Эффективность точечных оценок

Выборка соответствует распределению $\operatorname {Bin}\left(N, \theta \right), \theta \in (0 ; 1)$. Проверьте условия регулярности, найдите $i(\theta )$ и докажите эффективность МП-оценки параметра $\theta$.

Покажите, что распределение Пуассона $\operatorname {Pois}\left(\theta \right)$ регулярно. Найдите $i(\theta )$. Докажите эффективность МП-оценки $\widehat{\theta }_{n}$ параметра $\theta$.

Для распределения $\mathcal{N}\left(\mu ; \theta^{2}\right), \theta > 0$, где $\mu$ — известно, найдите информацию Фишера $i(\theta )$.

Проверьте регулярность распределения $\operatorname {Exp}\left(\theta \right), \theta > 0$, вычислите $I_{n}(\theta )$. Докажите, что оценка $\widetilde{\theta }_{n} = \frac{n-1}{n} \widehat{\theta }_{n}$ асимптотически эффективна, если $\widehat{\theta }_{n}$ — МП-оценка для $\theta$.

Покажите, что информация $I_{n}(\theta )$, содержащаяся в выборке $Z_{n}$, соответствующей распределению Лапласа (4.10), равна $\frac{n}{\lambda^{2}}$.

Сравните по точности оценку $\theta_{n}^{*}$ параметра $\theta$ распределения $R[0 ; \theta ]$, $\theta > 0$, полученную методом моментов, с оценкой $\tilde{\theta }_{n}$, рассмотренной в примере 4.5.

Пусть выборка соответствует распределению $\mathcal{N}(\mu ; \theta ), \theta > 0, \mu$ — известно. Докажите, что МП-оценка дисперсии $\theta$ эффективна.

Выборка $Z_{n}$ соответствует распределению $\mathcal{N}\left(\theta_{1} ; \theta_{2}^{2}\right)$. Найдите информационную матрицу Фишера $I\left(\theta_{1}, \theta_{2}\right)$.

Для оценок, построенных в задачах 1,2 и 7 , найдите их представление (4.6) через вклад выборки.