Многомерное нормальное распределение

Симметричная матрица называется неотрицательно (соответственно положительно) определённой, если её собственные значения неотрицательны (соответственно строго положительны). Покажите, что неотрицательно определённая симметричная матрица $\mathbf{V}$ имеет квадратный корень, то есть существует симметричная матрица $\mathbf{W}$, удовлетворяющая $\mathbf{W}^{2} = \mathbf{V}$. Покажите далее, что $\mathbf{W}$ невырождена тогда и только тогда, когда $\mathbf{V}$ положительно определена.

Если $\mathbf{X}$ — случайный вектор с распределением $N(\mathbf{\mu }, \mathbf{V})$, где $\mathbf{V}$ невырождена, покажите, что $\mathbf{Y} = (\mathbf{X}-\mathbf{\mu }) \mathbf{W}^{-1}$ имеет распределение $N(\mathbf{0}, \mathbf{I})$, где $\mathbf{I}$ — единичная матрица, а $\mathbf{W}$ — симметричная матрица, удовлетворяющая $\mathbf{W}^{2} = \mathbf{V}$. Говорят, что случайный вектор $\mathbf{Y}$ имеет стандартное многомерное нормальное распределение.

Пусть $\mathbf{X} = \left(X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{n}\right)$ имеет распределение $N(\mathbf{\mu }, \mathbf{V})$, и покажите, что $Y = a_{1} X_{1}+a_{2} X_{2}+ \cdots +a_{n} X_{n}$ имеет (одномерное) распределение $N\left(\mu , \sigma^{2}\right)$, где

Пусть $X$ и $Y$ имеют двумерное нормальное распределение с нулевыми математическими ожиданиями, единичными дисперсиями и корреляцией $\rho$. Найдите совместную плотность распределения $X+Y$ и $X-Y$, а также их маргинальные плотности распределения.

Пусть $X$ имеет распределение $N(0,1)$, и пусть $a > 0$. Покажите, что случайная величина $Y$, заданная как

имеет распределение $N(0,1)$, и найдите выражение для $\rho (a) = \operatorname {Cov}\left[X, Y\right]$ через плотность распределения $\phi$ величины $X$. Имеет ли пара $(X, Y)$ двумерное нормальное распределение?

Пусть $\left\{ Y_{r}: 1 \leq r \leq n\right\}$ — независимые случайные величины $N(0,1)$, и определим $X_{j} = \sum_{r = 1}^{n} c_{j r} Y_{r}$, $1 \leq r \leq n$, для констант $c_{j r}$. Покажите, что

Чему равна $\operatorname {Var}\left[X_{j} \mid X_{k}\right]$?

Пусть вектор $\left(X_{r}: 1 \leq r \leq n\right)$ имеет многомерное нормальное распределение с матрицей ковариаций $\mathbf{V} = \left(v_{i j}\right)$. Покажите, что при условии события $\sum_{1}^{n} X_{r} = x$ величина $X_{1}$ имеет распределение $N(a, b)$, где $a = (\rho s / t) x, b = s^{2}\left(1-\rho^{2}\right)$, а $s^{2} = v_{11}, t^{2} = \sum_{i j} v_{i j}, \rho = \sum_{i} v_{i 1} /(s t)$.

Пусть $X, Y$ и $Z$ имеют стандартное трёхмерное нормальное распределение с центром в начале координат, нулевыми математическими ожиданиями, единичными дисперсиями и коэффициентами корреляции $\rho_{1}, \rho_{2}$ и $\rho_{3}$. Покажите, что

Пусть $X, Y, Z$ имеют стандартную трёхмерную нормальную плотность распределения из Упражнения (4.9.8), с $\rho_{1} = \rho (X, Y)$. Покажите, что

Пусть $X$ и $Y$ имеют стандартное двумерное нормальное распределение с корреляцией $\rho \neq 0$, и пусть $U = X \cos \theta +Y \sin \theta$ и $V = -X \sin \theta +Y \cos \theta$, где $\theta \in [0, \pi )$. Существует ли значение $\theta$, при котором $U$ и $V$ независимы?

Пусть $X$ имеет распределение $N(0,1)$, и пусть $Y = B X$, где $B$ независима от $X$ и имеет функцию вероятности $\mathbb {P}\left(B = 1\right) = \mathbb {P}\left(B = -1\right) = \frac{1}{2}$. Покажите, что пара $(X, Y)$ имеет сингулярное распределение (в том смысле, что носитель совместной плотности распределения имеет нулевую (лебегову) площадь на плоскости), но не является сингулярным двумерным нормальным распределением.