Методы построения точечных оценок параметров

Докажите, что оценки параметров, построенные в примерах 3.1 и 3.3 , являются асимптотически несмещенными и сильно состоятельными.

Выборка объема $n$ порождена $\mathrm{СВ} X \sim \operatorname {Exp}\left(\theta \right), \theta > 0$. Найдите МП-оценку параметра $\theta$ и докажите ее сильную состоятельность.

Выборка объема $n$ соответствует распределению Пуассона $\operatorname {Pois}\left(\theta \right)$, $\theta > 0$. Найдите МП-оценку для $\theta$, докажите ее несмещенность, сильную состоятельность и асимптотическую нормальность.

Выборка $\left\{ X_{k}, k = 1, \ldots , n\right\}$ порождена $\mathrm{СВ} X \sim E(\theta_{1}, \theta_{2}), \theta_{2} > 0$, т.е.

Найдите оценки параметров $\theta_{1}$ и $\theta_{2}$ методом моментов. Докажите сильную состоятельность полученных оценок.

Выборка $Z_{n}$ соответствует распределению Рэлея с функцией распределения $F(x ; \theta ) = 1-\exp \left\{ -\frac{x^{2}}{\theta }\right\} , x \geqslant 0, \theta > 0$. Найдите МП-оценку параметра $\theta$.

Выборка $Z_{n} = \left\{ X_{k}, k = 1, \ldots , n\right\}$ объема $n = 2 m+1$ (m — натуральное) соответствует распределению Лапласа с плотностью $p(x ; \theta ) = \frac{1}{2} \exp \left\{ -\left|x-\theta \right|\right\}$. Найдите МП-оценку параметра $\theta$.

В условиях задачи 6 для случая $n = 2 m$ покажите, что МП-оценкой для $\theta$ является любая статистика вида $\widehat{\theta }_{n} = (1-\lambda ) X_{(m)}+\lambda X_{(m+1)}, \lambda \in [0 ; 1]$.

Пусть $\widehat{\theta }_{n}$ — МП-оценка параметра $\theta$ распределения Бернулли $\operatorname {Bin}\left(1, \theta \right)$. Покажите, что последовательность $\sqrt{n}\left(\widehat{\theta }_{n}-\theta \right)$ асимптотически нормальна с параметрами ($0 ; \theta (1-\theta )$).

Выборка $Z_{n}$ соответствует нормальному распределению с параметрами $(\sqrt{\theta } ; 2), \theta \geqslant 0$. Найдите МП-оценку для $\theta$.

Выборка $Z_{n} = \left\{ X_{k}, k = 1, \ldots , n\right\}$ соответствует логнормальному распределению с параметрами $\left(\theta_{1} ; \theta_{2}\right)$, т.е. $\ln X_{k} \sim \mathcal{N}\left(\theta_{1} ; \theta_{2}\right)$. Найдите МП-оценку параметра $\theta = \mathbb {E}\left[X_{k}\right]$, докажите ее сильную состоятельность.

Найдите МП-оценку параметра $\theta = \mathbb {E}\left[X_{k}\right]$ по выборке $\left\{ X_{k}, k = 1, \ldots , n\right\}$, соответствующей распределению $R\left[\theta_{1}, \theta_{2}\right]$.