Выборка и ее основные характеристики

Найдите функцию распределения $k$-й порядковой статистики $X_{(k)}$, $k = 1, \ldots , n$.

Выборка соответствует распределению $R[0 ; 1]$. Вычислите $\mathbb {E}\left[X_{(n)}\right]$ и $\operatorname {Var}\left[X_{(n)}\right]$.

Выборка соответствует распределению $F(x)$ с конечным моментом $\nu_{r}$. Докажите, что $\bar{\mu }_{r}(n) \xrightarrow {\text{ п.н. }} \mu_{r}, n \rightarrow \infty$.

Выборка объема $n \gg 1$ соответствует распределению $\mathcal{N}\left(0 ; \sigma^{2}\right)$. Найдите распределение выборочного момента $\bar{v}_{2}(n)$ при $n \rightarrow \infty$.

Двумерная выборка объема $n \gg 1$ соответствует распределению $\mathcal{N}(\mu ; K)$, где ковариационная матрица $K = \left[\begin{array}{cc}D_{X} & k_{X Y} \\ k_{Y X} & D_{Y}\end{array}\right]$. Докажите, что $\sqrt{n}\left(\widehat{k}_{X Y}(n)-k_{X Y}\right) \xrightarrow {d} \xi \sim \mathcal{N}\left(0 ; D_{X} D_{Y}+k_{X Y}^{2}\right)$ при $n \rightarrow \infty$.

Выборка соответствует распределению $\operatorname {Exp}\left(\lambda \right), \lambda > 0$. Найдите предел, к которому почти наверное сходится $\bar{v}_{2}(n)$ при $n \rightarrow \infty$.

Выборка объема $n \gg 1$ порождена СВ $X \sim \operatorname {Exp}\left(1\right)$. Оцените $\mathbb {P}\left(\left|\widehat{F}_{n}(1)-F_{X}(1)\right| \leqslant \frac{1}{\sqrt{n}}\right)$.