Проверка параметрических гипотез

Обобщите результат примера 6.1 на случай, когда дисперсия $\sigma^{2}$ неизвестна.

Выборка $Z_{n}$ соответствует распределению $\mathcal{N}\left(\theta_{1} ; \theta_{2}\right)$. Проверьте на уровне значимости $p$ гипотезу $H_{0}: \theta_{2} = \sigma^{2}$ против $H_{1}: \theta_{2} \neq \sigma^{2}$.

Пусть $\left\{ X_{k}, k = 1, \ldots , n\right\}$ и $\left\{ Y_{m}, m = 1, \ldots , n\right\}$ — независимые выборки, порожденные СВ $X \sim \mathcal{N}\left(\theta_{1} ; \sigma_{1}^{2}\right)$ и $Y \sim \mathcal{N}\left(\theta_{2} ; \sigma_{2}^{2}\right)$, $\sigma_{1}$ и $\sigma_{2}$ — известны. На уровне значимости $p$ проверьте гипотезу $H_{0}: \theta_{1} = \theta_{2}$ против $H_{1}: \theta_{1} \neq \theta_{2}$.

В условиях примера 6.4 найдите вероятность $\beta$ ошибки второго рода.

В условиях предыдущей задачи определите, при каком минимальном объеме выборки $n_{0}$ величина $\beta$ будет не больше 0,01 , если $\theta_{0} = 0, \gamma = 1$, $\sigma^{2} = 1, p = 0,05$.

В условиях примера 6.4 найдите минимальный объем выборки $n_{0}$, при котором вероятности ошибок первого и второго рода не больше заданных значений соответственно $a > 0$ и $b > 0$.

Выборка $Z_{n} = \left\{ X_{k}, k = 1, \ldots , n\right\}$ соответствует распределению $\mathcal{N}\left(0 ; \theta^{2}\right), \theta > 0$. Постройте наиболее мощный критерий для проверки на уровне значимости $p$ гипотезы $H_{0}: \theta = \theta_{0}$ против альтернативы $H_{1}: \theta = \sigma > \theta_{0}$.