Геометрическая вероятность

Выберите две точки $A$ и $B$ независимо и случайным образом на окружности круга $C$ с центром $O$ и единичным радиусом. Пусть $\Pi$ — длина перпендикуляра из $O$ к прямой $AB$, а $\Theta$ — угол, который $AB$ образует с горизонталью. Покажите, что $(\Pi , \Theta )$ имеет совместную плотность

Пусть $S_{1}$ и $S_{2}$ — непересекающиеся выпуклые фигуры с границами длины $b\left(S_{1}\right), b\left(S_{2}\right)$, как показано на рисунке ниже. Пусть $b(H)$ — длина границы выпуклой оболочки $S_{1}$ и $S_{2}$, включающей их внешние касательные, а $b(X)$ — длина пересекающей кривой, использующей внутренние касательные для охвата $S_{1}$ и $S_{2}$. Покажите, что вероятность того, что случайная прямая, пересекающая $S_{1}$, также пересекает $S_{2}$, равна $\left\{ b(X)-b(H)\right\} / b\left(S_{1}\right)$. (См. пример (4.13.2) для объяснения термина «случайная прямая».) Как это изменится, если $S_{1}$ и $S_{2}$ не являются непересекающимися?

Окружности — это фигуры $S_{1}$ и $S_{2}$. Заштрихованные области обозначены $A$ и $B$, и $b(X)$ есть сумма длин периметров $A$ и $B$.

Пусть $S_{1}$ и $S_{2}$ — выпуклые фигуры такие, что $S_{2} \subseteq S_{1}$. Покажите, что вероятность того, что две независимые случайные прямые $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$, пересекающие $S_{1}$, встречаются внутри $S_{2}$, равна $2 \pi \left|S_{2}\right| / b\left(S_{1}\right)^{2}$, где $\left|S_{2}\right|$ — площадь $S_{2}$, а $b\left(S_{1}\right)$ — длина границы $S_{1}$. (См. пример (4.13.2) для объяснения термина «случайная прямая».)

Пусть $Z$ — расстояние между двумя точками, выбранными независимо и случайным образом в круге радиуса $a$. Покажите, что $\mathbb {E}\left[Z\right] = 128 a /(45 \pi )$, и $\mathbb {E}\left[Z^{2}\right] = a^{2}$.

Выберите две точки $A$ и $B$ независимо и случайным образом в шаре с центром $O$. Покажите, что вероятность того, что угол $\widehat{\mathrm{AOB}}$ тупой, равна $\frac{5}{8}$. Сравните это с соответствующим результатом для двух точек, выбранных случайным образом в круге.

Треугольник образован точками $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ и точкой P, выбранной случайным образом в множестве $S$ с центром тяжести G. Покажите, что $\mathbb {E}\left[\left|\mathrm{ABP}\right|\right] = \left|\mathrm{ABG}\right|$.

Точка $D$ зафиксирована на стороне $BC$ треугольника $ABC$. Две точки $P$ и $Q$ выбираются независимо и случайным образом в $ABD$ и $ADC$ соответственно. Покажите, что $\mathbb {E}\left[\left|A P Q\right|\right] = \left|\mathrm{AG}_{1} \mathrm{G}_{2}\right| = \frac{2}{9}\left|A B C\right|$, где $G_{1}$ и $\mathrm{G}_{2}$ — центры тяжести $ABD$ и $ADC$.

Из множества всех треугольников, подобных треугольнику $ABC$, одинаково с ним ориентированных и находящихся внутри $ABC$, один выбирается равномерно случайным образом. Покажите, что его средняя площадь равна $\frac{1}{10}\left|\mathrm{ABC}\right|$.

Две точки $X$ и $Y$ выбираются независимо и случайным образом на интервале $(0, a)$. Варьируя $a$, покажите, что $F(z, a) = \mathbb {P}\left(|X-Y| \leq z\right)$ удовлетворяет

и, следовательно, найдите $F(z, a)$. Пусть $r \geq 1$, и покажите, что $m_{r}(a) = \mathbb {E}\left[|X-Y|^{r}\right]$ удовлетворяет

Отсюда найдите $m_{r}(a)$.

Прямые независимо и случайным образом наносятся на плоскость, разбивая её на многоугольники. Покажите, что среднее число сторон этого множества многоугольников равно 4. [Указание: рассмотрите $n$ случайных больших окружностей на сфере радиуса $R$; затем устремите $R$ и $n$ к бесконечности.]

Точка $P$ выбирается случайным образом в треугольнике $ABC$. Прямые $AP, BP, CP$, продолженные, пересекают $BC$, $AC$, $AB$ соответственно в точках $L, M, N$. Покажите, что $\mathbb {E}\left[\left|L M N\right|\right] = \left(10-\pi^{2}\right)\left|A B C\right|$.

Если четыре точки выбираются независимо и случайным образом внутри треугольника $ABC$, покажите, что вероятность того, что ни одна из них не лежит внутри треугольника, образованного тремя другими, равна $\frac{2}{3}$.

Если три точки $P, Q, R$ выбираются независимо и случайным образом в круге радиуса $a$, покажите, что $\mathbb {E}\left[\left|\mathrm{PQR}\right|\right] = 35 a^{2} /(48 \pi )$. [Вам может пригодиться то, что $\int_{0}^{\pi } \int_{0}^{\pi } \sin^{3} x \sin^{3} y \sin \left|x-y\right| d x d y = 35 \pi / 128$.]

Две точки $A$ и $B$ выбираются независимо и случайным образом внутри круга $C$. Покажите, что вероятность того, что окружность с центром $A$ и радиусом $\left|\mathrm{AB}\right|$ лежит внутри $C$, равна $\frac{1}{6}$.

Две точки $A$ и $B$ выбираются независимо и случайным образом внутри шара $S$. Покажите, что вероятность того, что сфера с центром $A$ и радиусом $\left|\mathrm{AB}\right|$ лежит внутри $S$, равна $\frac{1}{20}$.

Выберите две точки независимо и равномерно случайным образом на поверхности сферы в $\mathbb {R}^{3}$ радиуса 1. Покажите, что плотность евклидова расстояния $D$ между ними равна $f(d) = \frac{1}{2} d$ для $d \in (0,2)$.

Две точки выбираются независимо и равномерно случайным образом на периметре (включая диаметр) полукруга единичного радиуса. Какова вероятность события $D$, состоящего в том, что ровно одна из них лежит на диаметре, и события $N$, состоящего в том, что ни одна из них не лежит на диаметре?

Пусть $A$ — площадь треугольника, образованного двумя точками и серединой диаметра. Покажите, что $\mathbb {E}\left[A \mid D\right] = 1 /(2 \pi )$, и $\mathbb {E}\left[A \mid N\right] = 1 / \pi$. Отсюда или иным способом покажите, что $\mathbb {E}\left[A\right] = 1 /(2+\pi )$.

Решение Стивенса задачи Джеффриса о велосипедном колесе. После проезда по участку дороги, усыпанному кнопками, велосипедист неоднократно осматривает переднее колесо, чтобы проверить, не попала ли в шину кнопка. Один осмотр колеса охватывает долю $x$ шины. После $n$ независимых таких осмотров, каждый из которых равномерно расположен на колесе, покажите, что вероятность того, что была осмотрена вся шина, равна $1-\binom {n}{1}(1-x)^{n-1}+\binom {n}{2}(1-2 x)^{n-1}-\cdots$, где ряд обрывается на члене с $1-k x$, где $k = \lfloor 1 / x\rfloor$ — целая часть числа $1 / x$.