Математическое ожидание

При каких значениях $\alpha$ величина $\mathbb {E}\left[|X|^{\alpha }\right]$ конечна, если плотность распределения $X$ равна:

Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{n}$ — независимые одинаково распределённые случайные величины, и пусть $S_{m} = X_{1}+ X_{2}+\cdots +X_{m}$. Предположим, что $\mathbb {P}\left(S_{n} = 0\right) = 0$. Покажите, что если $m \leq n$, то $\mathbb {E}\left[S_{m} / S_{n}\right] = m / n$.

Пусть $X$ — неотрицательная случайная величина с плотностью распределения $f$. Покажите, что

для любого $r \geq 1$, при котором данное математическое ожидание конечно.

Покажите, что математическое ожидание $\mu$, медиана $m$ и дисперсия $\sigma^{2}$ непрерывной случайной величины $X$ удовлетворяют неравенству $(\mu -m)^{2} \leq \sigma^{2}$.

Пусть $X$ — случайная величина с математическим ожиданием $\mu$ и непрерывной функцией распределения $F$.

Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{n}$ — неотрицательные случайные величины с конечными математическими ожиданиями. Покажите, что

Если $X$ — непрерывная случайная величина и $\mathbb {E}\left[X^{r}\right]$ существует, где $r \geq 1$ — целое число, покажите, что

Пусть $X$ — случайная величина, принимающая значения в $[0, a]$, с плотностью распределения $f$, удовлетворяющей $f(x) \leq b$ для всех $x$. Покажите, что $\mathbb {E}\left[X\right] \geq (2 b)^{-1}$. В более общем виде покажите, что при $n \geq 1$ выполняется $\mathbb {E}\left[X^{n}\right] \geq 1 /\left[(n+1) b^{n}\right]$.

Пусть $X$ — непрерывная случайная величина с конечной дисперсией. Покажите, что $g(a) = \mathbb {E}\left[(X-a)^{2}\right]$ минимальна при $a = \mathbb {E}\left[X\right]$.

По мишени, представляющей собой круг с центром $O$ и единичным радиусом, производится $n$ выстрелов из лука. Стрелы попадают в независимые точки мишени, причём для каждой стрелы вероятность попадания на расстояние $a \in (0,1)$ от $O$ равна $a^{2}$. Пусть $R$ — радиус наименьшего круга с центром в $O$, покрывающего все попадания стрел. Покажите, что $R$ имеет плотность $f(r) = 2 n r^{2 n-1}, 0 \leq r \leq 1$, и найдите среднюю площадь этого круга.

Стрела, попавшая дальше всех от $O$, выбывает. Покажите, что площадь наименьшего круга с центром в $O$, покрывающего оставшиеся попадания, равна $(n-1) \pi /(n+1)$.

Пусть $X$ — непрерывная случайная величина с дисперсией $\sigma^{2}$, унимодальная с модой $M$. Покажите, что $\left|M-\mathbb {E}\left[X\right]\right| \leq \sigma \sqrt{3}$, причём равенство достигается тогда и только тогда, когда $X$ имеет равномерное распределение.

Что можно сказать о $\left|M-m\right|$, где $m$ — медиана $X$?

Футбольный мяч помещается в точку $W$, равномерно распределённую на единичном отрезке $[0,1]$, и получает удар со случайной ненулевой скоростью $V$, имеющей распределение, симметричное относительно $0$. Предполагая, что $V$ и $W$ независимы, покажите (пренебрегая сопротивлением воздуха), что момент времени $T$, в который мяч достигает конца отрезка, унимодален.

Вот ещё два вопроса, касающихся футбольного мяча из предыдущего упражнения.