Статистическое оценивание параметров

Найдите функцию распределения $k$-й порядковой статистики $X_{(k)}$, $k = 1, \ldots , n$.

Выборка соответствует распределению $R[0 ; 1]$. Вычислите $\mathbb {E}\left[X_{(n)}\right]$ и $\operatorname {Var}\left[X_{(n)}\right]$.

Выборка соответствует распределению $F(x)$ с конечным моментом $\nu_{r}$. Докажите, что $\bar{\mu }_{r}(n) \xrightarrow {\text{ п.н. }} \mu_{r}, n \rightarrow \infty$.

Выборка объема $n \gg 1$ соответствует распределению $\mathcal{N}\left(0 ; \sigma^{2}\right)$. Найдите распределение выборочного момента $\bar{v}_{2}(n)$ при $n \rightarrow \infty$.

Двумерная выборка объема $n \gg 1$ соответствует распределению $\mathcal{N}(\mu ; K)$, где ковариационная матрица $K = \left[\begin{array}{cc}D_{X} & k_{X Y} \\ k_{Y X} & D_{Y}\end{array}\right]$. Докажите, что $\sqrt{n}\left(\widehat{k}_{X Y}(n)-k_{X Y}\right) \xrightarrow {d} \xi \sim \mathcal{N}\left(0 ; D_{X} D_{Y}+k_{X Y}^{2}\right)$ при $n \rightarrow \infty$.

Выборка соответствует распределению $\operatorname {Exp}\left(\lambda \right), \lambda > 0$. Найдите предел, к которому почти наверное сходится $\bar{v}_{2}(n)$ при $n \rightarrow \infty$.

Выборка объема $n \gg 1$ порождена СВ $X \sim \operatorname {Exp}\left(1\right)$. Оцените $\mathbb {P}\left(\left|\widehat{F}_{n}(1)-F_{X}(1)\right| \leqslant \frac{1}{\sqrt{n}}\right)$.

Докажите теорему 2.1: пусть $\hat{\theta }_{n}$ — оценка параметра $\theta \in \mathbb {R}$, для которой $\mathbb {E}\left[\left|\Delta \hat{\theta }_{n}\right|^{2}\right] < \infty$, где $\Delta \hat{\theta }_{n} := \hat{\theta }_{n}-\theta$. Тогда среднеквадратическая погрешность $\Delta_{n} := \mathbb {E}\left[\left|\Delta \hat{\theta }_{n}\right|^{2}\right]$ равна $\Delta_{n} = l_{n}^{2}+d_{n}$, где $l_{n} := \mathbb {E}\left[\Delta \hat{\theta }_{n}\right]$ — смещение оценки $\hat{\theta }_{n}$, а $d_{n} := \operatorname {Var}\left[\Delta \hat{\theta }_{n}\right]$ — дисперсия ее ошибки.

Пусть $\theta$ — неслучайный параметр, а $\widehat{\theta }_{n}$ — его несмещенная оценка. Покажите, что $\Delta_{n} = \operatorname {Var}\left[\widehat{\theta }_{n}\right]$.

Выборка $\left\{ X_{k}, k = 1, \ldots , n\right\}$ порождена СВ $X$ с известным средним $m = \mathbb {E}\left[X\right]$ и неизвестной дисперсией $\theta = \operatorname {Var}\left[X\right]$. Докажите, что статистика $S_{n}^{2} = \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n}\left(X_{k}-m\right)^{2}$ является несмещенной и сильно состоятельной оценкой параметра $\theta$.

Выборка $\left\{ X_{k}, k = 1, \ldots , n\right\}$ соответствует распределению $R[0 ; \theta ]$, $\theta > 0$. Покажите, что $X_{(n)}$ — с.к.-состоятельная оценка параметра $\theta$.

Выборка $\left\{ X_{k}, k = 1, \ldots , n\right\}$ соответствует распределению $\operatorname {Exp}\left(\theta \right), \theta > 0$. Докажите, что $\hat{\theta }_{n} = \sqrt{\frac{2 n}{\sum_{k = 1}^{n} X_{k}^{2}}}$ является сильно состоятельной оценкой параметра $\theta$.

Пусть выборка $\left\{ X_{k}, k = 1, \ldots , n\right\}$ соответствует нормальному распределению $\mathcal{N}\left(\theta , \sigma^{2}\right)$, где $\sigma$ — известно. Покажите, что статистика $T_{n} = \left(\bar{X}_{n}\right)^{2}-\frac{\sigma^{2}}{n}$ несмещенно и сильно состоятельно оценивает функцию $g(\theta ) = \theta^{2}$.

Выборка $\left\{ X_{k}, k = 1, \ldots , n\right\}$ порождена $\mathrm{СВ} X \sim R[0 ; \theta ], \theta > 0$. Докажите, что $\widehat{\theta }_{n} = 2 \bar{X}_{n}$ — несмещенная и сильно состоятельная оценка для $\theta$.

Пусть выборка $\left\{ X_{k}, k = 1, \ldots , n\right\}$ соответствует распределению $\operatorname {Bin}\left(N, p\right)$, где $N$ — известно. Покажите, что статистика $T_{n} = \frac{\bar{X}_{n}\left(N-\bar{X}_{n}\right)}{N}$ является асимптотически несмещенной и сильно состоятельной оценкой параметра $\theta = \operatorname {Var}\left[X_{1}\right]$.

Докажите, что оценки параметров, построенные в примерах 3.1 и 3.3 , являются асимптотически несмещенными и сильно состоятельными.

Выборка объема $n$ порождена $\mathrm{СВ} X \sim \operatorname {Exp}\left(\theta \right), \theta > 0$. Найдите МП-оценку параметра $\theta$ и докажите ее сильную состоятельность.

Выборка объема $n$ соответствует распределению Пуассона $\operatorname {Pois}\left(\theta \right)$, $\theta > 0$. Найдите МП-оценку для $\theta$, докажите ее несмещенность, сильную состоятельность и асимптотическую нормальность.

Выборка $\left\{ X_{k}, k = 1, \ldots , n\right\}$ порождена $\mathrm{СВ} X \sim E(\theta_{1}, \theta_{2}), \theta_{2} > 0$, т.е.

Найдите оценки параметров $\theta_{1}$ и $\theta_{2}$ методом моментов. Докажите сильную состоятельность полученных оценок.

Выборка $Z_{n}$ соответствует распределению Рэлея с функцией распределения $F(x ; \theta ) = 1-\exp \left\{ -\frac{x^{2}}{\theta }\right\} , x \geqslant 0, \theta > 0$. Найдите МП-оценку параметра $\theta$.

Выборка $Z_{n} = \left\{ X_{k}, k = 1, \ldots , n\right\}$ объема $n = 2 m+1$ (m — натуральное) соответствует распределению Лапласа с плотностью $p(x ; \theta ) = \frac{1}{2} \exp \left\{ -\left|x-\theta \right|\right\}$. Найдите МП-оценку параметра $\theta$.

В условиях задачи 6 для случая $n = 2 m$ покажите, что МП-оценкой для $\theta$ является любая статистика вида $\widehat{\theta }_{n} = (1-\lambda ) X_{(m)}+\lambda X_{(m+1)}, \lambda \in [0 ; 1]$.

Пусть $\widehat{\theta }_{n}$ — МП-оценка параметра $\theta$ распределения Бернулли $\operatorname {Bin}\left(1, \theta \right)$. Покажите, что последовательность $\sqrt{n}\left(\widehat{\theta }_{n}-\theta \right)$ асимптотически нормальна с параметрами ($0 ; \theta (1-\theta )$).

Выборка $Z_{n}$ соответствует нормальному распределению с параметрами $(\sqrt{\theta } ; 2), \theta \geqslant 0$. Найдите МП-оценку для $\theta$.

Выборка $Z_{n} = \left\{ X_{k}, k = 1, \ldots , n\right\}$ соответствует логнормальному распределению с параметрами $\left(\theta_{1} ; \theta_{2}\right)$, т.е. $\ln X_{k} \sim \mathcal{N}\left(\theta_{1} ; \theta_{2}\right)$. Найдите МП-оценку параметра $\theta = \mathbb {E}\left[X_{k}\right]$, докажите ее сильную состоятельность.

Найдите МП-оценку параметра $\theta = \mathbb {E}\left[X_{k}\right]$ по выборке $\left\{ X_{k}, k = 1, \ldots , n\right\}$, соответствующей распределению $R\left[\theta_{1}, \theta_{2}\right]$.

Выборка соответствует распределению $\operatorname {Bin}\left(N, \theta \right), \theta \in (0 ; 1)$. Проверьте условия регулярности, найдите $i(\theta )$ и докажите эффективность МП-оценки параметра $\theta$.

Покажите, что распределение Пуассона $\operatorname {Pois}\left(\theta \right)$ регулярно. Найдите $i(\theta )$. Докажите эффективность МП-оценки $\widehat{\theta }_{n}$ параметра $\theta$.

Для распределения $\mathcal{N}\left(\mu ; \theta^{2}\right), \theta > 0$, где $\mu$ — известно, найдите информацию Фишера $i(\theta )$.

Проверьте регулярность распределения $\operatorname {Exp}\left(\theta \right), \theta > 0$, вычислите $I_{n}(\theta )$. Докажите, что оценка $\widetilde{\theta }_{n} = \frac{n-1}{n} \widehat{\theta }_{n}$ асимптотически эффективна, если $\widehat{\theta }_{n}$ — МП-оценка для $\theta$.

Покажите, что информация $I_{n}(\theta )$, содержащаяся в выборке $Z_{n}$, соответствующей распределению Лапласа (4.10), равна $\frac{n}{\lambda^{2}}$.

Сравните по точности оценку $\theta_{n}^{*}$ параметра $\theta$ распределения $R[0 ; \theta ]$, $\theta > 0$, полученную методом моментов, с оценкой $\tilde{\theta }_{n}$, рассмотренной в примере 4.5.

Пусть выборка соответствует распределению $\mathcal{N}(\mu ; \theta ), \theta > 0, \mu$ — известно. Докажите, что МП-оценка дисперсии $\theta$ эффективна.

Выборка $Z_{n}$ соответствует распределению $\mathcal{N}\left(\theta_{1} ; \theta_{2}^{2}\right)$. Найдите информационную матрицу Фишера $I\left(\theta_{1}, \theta_{2}\right)$.

Для оценок, построенных в задачах 1,2 и 7 , найдите их представление (4.6) через вклад выборки.

Выборка $\left\{ X_{1}, \ldots , X_{n}\right\} , n \gg 1$ соответствует распределению Пуассона $\operatorname {Pois}\left(\theta \right), \theta > 0$. Постройте асимптотический доверительный интервал для $\theta$ надежности $q$.

Выборка $\left\{ X_{1}, \ldots , X_{n}\right\}$ соответствует распределению $\mathcal{N}(\mu ; \theta ), \mu$ — известно. Постройте центральный доверительный интервал надежности $q$ для дисперсии $\theta$.

Выборка $\left\{ X_{1}, \ldots , X_{n}\right\} , n \gg 1$ соответствует распределению $\operatorname {Exp}\left(\frac{1}{\theta }\right)$, $\theta > 0$. Постройте асимптотический доверительный интервал надежности $q$ для параметра $\theta$.

По выборке $z_{n} = \left\{ -0,26 ;-0,36 ; 1,83 ; 0,54 ;-2,06\right\}$, соответствующей распределению $\mathcal{N}\left(\theta_{1} ; \theta_{2}^{2}\right)$, найдите доверительные интервалы надежности $q = 0,9$ для $\theta_{1}$ и $\theta_{2}$.

Выборка $Z_{n} = \left\{ X_{k}, k = 1, \ldots , n\right\} , n \gg 1$ соответствует равномерному распределению $R[0 ; a], a > 0$. Постройте асимптотический доверительный интервал надежности $q$ для параметра $\theta = \mathbb {E}\left[X_{1}\right]$.

Выборка $Z_{n} = \left\{ X_{1}, \ldots , X_{n}\right\} , n \gg 1$ соответствует распределению с плотностью вероятности $p(x ; \theta ) = \exp \left\{ \theta -x\right\} , x \geqslant \theta$, где $\theta > 0$. Покажите, что доверительным интервалом надежности $q$ для $\theta$ является $\left[X_{(1)}+\frac{\ln (1-q)}{n} ; X_{(1)}\right]$.

В условиях задачи 6 постройте центральный доверительный интервал надежности $q$ для $\theta$.

Пусть выборка $\left\{ X_{1}, \ldots , X_{n}\right\} , n \gg 1$ соответствует распределению $R[0 ; \theta ], \theta > 0$. Покажите, что $\left(\frac{X_{(n)}}{\theta }\right)^{n}$ — центральная статистика, и постройте для $\theta$ доверительный интервал минимальной длины и надежности $q$.

Пусть $Z_{n}^{(1)} = \left\{ X_{1}, \ldots , X_{n}\right\}$ и $Z_{n}^{(2)} = \left\{ Y_{1}, \ldots , Y_{n}\right\}$ — две независимые выборки, причем $Z_{n}^{(1)}$ соответствует распределению $\mathcal{N}\left(\theta_{1} ; \sigma_{1}^{2}\right)$, а $Z_{n}^{(2)} \mathcal{N}\left(\theta_{2} ; \sigma_{2}^{2}\right)$ ($\sigma_{1}$ и $\sigma_{2}$ — известны). Требуется построить доверительный интервал надежности $q$ для параметра $\theta = \theta_{1}-\theta_{2}$.

Обобщите результат примера 6.1 на случай, когда дисперсия $\sigma^{2}$ неизвестна.

Выборка $Z_{n}$ соответствует распределению $\mathcal{N}\left(\theta_{1} ; \theta_{2}\right)$. Проверьте на уровне значимости $p$ гипотезу $H_{0}: \theta_{2} = \sigma^{2}$ против $H_{1}: \theta_{2} \neq \sigma^{2}$.

Пусть $\left\{ X_{k}, k = 1, \ldots , n\right\}$ и $\left\{ Y_{m}, m = 1, \ldots , n\right\}$ — независимые выборки, порожденные СВ $X \sim \mathcal{N}\left(\theta_{1} ; \sigma_{1}^{2}\right)$ и $Y \sim \mathcal{N}\left(\theta_{2} ; \sigma_{2}^{2}\right)$, $\sigma_{1}$ и $\sigma_{2}$ — известны. На уровне значимости $p$ проверьте гипотезу $H_{0}: \theta_{1} = \theta_{2}$ против $H_{1}: \theta_{1} \neq \theta_{2}$.

В условиях примера 6.4 найдите вероятность $\beta$ ошибки второго рода.

В условиях предыдущей задачи определите, при каком минимальном объеме выборки $n_{0}$ величина $\beta$ будет не больше 0,01 , если $\theta_{0} = 0, \gamma = 1$, $\sigma^{2} = 1, p = 0,05$.

В условиях примера 6.4 найдите минимальный объем выборки $n_{0}$, при котором вероятности ошибок первого и второго рода не больше заданных значений соответственно $a > 0$ и $b > 0$.

Выборка $Z_{n} = \left\{ X_{k}, k = 1, \ldots , n\right\}$ соответствует распределению $\mathcal{N}\left(0 ; \theta^{2}\right), \theta > 0$. Постройте наиболее мощный критерий для проверки на уровне значимости $p$ гипотезы $H_{0}: \theta = \theta_{0}$ против альтернативы $H_{1}: \theta = \sigma > \theta_{0}$.