Точечные оценки и их свойства

Докажите теорему 2.1: пусть $\hat{\theta }_{n}$ — оценка параметра $\theta \in \mathbb {R}$, для которой $\mathbb {E}\left[\left|\Delta \hat{\theta }_{n}\right|^{2}\right] < \infty$, где $\Delta \hat{\theta }_{n} := \hat{\theta }_{n}-\theta$. Тогда среднеквадратическая погрешность $\Delta_{n} := \mathbb {E}\left[\left|\Delta \hat{\theta }_{n}\right|^{2}\right]$ равна $\Delta_{n} = l_{n}^{2}+d_{n}$, где $l_{n} := \mathbb {E}\left[\Delta \hat{\theta }_{n}\right]$ — смещение оценки $\hat{\theta }_{n}$, а $d_{n} := \operatorname {Var}\left[\Delta \hat{\theta }_{n}\right]$ — дисперсия ее ошибки.

Пусть $\theta$ — неслучайный параметр, а $\widehat{\theta }_{n}$ — его несмещенная оценка. Покажите, что $\Delta_{n} = \operatorname {Var}\left[\widehat{\theta }_{n}\right]$.

Выборка $\left\{ X_{k}, k = 1, \ldots , n\right\}$ порождена СВ $X$ с известным средним $m = \mathbb {E}\left[X\right]$ и неизвестной дисперсией $\theta = \operatorname {Var}\left[X\right]$. Докажите, что статистика $S_{n}^{2} = \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n}\left(X_{k}-m\right)^{2}$ является несмещенной и сильно состоятельной оценкой параметра $\theta$.

Выборка $\left\{ X_{k}, k = 1, \ldots , n\right\}$ соответствует распределению $R[0 ; \theta ]$, $\theta > 0$. Покажите, что $X_{(n)}$ — с.к.-состоятельная оценка параметра $\theta$.

Выборка $\left\{ X_{k}, k = 1, \ldots , n\right\}$ соответствует распределению $\operatorname {Exp}\left(\theta \right), \theta > 0$. Докажите, что $\hat{\theta }_{n} = \sqrt{\frac{2 n}{\sum_{k = 1}^{n} X_{k}^{2}}}$ является сильно состоятельной оценкой параметра $\theta$.

Пусть выборка $\left\{ X_{k}, k = 1, \ldots , n\right\}$ соответствует нормальному распределению $\mathcal{N}\left(\theta , \sigma^{2}\right)$, где $\sigma$ — известно. Покажите, что статистика $T_{n} = \left(\bar{X}_{n}\right)^{2}-\frac{\sigma^{2}}{n}$ несмещенно и сильно состоятельно оценивает функцию $g(\theta ) = \theta^{2}$.

Выборка $\left\{ X_{k}, k = 1, \ldots , n\right\}$ порождена $\mathrm{СВ} X \sim R[0 ; \theta ], \theta > 0$. Докажите, что $\widehat{\theta }_{n} = 2 \bar{X}_{n}$ — несмещенная и сильно состоятельная оценка для $\theta$.

Пусть выборка $\left\{ X_{k}, k = 1, \ldots , n\right\}$ соответствует распределению $\operatorname {Bin}\left(N, p\right)$, где $N$ — известно. Покажите, что статистика $T_{n} = \frac{\bar{X}_{n}\left(N-\bar{X}_{n}\right)}{N}$ является асимптотически несмещенной и сильно состоятельной оценкой параметра $\theta = \operatorname {Var}\left[X_{1}\right]$.