Интервальные оценки параметров

Выборка $\left\{ X_{1}, \ldots , X_{n}\right\} , n \gg 1$ соответствует распределению Пуассона $\operatorname {Pois}\left(\theta \right), \theta > 0$. Постройте асимптотический доверительный интервал для $\theta$ надежности $q$.

Выборка $\left\{ X_{1}, \ldots , X_{n}\right\}$ соответствует распределению $\mathcal{N}(\mu ; \theta ), \mu$ — известно. Постройте центральный доверительный интервал надежности $q$ для дисперсии $\theta$.

Выборка $\left\{ X_{1}, \ldots , X_{n}\right\} , n \gg 1$ соответствует распределению $\operatorname {Exp}\left(\frac{1}{\theta }\right)$, $\theta > 0$. Постройте асимптотический доверительный интервал надежности $q$ для параметра $\theta$.

По выборке $z_{n} = \left\{ -0,26 ;-0,36 ; 1,83 ; 0,54 ;-2,06\right\}$, соответствующей распределению $\mathcal{N}\left(\theta_{1} ; \theta_{2}^{2}\right)$, найдите доверительные интервалы надежности $q = 0,9$ для $\theta_{1}$ и $\theta_{2}$.

Выборка $Z_{n} = \left\{ X_{k}, k = 1, \ldots , n\right\} , n \gg 1$ соответствует равномерному распределению $R[0 ; a], a > 0$. Постройте асимптотический доверительный интервал надежности $q$ для параметра $\theta = \mathbb {E}\left[X_{1}\right]$.

Выборка $Z_{n} = \left\{ X_{1}, \ldots , X_{n}\right\} , n \gg 1$ соответствует распределению с плотностью вероятности $p(x ; \theta ) = \exp \left\{ \theta -x\right\} , x \geqslant \theta$, где $\theta > 0$. Покажите, что доверительным интервалом надежности $q$ для $\theta$ является $\left[X_{(1)}+\frac{\ln (1-q)}{n} ; X_{(1)}\right]$.

В условиях задачи 6 постройте центральный доверительный интервал надежности $q$ для $\theta$.

Пусть выборка $\left\{ X_{1}, \ldots , X_{n}\right\} , n \gg 1$ соответствует распределению $R[0 ; \theta ], \theta > 0$. Покажите, что $\left(\frac{X_{(n)}}{\theta }\right)^{n}$ — центральная статистика, и постройте для $\theta$ доверительный интервал минимальной длины и надежности $q$.

Пусть $Z_{n}^{(1)} = \left\{ X_{1}, \ldots , X_{n}\right\}$ и $Z_{n}^{(2)} = \left\{ Y_{1}, \ldots , Y_{n}\right\}$ — две независимые выборки, причем $Z_{n}^{(1)}$ соответствует распределению $\mathcal{N}\left(\theta_{1} ; \sigma_{1}^{2}\right)$, а $Z_{n}^{(2)} \mathcal{N}\left(\theta_{2} ; \sigma_{2}^{2}\right)$ ($\sigma_{1}$ и $\sigma_{2}$ — известны). Требуется построить доверительный интервал надежности $q$ для параметра $\theta = \theta_{1}-\theta_{2}$.