ выигрывает, при условии результата первого тайма $X$ .

Задача 4.14.5

(a)(b)(c)

?

(a)

Пусть $g:[0, \infty ) \rightarrow (0, \infty )$ такова, что $g(s+t) = g(s) g(t)$ для $s, t \geq 0$ . Если $g$ монотонна, покажите, что $g(s) = e^{\mu s}$ для некоторого $\mu \in \mathbb {R}$ .

(b)

Пусть $X$ имеет показательное распределение. Покажите, что $\mathbb {P}\left(X > s+x \mid X > s\right) = \mathbb {P}\left(X > x\right)$ для $x, s \geq 0$ . Это снова свойство «отсутствия памяти». Покажите, что показательное распределение — единственное непрерывное распределение с этим свойством.

(c)

Высота $M$ наибольшего приливного нагона в некотором эстуарии имеет показательное распределение с параметром $1$ , и постройка барьера высотой $h$ для защиты расположенного выше по течению города стоит $h$ . Если $M \leq h$ , нагон не стоит ничего; если $M > h$ , нагон влечёт дополнительные затраты $a+b(M-h)$ . Покажите, что при $a+b \geq 1$ ожидаемые суммарные затраты минимальны, когда $h = \log (a+b)$ . Что будет, если $a+b < 1$ ?

Задача 4.14.6

Покажите, что $X$ и $Y$ являются независимыми непрерывными величинами тогда и только тогда, когда их совместная функция плотности $f$ раскладывается в произведение $f(x, y) = g(x) h(y)$ функций только одной переменной $x$ и только одной переменной $y$ .

Объясните, почему функция плотности $f(x, y) = C e^{-x-y}$ (при $x, y \geq 0, x+y > 1$ ) не является контрпримером к этому утверждению.

?

Задача 4.14.7

Пусть $X$ и $Y$ имеют совместную функцию плотности $f(x, y) = 2 e^{-x-y}, 0 < x < y < \infty$ . Являются ли они независимыми? Найдите их маргинальные функции плотности и их ковариацию.

?

Задача 4.14.8

(a)(b)

Хорда единичной окружности выбирается случайным образом. Какова вероятность того, что равносторонний треугольник с этой хордой в качестве основания поместится внутри окружности, если:

?

(a)

хорда проходит через точку P, выбранную равномерно в круге, и угол, который она образует с фиксированным направлением, равномерно распределён на $[0,2 \pi )$ ,

(b)

хорда проходит через точку P, выбранную равномерно случайным образом на случайно выбранном радиусе, и угол, который она образует с радиусом, равномерно распределён на $[0,2 \pi )$ .

Задача 4.14.9

Требуется оценить $J = \int_{0}^{1} g(x) d x$ , где $0 \leq g(x) \leq 1$ для всех $x$ , как в примере (2.6.3). Пусть $X$ и $Y$ — независимые случайные величины с общей функцией плотности $f(x) = 1$ , если $0 < x < 1$ , $f(x) = 0$ в противном случае. Пусть $U = I_{\left\{ Y \leq g(X)\right\} }$ — индикаторная функция события $Y \leq g(X)$ , и пусть $V = g(X), W = \frac{1}{2}\left\{ g(X)+g(1-X)\right\}$ . Покажите, что $\mathbb {E}\left[U\right] = \mathbb {E}\left[V\right] = \mathbb {E}\left[W\right] = J$ , и что $\operatorname {Var}\left[W\right] \leq \operatorname {Var}\left[V\right] \leq \operatorname {Var}\left[U\right]$ , так что из трёх $W$ является наиболее «эффективной» оценкой $J$ .

?

Задача 4.14.10

Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{n}$ — независимые показательные величины с параметром $\lambda$ . Покажите по индукции, что $S = X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}$ имеет распределение $\Gamma (\lambda , n)$ .

?

Задача 4.14.11

(a)(b)(c)(d)

Пусть $X$ и $Y$ — независимые величины, имеющие распределения $\Gamma (\lambda , m)$ и $\Gamma (\lambda , n)$ соответственно.

?

(a)

Используя результат задачи (4.14.10), покажите, что $X+Y$ имеет распределение $\Gamma (\lambda , m+n)$ , когда $m$ и $n$ целые (тот же вывод на самом деле верен и для нецелых $m$ и $n$ ).

(b)

Найдите совместную функцию плотности $X+Y$ и $X /(X+Y)$ , и выведите отсюда, что они независимы.

(c)

Если $Z$ имеет пуассоновское распределение с параметром $\lambda t$ , и $m$ целое, покажите, что $\mathbb {P}\left(Z < m\right) = \mathbb {P}\left(X > t\right)$ .

(d)

Если $0 < m < n$ и $B$ независима от $Y$ и имеет бета-распределение с параметрами $m$ и $n-m$ , покажите, что $Y B$ имеет то же распределение, что и $X$ .

Задача 4.14.12

(a)(b)(c)

Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{n}$ — независимые величины $N(0,1)$ .

?

(a)

Покажите, что $X_{1}^{2}$ имеет распределение $\chi^{2}(1)$ .

(b)

Покажите, что $X_{1}^{2}+X_{2}^{2}$ имеет распределение $\chi^{2}(2)$ , выразив его функцию распределения в виде интеграла и перейдя к полярным координатам.

(c)

В более общем случае покажите, что $X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+\cdots +X_{n}^{2}$ имеет распределение $\chi^{2}(n)$ .

Задача 4.14.13

(a)(b)

Пусть $X$ и $Y$ имеют двумерное нормальное распределение со средними $\mu_{1}, \mu_{2}$ , дисперсиями $\sigma_{1}^{2}, \sigma_{2}^{2}$ , и коэффициентом корреляции $\rho$ . Покажите, что

?

(a)

$\mathbb {E}\left[X \mid Y\right] = \mu_{1}+\rho \sigma_{1}\left(Y-\mu_{2}\right) / \sigma_{2}$ ,

(b)

дисперсия условной функции плотности $f_{X \mid Y}$ равна $\operatorname {Var}\left[X \mid Y\right] = \sigma_{1}^{2}\left(1-\rho^{2}\right)$ .

Задача 4.14.14

Пусть $X$ и $Y$ имеют совместную функцию плотности $f$ . Найдите функцию плотности $Y / X$ .

?

Задача 4.14.15

Пусть $X$ и $Y$ — независимые величины с общей функцией плотности $f$ . Покажите, что $\tan^{-1}(Y / X)$ имеет равномерное распределение на $(-\frac{1}{2} \pi , \frac{1}{2} \pi )$ тогда и только тогда, когда

\int _{-\infty }^{\infty } f(x) f(x y)\left|x\right| d x = \frac{1}{\pi \left(1+y^{2}\right)}, \quad y \in \mathbb {R}

Проверьте, что это верно, если либо $f$ является функцией плотности $N(0,1)$ , либо $f(x) = a\left(1+x^{4}\right)^{-1}$ для некоторой константы $a$ .

?

Задача 4.14.16

Пусть $X$ и $Y$ — независимые величины $N(0,1)$ , и рассмотрим $(X, Y)$ как случайную точку на плоскости. Перейдём к полярным координатам $(R, \Theta )$ , заданным как $R^{2} = X^{2}+Y^{2}, \tan \Theta = Y / X$ ; покажите, что $R^{2}$ имеет распределение $\chi^{2}(2)$ , $\tan \Theta$ имеет распределение Коши, и $R$ и $\Theta$ независимы. Найдите плотность $R$ .

Найдите $\mathbb {E}\left[X^{2} / R^{2}\right]$ и

\mathbb {E}\left[\frac{\min \left\{ |X|,|Y|\right\} }{\max \left\{ |X|,|Y|\right\} }\right]

?

Задача 4.14.17

(a)(b)

Если $X$ и $Y$ — независимые случайные величины, покажите, что $U = \min \left\{ X, Y\right\}$ и $V = \max \left\{ X, Y\right\}$ имеют функции распределения

F_{U}(u) = 1-\left\{ 1-F_{X}(u)\right\} \left\{ 1-F_{Y}(u)\right\} , \quad F_{V}(v) = F_{X}(v) F_{Y}(v)

Пусть $X$ и $Y$ — независимые показательные величины с параметром 1. Покажите, что

?

(a)

$U$ показательна с параметром $2$ ,

(b)

$V$ имеет то же распределение, что и $X+\frac{1}{2} Y$ . Отсюда найдите математическое ожидание и дисперсию $V$ .

Задача 4.14.18

(a)(b)

Пусть $X$ и $Y$ — независимые величины, имеющие показательное распределение с параметрами $\lambda$ и $\mu$ соответственно. Пусть $U = \min \left\{ X, Y\right\} , V = \max \left\{ X, Y\right\}$ , и $W = V-U$ .

?

(a)

Найдите $\mathbb {P}\left(U = X\right) = \mathbb {P}\left(X \leq Y\right)$ .

(b)

Покажите, что $U$ и $W$ независимы.

Задача 4.14.19

(a)(b)

Пусть $X$ и $Y$ — независимые неотрицательные случайные величины с непрерывными функциями плотности на $(0, \infty )$ .

?

(a)

Если при условии $X+Y = u$ величина $X$ равномерно распределена на $[0, u]$ независимо от значения $u$ , покажите, что $X$ и $Y$ имеют показательное распределение.

(b)

Если при условии $X+Y = u$ величина $X / u$ имеет заданное бета-распределение (скажем, с параметрами $\alpha$ и $\beta$ ) независимо от значения $u$ , покажите, что $X$ и $Y$ имеют гамма-распределения. Вам может понадобиться тот факт, что единственные неотрицательные непрерывные решения функционального уравнения $g(s+t) = g(s) g(t)$ для $s, t \geq 0$ , с $g(0) = 1$ , имеют вид $g(s) = e^{\mu s}$ . Вспомните задачу (4.14.5).

Задача 4.14.20

Покажите, что не может быть так, что $U = X+Y$ , где $U$ равномерно распределена на $[0,1]$ , а $X$ и $Y$ независимы и одинаково распределены. Не следует предполагать, что $X$ и $Y$ — непрерывные величины.

?

Задача 4.14.21

Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{n}$ — независимые одинаково распределённые величины с общей функцией плотности $f$ . Такая совокупность называется случайной выборкой. Для каждого $\omega \in \Omega$ расположим значения выборки $X_{1}(\omega ), \ldots , X_{n}(\omega )$ в неубывающем порядке $X_{(1)}(\omega ) \leq X_{(2)}(\omega ) \leq \cdots \leq X_{(n)}(\omega )$ , где (1), (2), ,., (n) — (случайная) перестановка чисел $1,2, \ldots , n$ . Новые величины $X_{(1)}, X_{(2)}, \ldots , X_{(n)}$ называются порядковыми статистиками. Покажите с помощью аргумента симметрии, что совместная функция распределения порядковых статистик удовлетворяет

\begin{gathered} \mathbb {P}\left(X_{(1)} \leq y_{1}, \ldots , X_{(n)} \leq y_{n}\right) = n!\mathbb {P}\left(X_{1} \leq y_{1}, \ldots , X_{n} \leq y_{n}, X_{1} < X_{2} < \cdots < X_{n}\right) \\ = \int \cdots \int _{x_{2} \leq y_{2}}^{x_{1} \leq y_{1}} L\left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right) n!f\left(x_{1}\right) \cdots f\left(x_{n}\right) d x_{1} \cdots d x_{n} \\ \vdots \\ x_{n} \leq y_{n} \end{gathered}

где $L$ задаётся выражением

L(\mathbf{x}) = \begin{cases} 1 & \text{ если } x_{1} < x_{2} < \cdots < x_{n} \\ 0 & \text{ иначе }\end{cases}

и $\mathbf{x} = \left(x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}\right)$ . Выведите отсюда, что совместная функция плотности $X_{(1)}, \ldots , X_{(n)}$ равна $g(\mathbf{y}) = n!L(\mathbf{y}) f\left(y_{1}\right) \cdots f\left(y_{n}\right)$ .

?

Задача 4.14.22

(a)(b)

Найдите маргинальную функцию плотности $k$ -й порядковой статистики $X_{(k)}$ выборки размера $n$ :

?

(a)

интегрируя результат задачи (4.14.21),

(b)

непосредственно.

Задача 4.14.23

Найдите совместную функцию плотности порядковых статистик $n$ независимых равномерных величин на $[0, T]$ .

?

Задача 4.14.24

(a)(b)(c)

Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{n}$ независимы и равномерно распределены на $[0,1]$ , с порядковыми статистиками $X_{(1)}, X_{(2)}, \ldots , X_{(n)}$ .

?

(a)

Покажите, что при фиксированном $k$ функция плотности $n X_{(k)}$ сходится при $n \rightarrow \infty$ , и найдите и опознайте предельную функцию.

(b)

Покажите, что $\log X_{(k)}$ имеет то же распределение, что и $-\sum_{i = k}^{n} i^{-1} Y_{i}$ , где $Y_{i}$ — независимые случайные величины, имеющие показательное распределение с параметром 1.

(c)

Покажите, что $Z_{1}, Z_{2}, \ldots , Z_{n}$ , определённые как $Z_{k} = \left(X_{(k)} / X_{(k+1)}\right)^{k}$ для $k < n$ и $Z_{n} = \left(X_{(n)}\right)^{n}$ , являются независимыми случайными величинами с равномерным распределением на $[0,1]$ .

Задача 4.14.25

Пусть $X_{1}, X_{2}, X_{3}$ — независимые величины с равномерным распределением на $[0,1]$ . Какова вероятность того, что стержни длины $X_{1}, X_{2}$ и $X_{3}$ можно использовать для составления треугольника? Обобщите ваш ответ на случай $n$ стержней, используемых для составления многоугольника.

?

Задача 4.14.26

Пусть $X_{1}$ и $X_{2}$ — независимые величины с равномерным распределением на $[0, 1]$ . Палка единичной длины ломается в точках на расстояниях $X_{1}$ и $X_{2}$ от одного из концов. Какова вероятность того, что три получившихся куска можно использовать для составления треугольника? Обобщите ваш ответ на случай палки, сломанной в $n$ местах.

?

Задача 4.14.27

(a)(b)

Пусть $X, Y$ — пара совместно непрерывных величин.

?

(a)

Неравенство Гёльдера. Покажите, что если $p, q > 1$ и $p^{-1}+q^{-1} = 1$ , то

\mathbb {E}\left[\left|X Y\right|\right] \leq \left\{ \mathbb {E}\left[\left|X^{p}\right|\right]\right\} ^{1 / p}\left\{ \mathbb {E}\left[\left|Y^{q}\right|\right]\right\} ^{1 / q}

Положив $p = q = 2$ , выведите неравенство Коши-Шварца $\mathbb {E}\left[X Y\right]^{2} \leq \mathbb {E}\left[X^{2}\right] \mathbb {E}\left[Y^{2}\right]$ .

(b)

Неравенство Минковского. Покажите, что если $p \geq 1$ , то

\left\{ \mathbb {E}\left[|X+Y|^{p}\right]\right\} ^{1 / p} \leq \left\{ \mathbb {E}\left[\left|X^{p}\right|\right]\right\} ^{1 / p}+\left\{ \mathbb {E}\left[\left|Y^{p}\right|\right]\right\} ^{1 / p}

Заметьте, что в обоих случаях ваше доказательство не обязано зависеть от непрерывности $X$ и $Y$ ; выведите отсюда, что те же неравенства выполняются для дискретных величин.

Задача 4.14.28

Пусть $Z$ — случайная величина. Выберите $X$ и $Y$ подходящим образом в неравенстве Коши-Шварца (или Гёльдера), чтобы показать, что $g(p) = \log \mathbb {E}\left[\left|Z^{p}\right|\right]$ является выпуклой функцией $p$ на интервале значений $p$ , для которых $\mathbb {E}\left[\left|Z^{p}\right|\right] < \infty$ . Выведите отсюда неравенство Ляпунова:

\left\{ \mathbb {E}\left[\left|Z^{r}\right|\right]\right\} ^{1 / r} \geq \left\{ \mathbb {E}\left[\left|Z^{s}\right|\right]\right\} ^{1 / s} \quad \text{ при } r \geq s > 0

Тем самым вы показали, в частности, что если $Z$ имеет конечный $r$ -й момент, то $Z$ имеет конечный $s$ -й момент для всех положительных $s \leq r$ .

Покажите в более общем случае, что если $r_{1}, r_{2}, \ldots , r_{n}$ — вещественные числа, такие что $\mathbb {E}\left[\left|X^{r_{k}}\right|\right] < \infty$ и $s = n^{-1} \sum_{k = 1}^{n} r_{k}$ , то

\prod _{k = 1}^{n} \mathbb {E}\left[\left|X^{r_{k}}\right|\right] \geq \left(\mathbb {E}\left[\left|X\right|\right]^{s}\right)^{n}

?

Задача 4.14.29

Покажите, используя очевидные обозначения, что $\mathbb {E}\left[\mathbb {E}\left[X \mid Y, Z\right] \mid Y\right] = \mathbb {E}\left[X \mid Y\right]$ .

?

Задача 4.14.30

Автомобили единичной длины паркуются случайным образом на улице таким образом, что центр каждой машины, в свою очередь, располагается равномерно случайным образом в доступном для неё пространстве. Пусть $m(x)$ — ожидаемое число машин, которые могут припарковаться на улице длины $x$ . Покажите, что

m(x+1) = \frac{1}{x} \int _{0}^{x}\left\{ m(y)+m(x-y)+1\right\} d y

Можно вывести, что $m(x)$ приблизительно равно $\frac{3}{4} x$ , когда $x$ велико.

?

Задача 4.14.31

(a)(b)(c)

Игла Бюффона снова: лапша Бюффона.

?

(a)

Плоскость разлинована прямыми $y = n d(n = 0, \pm 1, \ldots )$ . Игла длины $L( < d)$ случайным образом бросается на плоскость. Покажите, что вероятность того, что игла пересекает прямую, равна $2 L /(\pi d)$ .

(b)

Теперь зафиксируем иглу и пусть $C$ — окружность диаметра $d$ с центром в середине иглы. Пусть $\lambda$ — прямая, направление и расстояние которой от центра $C$ независимы и равномерно распределены на $[0,2 \pi ]$ и $\left[0, \frac{1}{2} d\right]$ соответственно. Это эквивалентно «случайному бросанию разлинованной плоскости». Покажите, что вероятность пересечения между иглой и $\lambda$ равна $2 L /(\pi d)$ .

(c)

Пусть $S$ — кривая внутри $C$ конечной длины $L(S)$ . Используя индикаторы, покажите, что ожидаемое число пересечений между $S$ и $\lambda$ равно $2 L(S) /(\pi d)$ . Результаты такого типа используются в стереологии, которая стремится получить знания о содержимом клетки, изучая её поперечные сечения.

Задача 4.14.32

Увлечённо вычисляя $\pi$ , мистер Бюффон (не родственник) случайно проглатывает иглу, и ему делают рентген. Если игла не проявляет предпочтения по направлению внутри желудка, каково распределение длины её изображения на рентгеновской пластине? Если он также проглотил крест Бюффона (см. упражнение (4.5.3)), каким было бы совместное распределение длин изображений двух рычагов креста?

?

Задача 4.14.33

Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{n}$ — независимые показательные величины с параметром $\lambda$ , и пусть $X_{(1)} \leq X_{(2)} \leq \cdots \leq X_{(n)}$ — их порядковые статистики. Покажите, что

Y_{1} = n X_{(1)}, \quad Y_{r} = (n+1-r)\left(X_{(r)}-X_{(r-1)}\right), \quad 1 < r \leq n

также независимы и имеют то же совместное распределение, что и $X_{i}$ .

?

Задача 4.14.34

Пусть $X_{(1)}, X_{(2)}, \ldots , X_{(n)}$ — порядковые статистики семейства независимых величин с общей непрерывной функцией распределения $F$ . Покажите, что

Y_{n} = \left\{ F\left(X_{(n)}\right)\right\} ^{n}, \quad Y_{r} = \left\{ \frac{F\left(X_{(r)}\right)}{F\left(X_{(r+1)}\right)}\right\} ^{r}, \quad 1 \leq r < n

независимы и равномерно распределены на $[0,1]$ . Это эквивалентно задаче (4.14.33). Почему?

?

Задача 4.14.35

Вам разрешается осматривать $n$ призов на ярмарке в заданном порядке, на каждом шаге либо отклоняя, либо принимая рассматриваемый приз. Возврата нет в том смысле, что ни один отклонённый приз не может быть принят позже. Можно считать, что при полной информации призы могут быть строго упорядочены по предпочтению, и что порядок предъявления не зависит от этого упорядочивания. Найдите стратегию, максимизирующую вероятность принятия лучшего приза, и опишите её поведение при больших $n$ .

?

Задача 4.14.36

Пусть $R^{2} = X^{2}+Y^{2}+Z^{2}$ , где $X, Y, Z$ — независимые нормальные случайные величины со средними $\lambda , \mu , \nu$ и общей дисперсией $\sigma^{2}$ , где $(\lambda , \mu , \nu ) \neq (0,0,0)$ . Покажите, что условная плотность точки $(X, Y, Z)$ при условии $R = r$ , выраженная в сферических полярных координатах относительно оси в направлении $\mathbf{e} = (\lambda , \mu , \nu )$ , имеет вид

f(\theta , \phi ) = \frac{a}{4 \pi \sinh a} e^{a \cos \theta } \sin \theta , \quad 0 \leq \theta < \pi , 0 \leq \phi < 2 \pi

где $a = r\left|\mathbf{e}\right|$ .

?

Задача 4.14.37

(a)(b)

Пусть $\phi$ — функция плотности $N(0,1)$ , и определим функции $H_{n}, n \geq 0$ , следующим образом: $H_{0} = 1$ , и $(-1)^{n} H_{n} \phi = \phi^{(n)}$ , $n$ -я производная $\phi$ . Покажите, что:

?

(a)

$H_{n}(x)$ — многочлен степени $n$ со старшим членом $x^{n}$ , и

\int _{-\infty }^{\infty } H_{m}(x) H_{n}(x) \phi (x) d x = \begin{cases} 0 & \text{ если } m \neq n, \\ n! & \text{ если } m = n.\end{cases}

(b)

$\sum_{n = 0}^{\infty } H_{n}(x) \frac{t^{n}}{n!} = \exp \left(t x-\frac{1}{2} t^{2}\right)$ .

Задача 4.14.38

Пусть $X$ и $Y$ имеют стандартное двумерное нормальное распределение с нулевыми средними, единичными дисперсиями и коэффициентом корреляции $\rho$ , и предположим, что $U = u(X)$ и $V = v(Y)$ имеют конечные дисперсии. Покажите, что $\left|\rho (U, V)\right| \leq \left|\rho \right|$ . [Указание: используйте задачу (4.14.37), чтобы разложить функции $u$ и $v$ . Можете считать, что $u$ и $v$ лежат в линейной оболочке $H_{n}$ .]

?

Задача 4.14.39

(a)(b)

Пусть $X_{(1)}, X_{(2)}, \ldots , X_{(n)}$ — порядковые статистики $n$ независимых случайных величин, равномерных на $[0,1]$ . Покажите, что:

?

(a)

$\mathbb {E}\left[X_{(r)}\right] = \frac{r}{n+1}$ ,

(b)

$\operatorname {Cov}\left[X_{(r)}, X_{(s)}\right] = \frac{r(n-s+1)}{(n+1)^{2}(n+2)}$ для $r \leq s$ .

Задача 4.14.40

(a)(b)

?

(a)

Пусть $X, Y, Z$ — независимые величины $N(0,1)$ , и положим $R = \sqrt{X^{2}+Y^{2}+Z^{2}}$ . Покажите, что $X^{2} / R^{2}$ имеет бета-распределение с параметрами $\frac{1}{2}$ и $1$ , и независимо от $R^{2}$ .

(b)

Пусть $X, Y, Z$ независимы и равномерно распределены на $[-1,1]$ , и положим $R = \sqrt{X^{2}+Y^{2}+Z^{2}}$ . Найдите плотность $X^{2} / R^{2}$ при условии, что $R^{2} \leq 1$ .

Задача 4.14.41

(a)(b)

?

(a)

Асимметричное нормальное распределение. Пусть $\phi$ и $\Phi$ — функция плотности и функция распределения случайной величины $X$ со стандартным нормальным распределением. Покажите, для $\lambda \in \mathbb {R}$ , что $g(x) = 2 \phi (x) \Phi (\lambda x)$ , $x \in \mathbb {R}$ , является функцией плотности некоторой случайной величины (обозначим её $Y$ ). Покажите, что $\left|X\right|$ и $\left|Y\right|$ имеют одинаковые распределения. Пусть $X$ имеет распределение $N(0,1)$ и независима от $Y$ , и определим $U = (X+\lambda \left|Y\right|) / \sqrt{1+\lambda^{2}}$ . Запишите совместную плотность $U$ и $V = \left|Y\right|$ , и выведите отсюда, что $U$ имеет функцию плотности $g$ .

(b)

Общие асимметричные распределения. Для $i = 1,2$ пусть $X_{i}$ имеет функцию плотности $f_{i}$ , симметричную относительно 0, с функцией распределения $F_{i}$ .

(i) Пусть $\lambda \in \mathbb {R}$ , и покажите, что $g_{1}(x) = 2 f_{1}(x) F_{2}(\lambda x)$ и $g_{2}(x) = 2 f_{2}(x) F_{1}(\lambda x)$ являются функциями плотности.

(ii) Пусть $X_{1}$ и $X_{2}$ независимы. Найдите условную функцию плотности $X_{2}$ при условии $X_{1} < \lambda X_{2}$ .

Задача 4.14.42

Шесть координат $\left(X_{i}, Y_{i}\right), 1 \leq i \leq 3$ , трёх точек $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ на плоскости независимы и имеют распределение $N(0,1)$ . Покажите, что вероятность того, что C лежит внутри окружности с диаметром AB, равна $\frac{1}{4}$ .

?

Задача 4.14.43

Координаты $\left(X_{i}, Y_{i}, Z_{i}\right), 1 \leq i \leq 3$ , трёх точек $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ независимы и имеют распределение $N(0,1)$ . Покажите, что вероятность того, что C лежит внутри сферы с диаметром AB, равна $\frac{1}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4 \pi }$ .

?

Задача 4.14.44

Пусть $X$ имеет дисперсию $\sigma^{2}$ , и обозначим $m_{k} = \mathbb {E}\left[X^{k}\right]$ . Определим асимметрию $X$ как $\operatorname {skw}(X) = \mathbb {E}\left[\left(X-m_{1}\right)^{3}\right] / \sigma^{3}$ . Покажите, что:

?

(a)

$\operatorname {skw}(X) = \left(m_{3}-3 m_{1} m_{2}+2 m_{1}^{3}\right) / \sigma^{3}$ ,

(b)

$\operatorname {skw}\left(S_{n}\right) = \operatorname {skw}\left(X_{1}\right) / \sqrt{n}$ , где $S_{n} = \sum_{r = 1}^{n} X_{r}$ — сумма независимых одинаково распределённых случайных величин,

(c)

$\operatorname {skw}(X) = (1-2 p) / \sqrt{n p q}$ , когда $X$ имеет распределение $\operatorname {bin}(n, p)$ , где $p+q = 1$ ,

(d)

$\operatorname {skw}(X) = 1 / \sqrt{\lambda }$ , когда $X$ имеет пуассоновское распределение с параметром $\lambda$ ,

(e)

$\operatorname {skw}(X) = 2 / \sqrt{t}$ , когда $X$ имеет гамма-распределение $\Gamma (\lambda , t)$ , и $t$ целое.

Задача 4.14.45

(a)(b)(c)(d)

Пусть $X$ имеет дисперсию $\sigma^{2}$ и $\mathbb {E}\left[X^{k}\right] = m_{k}$ . Определим эксцесс $X$ как $\operatorname {kur}(X) = \mathbb {E}\left[\left(X-m_{1}\right)^{4}\right] / \sigma^{4}$ . Покажите, что:

?

(a)

$\operatorname {kur}(X) = 3$ , когда $X$ имеет распределение $N\left(\mu , \sigma^{2}\right)$ ,

(b)

$\operatorname {kur}(X) = 9$ , когда $X$ показательна с параметром $\lambda$ ,

(c)

$\operatorname {kur}(X) = 3+\lambda^{-1}$ , когда $X$ имеет пуассоновское распределение с параметром $\lambda$ ,

(d)

$\operatorname {kur}\left(S_{n}\right) = 3+\left\{ \operatorname {kur}\left(X_{1}\right)-3\right\} / n$ , где $S_{n} = \sum_{r = 1}^{n} X_{r}$ — сумма независимых одинаково распределённых случайных величин.

Задача 4.14.46

Распределение Фишера-Гумбеля-Типпетта. Пусть $X_{r}, 1 \leq r \leq n$ , независимы и имеют показательное распределение с параметром 1. Покажите, что $X_{(n)} = \max \left\{ X_{r}: 1 \leq r \leq n\right\}$ удовлетворяет

\lim _{n \rightarrow \infty } \mathbb {P}\left(X_{(n)}-\log n \leq x\right) = \exp \left(-e^{-x}\right), \quad -\infty < x < \infty

Отсюда покажите, что $\int_{0}^{\infty }\left\{ 1-\exp \left(-e^{-x}\right)-\exp \left(-e^{x}\right)\right\} d x = \gamma$ , где $\gamma$ — постоянная Эйлера.

?

Задача 4.14.47

Пусть $S$ и $X$ имеют функции плотности, удовлетворяющие $b(x) \leq f_{S}(x) \leq a(x)$ и $f_{S}(x) \leq f_{X}(x)$ . Пусть $U$ равномерно распределена на $[0,1]$ и независима от $X$ . При заданном значении $X$ мы реализуем следующий алгоритм:

\begin{array}{ll} \qquad \text{ если } U f_{X}(X) > a(X), & \text{ отклонить } X ; \\ \text{ иначе: если } U f_{X}(X) < b(X), & \text{ принять } X ; \\ \text{ иначе: если } U f_{X}(X) \leq f_{S}(X), & \text{ принять } X \text{; } \\ \text{ иначе: отклонить } X \end{array}

Покажите, что при условии окончательного принятия $X$ распределена так же, как $S$ . Объясните, когда можно использовать этот метод выборки.

?

Задача 4.14.48

Пусть $X, Y$ и $\left\{ U_{r}: r \geq 1\right\}$ — независимые случайные величины, где:

\mathbb {P}\left(X = x\right) = (e-1) e^{-x}, \mathbb {P}\left(Y = y\right) = \frac{1}{(e-1) y!} \text{ для } x, y = 1,2, \ldots

и $U_{r}$ равномерны на $[0,1]$ . Пусть $M = \max \left\{ U_{1}, U_{2}, \ldots , U_{Y}\right\}$ , и покажите, что $Z = X-M$ имеет показательное распределение.

?

Задача 4.14.49

(a)(b)(c)

Пусть $U$ и $V$ независимы и равномерны на $[0,1]$ . Положим $X = -\alpha^{-1} \log U$ и $Y = -\log V$ , где $\alpha > 0$ .

?

(a)

Покажите, что при условии события $Y \geq \frac{1}{2}(X-\alpha )^{2}$ величина $X$ имеет функцию плотности $f(x) = \sqrt{2 / \pi } e^{-\frac{1}{2} x^{2}}$ для $x > 0$ .

(b)

Для генерации выборки из функции плотности $f$ принято решение использовать метод отбраковки: при заданном $\alpha > 0$ мы многократно генерируем $U$ и $V$ , и принимаем $X$ в первый раз, когда $Y \geq \frac{1}{2}(X-\alpha )^{2}$ . Каково оптимальное значение $\alpha$ ?

(c)

Опишите, как использовать эти факты для генерации выборки из распределения $N(0,1)$ .

Задача 4.14.50

(a)(b)

Пусть $S$ — полуокружность единичного радиуса на диаметре $D$ .

?

(a)

Точка P выбирается случайным образом на $D$ . Если $X$ — расстояние от P до $S$ вдоль перпендикуляра к $D$ , покажите, что $\mathbb {E}\left[X\right] = \pi / 4$ .

(b)

Точка Q выбирается случайным образом на $S$ . Если $Y$ — перпендикулярное расстояние от Q до $D$ , покажите, что $\mathbb {E}\left[Y\right] = 2 / \pi$ .

Задача 4.14.51

(Задано на экзамене на членство в Колледже Св. Иоанна, Кембридж, в 1858 году.) «Большое количество камешков разбросано равномерно по круглому полю; сравните труд их сбора по одному: $\square$ (i) в центре O поля, (ii) в точке A на окружности.»

Точнее говоря, если $L_{\mathrm{O}}$ и $L_{\mathrm{A}}$ — соответствующие трудозатраты на камешек, покажите, что $\mathbb {E}\left[L_{\mathrm{O}}\right] = \frac{2}{3} a$ и $\mathbb {E}\left[L_{\mathrm{A}}\right] = 32 a /(9 \pi )$ для некоторой константы $a$ . (iii) Предположим, вы относите каждый камешек к ближайшей из двух точек A или B на концах диаметра. Покажите, что в этом случае трудозатраты на камешек удовлетворяют

\mathbb {E}\left[L_{\mathrm{AB}}\right] = \frac{4 a}{3 \pi }\left\{ \frac{16}{3}-\frac{17}{6} \sqrt{2}+\frac{1}{2} \log (1+\sqrt{2})\right\} \simeq 1.13 \times \frac{2}{3} a

(iv) Наконец, предположим, что вы относите каждый камешек к ближайшей вершине равностороннего треугольника $ABC$ , вписанного в окружность. Почему очевидно, что теперь трудозатраты на камешек удовлетворяют $\mathbb {E}\left[L_{\mathrm{ABC}}\right] < \mathbb {E}\left[L_{\mathrm{O}}\right]$ ? Желающим предлагается вычислить $\mathbb {E}\left[L_{\mathrm{ABC}}\right]$ .

?

Задача 4.14.52

Прямые $L, M$ и $N$ параллельны, и P лежит на $L$ . Прямая, выбранная случайным образом через P, пересекает $M$ в точке Q. Прямая, выбранная случайным образом через Q, пересекает $N$ в точке R. Какова функция плотности угла $\Theta$ , который RP образует с $L$ ? [Указание: вспомните упражнение (4.8.2) и задачу (4.14.4).]

?

Задача 4.14.53

(a)(b)(c)(d)

Пусть $\Delta$ обозначает событие, что из трёх заданных частей стержня $R$ можно образовать треугольник.

?

(a)

$R$ ломается в двух точках, выбранных независимо и равномерно. Покажите, что $\mathbb {P}\left(\Delta \right) = \frac{1}{4}$ .

(b)

$R$ ломается пополам равномерно случайным образом, более длинная часть ломается пополам равномерно случайным образом. Покажите, что $\mathbb {P}\left(\Delta \right) = \log (4 / e)$ .

(c)

$R$ ломается пополам равномерно случайным образом, случайно выбранная часть делится на две равные части. Покажите, что $\mathbb {P}\left(\Delta \right) = \frac{1}{2}$ .

(d)

В случае (c) покажите, что при условии $\Delta$ треугольник тупоугольный с вероятностью $3-2 \sqrt{2}$ .

Задача 4.14.54

Вы ломаете стержень случайным образом на две части. Пусть $R$ — отношение длины более короткой части к более длинной. Найдите функцию плотности $f_{R}$ , а также математическое ожидание и дисперсию $R$ .

?

Задача 4.14.55

Пусть $R$ — расстояние между двумя точками, выбранными случайным образом внутри квадрата со стороной $a$ . Покажите, что $\mathbb {E}\left[R^{2}\right] = \frac{1}{3} a^{2}$ , и что $R^{2} / a^{2}$ имеет функцию плотности

f(r) = \begin{cases} r-4 \sqrt{r}+\pi & \text{ если } 0 \leq r \leq 1 \\ 4 \sqrt{r-1}-2-r+2 \sin ^{-1} \sqrt{r^{-1}}-2 \sin ^{-1} \sqrt{1-r^{-1}} & \text{ если } 1 \leq r \leq 2\end{cases}

?

Задача 4.14.56

Покажите, что лист бумаги площадью $A \mathrm{~ cm}^{2}$ можно расположить на квадратной решётке с периодом 1 см таким образом, чтобы было покрыто не менее $\lceil A\rceil$ точек.

?

Задача 4.14.57

Покажите, что можно расположить выпуклый камень площади поверхности $S$ на солнце таким образом, чтобы его тень имела площадь не менее $\frac{1}{4} S$ .

?

Задача 4.14.58

(a)(b)

Пусть $\left\{ X_{r}: 1 \leq r \leq k+1\right\}$ — независимые случайные величины с распределением $\Gamma \left(\lambda , \beta_{r}\right)$ (соответственно).

?

(a)

Покажите, что $Y_{r} = X_{r} /\left(X_{1}+\cdots +X_{r}\right), 2 \leq r \leq k+1$ , являются независимыми случайными величинами.

(b)

Покажите, что $Z_{r} = X_{r} /\left(X_{1}+\cdots +X_{k+1}\right), 1 \leq r \leq k$ , имеют совместную плотность Дирихле

\frac{\Gamma \left(\beta _{1}+\cdots +\beta _{k+1}\right)}{\Gamma \left(\beta _{1}\right) \cdots \Gamma \left(\beta _{k+1}\right)} z_{1}^{\beta _{1}-1} z_{2}^{\beta _{2}-1} \cdots z_{k}^{\beta _{k}-1}\left(1-z_{1}-z_{2}-\cdots -z_{k}\right)^{\beta _{k+1}-1}

Задача 4.14.59

Пусть $\mathbf{X}_{r} = \left(X_{1 r}, X_{2 r}, \ldots , X_{m r}\right), 1 \leq r \leq n$ , — независимые многомерные нормальные случайные векторы с нулевыми средними и одинаковой ковариационной матрицей $\mathbf{V} = \left(v_{i j}\right)$ . Покажите, что две случайные величины

S_{i j} = \sum _{r = 1}^{n} X_{i r} X_{j r}-\frac{1}{n} \sum _{r = 1}^{n} X_{i r} \sum _{r = 1}^{n} X_{j r}, \quad T_{i j} = \sum _{r = 1}^{n-1} X_{i r} X_{j r}

одинаково распределены.

?

Задача 4.14.60

Выберите $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ и R независимо и случайным образом в квадрате $S(a)$ со стороной $a$ . Покажите, что $\mathbb {E}\left[\left|\mathrm{PQR}\right|\right] = 11 a^{2} / 144$ . Выведите отсюда, что четыре точки, выбранные случайным образом в параллелограмме, образуют выпуклый четырёхугольник с вероятностью $\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$ .

?

Задача 4.14.61

Выберите $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ и R равномерно случайным образом внутри выпуклой области $C$ , изображённой ниже. Рассматривая событие, что выпуклая оболочка четырёх случайно выбранных точек является треугольником, или иным способом, покажите, что средняя площадь заштрихованной области втрое больше средней площади треугольника $PQR$ .

?

Задача 4.14.62

Пусть $\mathbf{V}$ — положительно определённая симметричная $n \times n$ матрица, и $\mathbf{L}$ — нижняя треугольная матрица, такая что $\mathbf{V} = \mathbf{L}^{\prime } \mathbf{L}$ ; это называется разложением Холецкого матрицы $\mathbf{V}$ . Пусть $\mathbf{X} = \left(X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{n}\right)$ — вектор независимых случайных величин, распределённых как $N(0,1)$ . Покажите, что вектор $\mathbf{Z} = \mathbf{\mu }+\mathbf{X L}$ имеет многомерное нормальное распределение со средним вектором $\mathbf{\mu }$ и ковариационной матрицей $\mathbf{V}$ .

?

Задача 4.14.63

Нам нужно определить, выполняется ли $\mathbf{A B} = \mathbf{C}$ , где $\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}$ — заданные $n \times n$ матрицы, и мы применяем следующий случайный алгоритм. Пусть $\mathbf{x}$ — случайный вектор со значениями в $\left\{ 0,1\right\}^{n}$ , каждая из $2^{n}$ возможностей равновероятна. Если $(\mathbf{A B}-\mathbf{C}) \mathbf{x} = \mathbf{0}$ , мы решаем, что $\mathbf{A B} = \mathbf{C}$ , и в противном случае решаем, что $\mathbf{A B} \neq \mathbf{C}$ . Покажите, что

\mathbb {P}\left(\text{ решение верно }\right) \begin{cases} = 1 & \text{ если } \mathbf{A B} = \mathbf{C} \\ \geq \frac{1}{2} & \text{ если } \mathbf{A B} \neq \mathbf{C}\end{cases}

Опишите аналогичную процедуру, которая приводит к вероятности ошибки, которая может быть сделана сколь угодно малой.

?

Задача 4.14.64

(a)(b)(c)

3.2), возвращение. В каждой коробке хлопьев содержится бесполезный несъедобный предмет. Предметы в разных коробках независимы и равновероятно могут быть любым из $n$ доступных типов. Пусть $T_{n}$ — число открытых коробок до момента сбора полного набора.

?

(a)

Используя результат упражнения (4.3.6), покажите, что

\frac{1}{n} \mathbb {E}\left[T_{n}\right] = \sum _{r = 1}^{n} \frac{(-1)^{r+1}}{r}\binom {n}{r} = \sum _{r = 1}^{n} \frac{1}{r}

(b)

Докажите указанное выше комбинаторное тождество непосредственно.

(c)

Рассматривая $\mathbb {E}\left[T_{n}^{2}\right]$ , покажите, что

2 n \sum _{r = 1}^{n} \frac{(-1)^{r+1}}{r^{2}}\binom {n}{r} = \sum _{r = 1}^{n} \frac{1}{r^{2}}+\frac{n-1}{n} \sum _{r = 1}^{n} \frac{1}{r}+\left(\sum _{r = 1}^{n} \frac{1}{r}\right)^{2}

Задача 4.14.65

Точки $P$ и $Q$ выбираются независимо и равномерно случайным образом в треугольнике $ABC$ так, что прямая, проходящая через P и Q, делит ABC на треугольник $T$ и четырёхугольник $R$ . Покажите, что отношение средней площади $T$ к средней площади $R$ равно $4: 5$ .

?

Задача 4.14.66

Пусть $X$ и $Y$ — независимые одинаково распределённые случайные величины с конечными математическими ожиданиями. Покажите, что

\mathbb {E}\left[\left|X-Y\right|\right] \leq \mathbb {E}\left[\left|X+Y\right|\right]

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда их общее распределение симметрично относительно 0.

?

Задача 4.14.67

Моделирование порядковых статистик. Пусть $U_{1}, U_{2}, \ldots , U_{n}$ независимы и одинаково распределены на $[0,1]$ . Определим $X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{n}$ рекурсивно следующим образом:

X_{1} = U_{1}^{1 / n}, X_{2} = X_{1} U_{2}^{1 /(n-1)}, \ldots , X_{j} = X_{j-1} U_{j}^{1 /(n-j+1)}, \ldots , X_{n} = X_{n-1} U_{n}

Покажите, что случайные величины $X_{n} < X_{n-1} < \cdots < X_{1}$ имеют то же совместное распределение, что и порядковые статистики $U_{(1)}, U_{(2)}, \ldots , U_{(n)}$ . Вы можете сделать это двумя различными способами: во-первых, с помощью построения, и во-вторых, используя формулу замены переменных.

?

Задача 4.14.68

Значение $X$ финансового индекса через год имеет нормальное распределение со средним $\mu$ и стандартным отклонением $\sigma > 0$ . У вас есть производный контракт, который выплатит вам $\max \left\{ X-a, 0\right\}$ , где $a$ — заранее заданная константа. Покажите, что ожидаемая выплата $V$ по контракту даётся формулой $V = \sigma \left\{ \phi (y)-y(1-\Phi (y))\right\}$ , где $\phi$ и $\Phi$ — функция плотности и функция распределения $N(0,1)$ , и $y = (a-\mu ) / \sigma$ . Выведите отсюда, что для больших положительных $y$ ,

V \approx \frac{\sigma ^{3}}{(a-\mu )^{2}} \phi ((a-\mu ) / \sigma )

?

Задача 4.14.69

(a)(b)(c)

Пусть $g$ — функция плотности положительной унимодальной случайной величины $X$ с конечной дисперсией, с единственной модой в 0 (так что $g$ не возрастает на $[0, \infty )$ , вспомните определения из задачи (2.7.23)). Для любого $x$ , такого что $g(x) > 0$ , положим $y = x+g(x)^{-1} \int_{x}^{\infty } g(v) d v$ .

?

(a)

Докажите, что для $0 < x < y < \infty$ выполняется $(y-x) x^{2} \leq \frac{4}{9} \int_{0}^{y} v^{2} d v$ .

(b)

Выведите отсюда, что

\mathbb {P}\left(|X| > x\right) \leq \frac{4}{9 x^{2}} \mathbb {E}\left[X^{2}\right], \quad x > 0

(c)

Докажите неравенство из пункта (b) для непрерывной случайной величины $X$ с единственной модой в 0.

Задача 4.14.70

Пусть $I_{i}$ — индикаторная функция успеха в $i$ -м из $n$ независимых испытаний. Пусть $p_{i} = \mathbb {E}\left[I_{i}\right] = 1-q_{i} > 0$ , и пусть $r_{i} = p_{i} / q_{i}$ — $i$ -е «отношение шансов». Пусть $R_{k} = \sum_{i = k}^{n} r_{i}$ , и на данный момент предположим, что $p_{i} < 1$ для всех $i$ .

?

(a)

Покажите, что вероятность ровно одного успеха после $k$ -го испытания равна $\sigma_{k} = R_{k+1} \prod_{i = k+1}^{n} q_{i}$ .

(b)

Докажите, что $\sigma_{k}$ является унимодальной функцией от $k$ в том смысле, что существует единственное $m$ , такое что $\sigma_{k}$ максимальна либо при $k = m$ , либо при $k \in \left\{ m, m+1\right\}$ .

(c)

Требуется остановить процесс на последнем успехе. Покажите, что оптимальное правило для достижения этого — остановиться на первом успехе в момент $\tau$ или позже, где $\tau = \max \left\{ 1, \max \left\{ k: R_{k} \geq 1\right\} \right\}$ .

(d)

Что можно сказать, если $p_{i} = 1$ для некоторого $i$ ?

(e)

Покажите, что вероятность остановки на последнем успехе равна $\sigma_{\tau } = R_{\tau } \prod_{i = \tau }^{n} q_{i}$ .

(f)

Используйте этот результат для решения задачи о браке (4.14.35).

Задача 4.14.71

Пусть $X_{0}, X_{1}, \ldots , X_{n}$ — неотрицательные независимые случайные величины. Их значения раскрываются вам по порядку, и вам необходимо остановить процесс в некоторый момент $T$ и выйти со значением $X_{T}$ . Ваша цель — максимизировать $\mathbb {E}\left[X_{T}\right]$ , и вам разрешается выбирать любую «стратегию остановки» $T$ , зависящую только от прошлых и настоящего значений $X_{0}, X_{1}, \ldots , X_{T}$ . (Такая случайная величина называется «моментом остановки», см. упражнение (6.1.6).)

Покажите, что $\mathbb {E}\left[\max_{r} X_{r}\right] \leq 2 \sup_{T} \mathbb {E}\left[X_{T}\right]$ , где $\sup_{T}$ — супремум по всем стратегиям остановки.

?

Задача 4.14.72

Палка длины $s$ ломается в $n$ точках, выбранных независимо и равномерно на интервале $[0, s]$ . Пусть порядковые статистики получившихся длин кусков будут $S_{1} < S_{2} < \cdots < S_{n+1}$ . Зафиксируем $y > 0$ и обозначим $p_{n}(s, y) = \mathbb {P}\left(S_{1} > y\right)$ . Покажите, что

p_{n+1}(s, y) = \frac{n+1}{s^{n+1}} \int _{0}^{s-y} x^{n} p_{n}(x, y) d x

Выведите отсюда, что (i) $p_{n}(s, y) = s^{-n}\left\{ (s-(n+1) y)^{+}\right\}^{n}$ для $n \geq 1$ , где $x^{+} = \max \left\{ 0, x\right\}$ . (ii) $\mathbb {E}\left[S_{1}\right] = s /(n+1)^{2}$ . (iii) $\mathbb {E}\left[S_{r}\right] = s\left(H_{n+1}-H_{n-r+1}\right) /(n+1)$ , где $H_{k} = \sum_{r = 1}^{k} r^{-1}$ .

?

Задача 4.14.73

(a)(b)(c)

Пусть $\alpha > -1$ , и пусть $X$ и $Y$ имеют совместную плотность $f(x, y) = c x^{\alpha }$ при $x, y \in (0,1)$ , $x+y > 1$ . Положим $f(x, y) = 0$ для остальных пар $x, y$ .

?

(a)

Найдите значение $c$ и совместную функцию распределения $X, Y$ .

(b)

Покажите, что с вероятностью единица можно построить треугольник со сторонами длины $X, Y, 2-X-Y$ .

(c)

Покажите, что угол, противолежащий стороне длины $Y$ , тупой с вероятностью

\pi = c \int _{0}^{1} \frac{x^{\alpha +1}-x^{\alpha +2}}{2-x} d x

и найдите $\pi$ при $\alpha = 0$ .

Задача 4.14.74

(a)(b)(c)(d)

Вы едете с постоянной скоростью $v$ по обширной многополосной автомагистрали, а остальные машины, движущиеся в том же направлении, имеют независимые случайные скорости с тем же распределением, что и случайная величина $X$ с плотностью $f$ и конечной дисперсией.

?

(a)

Покажите, что математическое ожидание скорости машин, обгоняющих вас или обгоняемых вами, равно

m(v) = \frac{\mathbb {E}\left[X\left|X-v\right|\right]}{\mathbb {E}\left[\left|X-v\right|\right]}

(b)

Пусть $f$ симметрична относительно своего среднего $\mu$ , и $v < \mu$ . Покажите, что разность $m(v)-\mu$ положительна и достигает максимума при некотором $v = v_{\max } < \mu$ .

(c)

Что можно сказать, если $v > \mu$ ? Обсудите.

(d)

Пусть $X$ равномерно распределена на множестве $\left\{ 60,61, \ldots , 80\right\}$ . Покажите, что при $v = 63$ имеем $m(v) \approx 74$ , а при $v = 77$ имеем $m(v) \approx 66$ .

Задачи