Связывание и пуассоновское приближение

Покажите, что $X$ стохастически больше $Y$ тогда и только тогда, когда $\mathbb {E}\left[u(X)\right] \geq \mathbb {E}\left[u(Y)\right]$ для любой неубывающей функции $u$, для которой существуют математические ожидания.

Пусть $X$ и $Y$ имеют пуассоновское распределение с параметрами $\lambda$ и $\mu$ соответственно. Покажите, что $X$ стохастически больше $Y$, если $\lambda \geq \mu$.

Покажите, что расстояние полной вариации между двумя дискретными величинами $X, Y$ удовлетворяет

Покажите для дискретных случайных величин $X, Y$, что $\mathbb {P}\left(X = Y\right) \leq 1-\frac{1}{2} d_{\mathrm{TV}}(X, Y)$, где $d_{\mathrm{TV}}$ обозначает расстояние полной вариации.

Покажите, что равенство в неравенстве упражнения (4.12.4) возможно в следующем смысле. Для любой пары $X, Y$ дискретных случайных величин существует пара $X^{\prime }$, $Y^{\prime }$, имеющая те же маргинальные распределения, что и $X, Y$, такая что $\mathbb {P}\left(X^{\prime } = Y^{\prime }\right) = 1-\frac{1}{2} d_{\mathrm{TV}}(X, Y)$.

Пусть $X$ и $Y$ — индикаторные величины с $\mathbb {E}\left[X\right]= p, \mathbb {E}\left[Y\right] = q$. Каково максимально возможное значение $\mathbb {P}\left(X = Y\right)$ как функции от $p, q$? Объясните, как должны быть распределены $X, Y$, чтобы $\mathbb {P}\left(X = Y\right)$ было:

Говорят, что случайная величина $X$ больше $Y$ в порядке стоп-лосс, если

для всех $a \in \mathbb {R}$, и в этом случае мы пишем $X \geq_{\mathrm{sl}} Y$. Покажите, что $X \geq_{\mathrm{sl}} Y$ эквивалентно: $\mathbb {E}\left[X^{+}\right], \mathbb {E}\left[Y^{+}\right] < \infty$ и $\mathbb {E}\left[c(X)\right] \geq \mathbb {E}\left[c(Y)\right]$ для всех возрастающих выпуклых функций $c$.

Говорят, что случайная величина $X$ меньше $Y$ в выпуклом порядке, если $\mathbb {E}\left[u(X\right]) \leq \mathbb {E}\left[u(Y)\right]$ для всех выпуклых функций $u$, для которых существуют математические ожидания, и в этом случае мы пишем $X \leq { }_{\mathrm{cx}} Y$.